空间直线、平面的平行

8.5空间直线、平面的平行

【知识点一】直线与直线平行

a//b]

1.平行公理（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：〃今

b//c]

2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.

【知识点二】直线与平面平行的判定

线面平行的判定定理

表示

图形文字符号

定理

平面外一条直线与此平a^a

直线与平面平行的判

面内一条直线平行,则bua»=>a〃a

定定理

该直线与此平面平行

【知识点三】平面与平面平行的判定定理

面面平行的判定定理

表示

图形文字符号

定理

一个平面内的两条相QU夕、

buB

平面与平面平行交直线与另一个平面

a

的判定定理平行，则这两个平面

口alla

平行h//a>

【知识点四】直线与平面平行的性质

线面平行的性质

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与

文字语言

该直线平行

符号语言alla,qu£,aCB=b0a//b

图形语言

么b/

【知识点五】平面与平面平行的性质

两平面平行的性质定理

文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言aUp,ar)Y=a,pny=bUaUb

图形语言

【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行：

③若直线a,b,c满足hl-c,则a_Lc；

④若直线八，/2是异面直线，则与/1，/2都相交的两条直线是异面直线.

【变式1】下列三种说法：

①若直线6相交，b,c相交，则a,c相交；

②若a〃儿则a,6与c所成的角相等；

③若a_L6,bYc,则a〃c.

其中正确的个数是.

【例1-2】（公理4与等角定理的应用）如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—ABC1D、中，M,N

分别是棱8,力。的中点.求证：

(1)四边形是梯形;

⑵/DNM=ZDiAiCi.

【变式1】如图所示，已知E,F,G,，分别是空间四边形488的边BC,CD,的中点.

(1)求证：E,F,G,，四点共面；

(2)若NC1.8。，求证：四边形EFG”是矩形.

【例2-1】如图，正方体ABC。—A4G3中，E为。2中点.求证：〃平面MC.

AB

【变式1】如图，四边形是平行四边形，尸是平面Z8CD外一点，M,N分别是48,尸C的中

点.求证：〃平面以D

【变式2】如图，在三棱柱48。-44a中，侧棱44_1底面48。，AB1BC,。为AC的中点,

AA,=AB=2,18c=3.求证：43"平面3CQ；

【例3-1】(平面与平面平行的证明)如如图，在正方体1比3466〃中，S是54的中点，E,F,G

分别是笈7，DC,SC的中点，求证：

(1)直线比//平面BDAB、；

(2)平面必6//平面BD仄B、.

【变式1】如图，在四棱锥尸一中，点£为处的中点，点尸为BC的中点，底面/8C。是平

行四边形，对角线NC,8。交于点0.

求证：平面EFO〃平面PCD

【变式2】如图，在正方体48CQ—4囱中，点S是囱A的中点，点£,F,G分别是8C,DC

和SC的中点，求证:

(I)直线EG〃平面BDD\Bi；

(2)平面EEG〃平面BDDiBi.

【例4-1］（线面平行的性质）如图，用平行于四面体/8CO的一组对棱CO的平面截此四面体，求

证：截面尸0是平行四边形.

A

D

B

N

C

【变式1】如图所示，在四棱锥尸一”88中，底面是平行四边形，ZC与8。交于点。，M是

PC的中点，在上取一点G,过G和/尸作平面交平面8Z）/于GH,求证：AP//GH.

【变式2】如图，在五面体£7%8co中，已知四边形/3CZ）为梯形，AD//BC,求证：AD//EF.

【例5-1］（面面平行的性质）（1）如图，平面a〃夕，A,C&a,B,D&fi,直线与。交于点5,

且4s'=3,BS=9,CD=34,求CS的长.

(2)如图所示，P是三角形48c所在平面外一点，平面a〃平面/5C,a分别交线段为，PB,PC

于，，8,，C',若为'：AA'=2：3,则：SMBC等于()

A.2：25

C.2：5D.4：5

【变式1】如图，在棱长为a的正方体N8CD-小81Goi中，E,F,P,。分别是8C,C。”ADx，

8。的中点.

(1)求证：尸0〃平面。CCQi；

⑵求尸0的长；

(3)求证：EF〃平面BBQQ.

课后练习题

1.如图所示，在三棱柱力跖A6|C|中，E,F,G,〃分别是力6,AC,A旦，AG的中点，求证:

(1)B,C,II,G四点共面；(2)A1〃平面60/G

2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB,平面BCD,BC±BD,BC=3,BD=4,直线AD与平面BCD所成的角为

45°,点E,F分别是AC,AD的中点.

(1)求证：EF〃平面BCD；(2)求三棱锥A-BCD的体积.

3.如图，四边形48CD是矩形，网平面48CZ),过8c作平面8CFE交4产于点E,交DP于点、F,求

证：四边形8CFE是梯形.

4.如图所示，在四棱锥尸-/腼中，86/呼面必0,BC^-AD,"是阳的中点.

2

(1)求证：BC//AD-,

(2)求证：纸0P面处6.

5.如图，梯形A3CD中，BC//AD,£是尸。的中点，过BC和点£'的平面与R4交于点£求证:

BC//EF.

D

BC

6.如图所示，四棱锥尸一的底面48CD为矩形，E,F,〃分别为Z8,CD,尸。的中点，求证:

平面〃平面PCE.

7.如图，在四棱柱/8CO-481GA中，底面Z8C。为梯形，AD//BC,平面小DCE与囱8交于点£

求证：EC//A\D.

8.5空间直线、平面的平行

【知识点一】直线与直线平行

a//b]

1.平行公理（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：〃

b//c.

2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.

【知识点二】直线与平面平行的判定

线面平行的判定定理

表示

图形文字符号

定理

平面外一条直线与此平

直线与平面平行的判

面内一条直线平行,则bUa

定定理

该直线与此平面平行Q〃〃

【知识点三】平面与平面平行的判定定理

面面平行的判定定理

表示

图形文字符号

定理

一个平面内的两条相

bup

平面与平面平行交直线与另一个平面

^7aCb=P>^p//a

的判定定理平行，则这两个平面

口a//a

平行h//a>

【知识点四】直线与平面平行的性质

线面平行的性质

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与

文字语言

该直线平行

符号语言a//a,auB，aC6=bna//b

图形语言

尤b/

【知识点五】平面与平面平行的性质

两平面平行的性质定理

文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言aLp,ar)Y=a,priY=bUaUb

图形语言

【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是.

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a,b,c满足Z）±c,则。_Lc；

④若直线八，/2是异面直线，则与/1，/2都相交的两条直线是异面直线.

【答案】2

【解析】①④均为错误命题.①可举反例，如a,b,c三线两两垂直.

④如图甲，c,，与异面直线右交于四个点，此时c,d异面；

当点/在直线人上运动（其余三点不动）时，会出现点力与〃重合的情形，如图乙所示，此时c,"共

面相交.

甲乙

【变式1】下列三种说法：

①若直线”，6相交，b,C相交，则a,C相交；

②若。〃6,则a,b与c所成的角相等；

③若a_L6,6_Lc,则a〃c.

其中正确的个数是.

【答案】1

【解析】若a,。相交，b,。相交，则a,c相交、平行、异面均有可能，故①不对；若b±c,

则a,。平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确.

【例1-2】(公理4与等角定理的应用)如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A\B\C\D\中，M,N

分别是棱CD,/D的中点.求证：

(1)四边形A/AMiG是梯形;

Q)NDNM=NDiAC.

证明(1)如图，连结4C,在△ZCQ中，N分别是CQ,的中点,

是△ZCO的中位线,

J.MN//AC,且MV=；4C.

由正方体的性质，得

AC/ZAiCi,且力C="iG.

.,.MN//A\C\,且

即MN中AC,

四边形MNA\C\是梯形.

(2)由(1)可知，MN//AG.

久ND〃A\D\、且NONA/与小G的两边的方向相同，AZ£>W=ZOdiG.

【变式1】如图所示，已知E,F,G,，分别是空间四边形的边BC,CD,D4的中点.

(1)求证：E,F,G,〃四点共面；

(2)若ZCL8。，求证：四边形EFG”是矩形.

证明(1)如图所示，连结E尸，FG,GH,HE,在中，“分别是力。的中点,

J.EH//BD,且£77=48。.同理FG〃8C,且

C.EH//FG,且EH=FG,：.E,F,G,，四点共面.

(2)由(1)知〃尸G,且EH=FG,四边形EFG”为平行四边形.

；/7G是△ZOC的中位线，:.HG〃AC.又EH〃BD,ACVBD,：.EH±HG,四边形EFGH为矩形.

【例2-1】如图，正方体A5CD—AeCQ1中，£为。，中点.求证：8。"平面A£C.

【解析】证明：连结与AC交于点“，连结HE.

在口50,中，瓦〃分别为8。的中点.

得EH//BD、.

又因为BQ(Z平面AEC,EHu平面AEC,

所以8。〃平面AEC

【变式1】如图，四边形/8CO是平行四边形，P是平面/8C。外一点，M,N分别是PC的中

点.求证：A/N〃平面RW.

【解析】如图，取外的中点G,连接Of,GN.

1

：.GN//DC,GN=­DC.

为平行四边形4BCD的边48的中点，

：.AM=^DC,AM//DC,

:.AM〃GN,AM=GN,

，四边形AMNG为平行四边形，.•.例¥〃AG.

又J他平面PAD,46t平面PAD,

."协〃平面PAD.

【变式2】如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧棱AM_L底面ABC,AB1BC,。为AC的中点,

的=45=2,BC=3.求证：AB"平面8G。；

【答案】详见解析

【解析】如图所示:

连接BC与G8交于点0,连接0D,

因为0,，为中点，

所以。。/“4，

又ODu平面BCQ,A4(z平面BCQ,

所以A8"平面6G。；

【例3-1](平面与平面平行的证明)如如图，在正方体4比9464〃中，S是A4的中点，E,F,G

分别是8GDC,SC的中点，求证:

(1)直线EGI/平面BDDA；

(2)平面分Z7//平面⑸勿心.

【解析】证明：(1)如图，连接的，因为区G分别是a；SC的中点,

所以EG//SB.

又因为SBu平面BDDxBy,EGB平面BDD队

所以直线£。//平面应以尻

(2)连接5〃因为尸，G分别是比；SC的中点,

所以FG//SD.

又因为SOU平面BDLkBx,FGB平面BDDB,

所以内G//平面8加心,

由(1)有直线房//平面质由；

又EGU平面EFG,FGU平面EFG,EGCFG4,

所以平面母若//平面BD队R.

【变式1】如图，在四棱锥尸一/8C。中，点E为我的中点，点尸为8C的中点，底面NBCD是平

行四边形，对角线ZC,BD交于点、a

求证：平面EF。〃平面PCD

【解析】证明因为四边形/3CQ是平行四边形，4CCBZ)=O,

所以点。为8。的中点.

又因为点尸为8c的中点，所以。尸〃CD

又OR平面尸CQ,C£)u平面PC£>,

所以。尸〃平面PCD,

因为点O,K分别是4C,E4的中点，所以0E〃尸C,

又OEQ平面PCD,PCu平面产。，

所以。£•〃平面PCD.

又OEu平面EFO,。尸u平面E尸O,且OECOF=O,

所以平面EFO〃平面PCD.

【变式2】如图，在正方体/8CD—小SGDi中，点S是囱。1的中点，点E,F,G分别是8C,DC

和SC的中点，求证：

(1)直线EG〃平面BDDiBi；

(2)平面EKG〃平面BDDB.

【解析】证明⑴如图，连接S8.

D.C,

•；点、E,G分别是8C,SC的中点，

:.EG〃SB.

又；SBU平面BDD1B1,EGd平面BDDB，

，£G〃平面BDD\B\.

(2)连接SD.

•:点、凡G分别是。C,SC的中点，

：.FG//SD.

又；S£)u平面BOAS,FGQ平面8。£)向，

〃平面BDDiBi.

又EG〃平面BDDi&,

且EGU平面EFG,FGU平面EFG,EGCFG=G,

，平面EFG〃平面BDD}Bi.

【例4-1](线面平行的性质)如图，用平行于四面体N5CD的一组对棱CQ的平面截此四面体，求

证：截面必叱。是平行四边形.

证明因为48〃平面MNP。，平面“8CC平面MVP0=MV,且/8U平面/8C,

所以由线面平行的性质定理，知AB〃MN.

同理/8〃尸。，

所以〃尸0.同理可得MQ//NP.

所以截面MNPQ是平行四边形.

【变式1】如图所示，在四棱锥尸一Z8CD中，底面/8C。是平行四边形，AC与BD交于点0,又是

PC的中点，在上取一点G,过G和4尸作平面交平面于G”,求证：AP//GH.

证明连接MO.

四边形/8C£）是平行四边形，

是ZC的中点.

又是尸C的中点，：.AP//OM.

又丁平面BDM,OMU平面BDM,

〃平面BDM.

又平面/PG”，平面力PG，n平面8DW=GH,：.AP//GH.

【变式2】如图，在五面体EE48CD中，已知四边形N8CZ）为梯形，AD//BC,求证：AD//EF.

证明"：AD//BC,4DQ平面BCEF,8CU平面5CEF,

〃平面BCEF,

；U平面ADEF,平面ADEFC平面BCEF=EF,

：.AD//EF.

【例5-1】（面面平行的性质）（1）如图，平面a〃夕，A,Cea,B,D&p,直线N8与CD交于点S,

且4s'=3,BS=9,8=34,求CS的长.

证明设4B,CO共面人因为yAa=/C,yCl/J=BD,且a〃夕,

SCSA

所以所以△S4Csasa),所以，■，工7,R=i，

SC-vCDon

即后之7=3所以SC=17.

3(.十34y

(2)如图所示，P是三角形/BC所在平面外一点，平面a〃平面N8C,a分别交线段为，PB,PC

于T,B',C,若Rf'：AA'=2：3,则SMEC：SA/BC等于()

A.2：25

C.2：5D.4：5

答案B

解析•.•平面a〃平面/8C,平面248与它们的交线分别为B',AB,：.AB//A'B',

同理8'C//BC,易得△NBCszX/'B'C,

S"-s—

【变式1】如图，在棱长为。的正方体Z8C£)-48iG£»i中，E,F,P,0分别是8C,G。”AD\,

8。的中点.

⑴求证：P0〃平面Z)CCQi；

(2)求尸。的长；

(3)求证：E尸〃平面5囱。|。.

解析：(1)证明如图，连接/C,CZ)i.因为/8C。是正方形，且。是8。的中点，所以。是4C的中

点，又尸是的中点，

所以PQ〃C£h.

又P0C平面OCGOi,SC平面DCGO,

所以P0〃平面DCCiDt.

(2)解由(1)易知尸0=/C=拳a.

(3)证明方法一取囱。的中点。，连接下。，801,

则有F0\//B\C\且FO尸;BC.又BE〃BC且5£=|siCi,

所以BE〃FO「BE=FO\.

所以四边形8EF5为平行四边形，所以EF〃5。，

又ERI平面BB[D]D,8O1U平面BB\D\D,

所以EF〃平面BB\D\D.

方法二取81G的中点巴，连接EE”尸Ei,

则有FEi〃3Qi,EE\//BB\,

且尸EiAE£i=Ei,FEi,EE〔u平面EE【F,B\D\,88]U平面88。。，

所以平面EEF〃平面BBXD\D.

又EFu平面EEiF,

所以〃平面BB\D\D.

课后练习题

1.如图所示，在三棱柱46G4用£中，E,F,G,〃分别是46,AC,4片，4G的中点，求证:

(1)B,C,H,G四点共面:

(2)A]£〃平面8aE

【解析】(1)•:G,〃分别是4国，4G的中点，

/.GH//^C,,而g―

AGH//BC,即氏C,H,G四点共面.

(2),:E,G分别是4?,4月的中点，

平行且相等，所以四边形AE5G为平行四边形，即AE//GB,又4E仁面3C/7G，

GBu面BCHG，

AE//面5CHG,

2.如图，在三棱锥A-BCD中，ABJ_平面BCD,BC1BD,BC=3,BD=4,直线AD与平面BCD所成的角为

45°,点E,F分别是AC,AD的中点.

(1)求证：EF〃平面BCD；

(2)求三棱锥A-BCD的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)8

【解析】

(1),:点E,尸分别是“；49的中点，

：.EF//CD,又；明平面比次平面8切,

/.EF"平面BCD；

(2)•.F8_L平面及

为直线4〃与平面6切所成的角，

ZADB=45°,AB=BD=4,

BQBD,：.SBCD=①义BCxBD=6,

三棱锥A-BCD的体积V=BCD-AB=S.

3.如图，四边形N88是矩形，内平面188,过8c作平面BCFE交Z尸于点E,交DP于点F,求

证：四边形3CFE是梯形.

【解析】

证明•.,四边形/5CD为矩形，J.BC//AD.

：4DU平面以。，BCQ平面R4D,