宁夏中卫市2022届高三第一次模拟数学（文）试题解析

2022年中卫市高考第一次模拟考试数学(文科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={-1,0,1,2,3},B=,贝ijAAB=()

A.{1}B.(0,1,2}C.{-1,3}D.{1,2,3)

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合B,再根据交集的定义即可得解.

【详解】解：8={X,2-2%>0}={目％>2或x<0},

所以A「8={T,3}.

故选：C.

2.若zi=l+3i,则』=()

A.3+iB.3-iC.3+2iD.3-2i

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的除法运算化简后即可写出复数的共辗复数.

所以z=3+i.

故选：A

3.已知向量G=(x,l),5=(4,x),则“x=2”是“万〃户的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据得出x=12,根据充分必要条件的定义可判断.

【详解】解：•••日〃B，向量d=（x,l）,b=（4,x）,

x2-4=0,即x=±2,

根据充分必要条件的定义可判断:

“x=2”是“汗//b”的充分不必要条件,

故选：A.

3

4已知cos(乃+a)=-y,则sin(a-2»)=()

4

A.-B.

5

_4

D.

~5仁±1

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】依据三角函数诱导公式和同角三角函数基本关系即可解决.

334

【详解】由cos(兀+a)=-cosa=-g,可得cosa一，则sina=±-

55

故sin（a-2兀）=sina=±^

故选：D

5.已知抛物线＞2=4x的焦点为尸，点M在抛物线上，且|用目=3,则”的横坐标为（）

A.1B.72C.2D.3

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】利用抛物线的定义转化为到准线的距离，即可求得.

【详解】抛物线的焦点坐标为尸（1,0）,准线方程为x=—l,曰=4+1=3,

见=2，

故选：C.

6.杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不

幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老

别》.语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选

的含《新安吏》和《无家别》的概率是（）

2457

A.-B.—C.—D.一

9999

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用列举法求得总的选法种数和符合条件的选法种数，从而可得答案.

【详解】《新安吏》、《石壕吏》、《潼关吏》分别记为“、b、c,《新婚别》、《无家别》、《垂老别》分别记为

d、e、f,

从“三史”中选两篇，从“三别”中选一篇，有：

abd,abe,abf-acd,ace,acf；bcd,bce,6c工共计9种不同的结果，每种结果都是等可能的，其中含《新安史》和

《无家别》的选法有岫e,ace,共有2种，

所求概率为

故选：A.

7.在长方体43。。一4耳。|。中，AB=BC^\,例=6，则异面直线A"与所成角为（）

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】即为异面直线与所成的角，利用解直角三角形可求其大小.

【详解】

由长方体的性质可得，故NADQ即为异面直线AQ与BB1所成的角,

在直角三角形中，AP=1，故tan/ARD=弓，

TT

而/A。。为锐角，故乙4。。=生

6

故选：A.

8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出尤+y的值是（）

A.-5B.-3C.-1D.0

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】按照循环结构，先赋值i=o,x=Ly=i进入循环，第一次循环

此时1W3成立，进入第二次循环，此时2W3成立，进入第三次循环，此时343成立，进入第四次循

环，此时443不成立，结束.

【详解】根据题意，先赚值i=O,x=l,y=l

第一次循环x—x-y=1—1=0,y=x+y=04-1=1,7=0+1=1,1<3成立；

第二次循环x=x—y=0—1=—1,y=x+y=—1+1=0,/=1+1=2,2<3成立

第三次循环A=x—y=—l-0=—1,y=x+y=-l-h0=-1,>=2+1=3,3<3成立

第四次循环X=x—y=-1-（-1）=0,y=x+y=0+（-1）=-1,/=3+1=4,4<3

不成立，结束，输出x+y=-1.

故选：C

【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了推理数据处理能力，属于基础题.

9.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天

干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支地支又与十二生肖“鼠、牛、

虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按

干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、、癸酉：甲戌、乙亥、丙子....

癸未；甲申、乙寅、丙戌....癸己；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020

年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2082年出生的孩子属相为（）

A.猴B.马C.羊D.虎

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】可根据“干支纪年法”确定2082年是壬寅年，然后由地支对应的属相得结论，也可根据属于的周期

性直接得结论.

【详解】由题意，2080年也是庚子年，2081年是辛丑年，2082年是壬寅年，寅属虎，（或属于是12年一个

周期，2080年属鼠，2081年属牛，2082年属虎）

故选：D

1JI

10.关于函数/（x）=2sin（彳x+工）的图象或性质的说法中，正确的个数为（）

26

①函数/（X）的图象关于直线x=Y对称；

TT

②将函数/（X）的图象向右平移:个单位所得图象的函数为y=2sin（-1X+：77）；

TTn

③函数/3）在区间（・二TT，己527r）上单调递增；④若/（X）=Q，则COS（1—X-'）=%.

33233

A.1B.2C.3D.4

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】运用三角函数图像性质对四个选项逐一分析即可得到答案

【详解】①令2%+工=工+版"(AwZ),解得％=五+2版'(AwZ),当％=1时，则》=/，故正确

26233

②将函数“X)的图像向右平移£个单位得：y=2sin¥》一11+£=2sin!无，故错误

3|_213)6J2

n1/jrjrA-TTyjr

③令----F2k7r<-x-\——<—+2kjr(keZ),解得------1-4k7r<x<----\-4k7r^kGZ),故错误

226233

④若/(X)=Q,即257H+^)=Q,

则cos—x---=sin

(23J

故选A

【点睛】本题主要考查了函数的图象的对称性，单调性以及图形的平移，熟练掌握三角函数图像的性质是

关键，本题较为基础.

22

11.设片，鸟分别为双曲线*■-春•=1(4>0,。>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得附|+附|=

O

2b\PF^PF^=-ab,则该双曲线的离心率为()

A.MB.3C.1D.V2

[II题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】设P点在双曲线右支上，由双曲线定义，|尸耳|一归周=2&,解得P6=a+b,PF2=b-a,代

Q

入|P/P用，化简得到。=3a,从而求得离心率.

【详解】设P点在双曲线右支上，由双曲线定义知，|P61Tp闾=2a,

则由题知，PF】=a+b,PF2=b-a

Q

^\PFt\\PF2\=(b+a)(h-a)^-ab,

化简得(3b+a)(。—3a)=0,则能=3a,

则9=>/工宜，离心率e=£=Ji6

a

故选：A

“、fllnxlx>0

12.设函数/(x)=FJ若函数g(x)=/(x)-机有两个零点，则实数，"的取值范围是()

［xex<0

A.(」,e)B.,0C.1」,O)U(0,+°°)D.［」,+℃)

【12题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】g(x)=〃x)—，〃有两个零点等价于N=/(x)与丁=根的图象有两个交点，利用导数分析函数

〃(x)=xev,x<0的单调性与最值，画出函数“X)图象，数形结合可得结果.

【详解】解：设〃(x)=xe',xW0,则4(x)=e，(x+l),所以力卜)在1)上递减,在(—1,()］上递增，

人(Ain=8(一1)=一｝且X<T时，人(%)<0，

g(x)=/(元)—加有两个零点等价于y=/(x)与丁=机的图象有两个交点，

画出y=/(x)的图象，如下图所示，

由图可得，加>—1时，y=/(x)与丁=根的图象有两个交点,

e

此时，函数g(x)=/(x)-加有两个零点，

实数〃?的取值范围是

故选：D.

【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形

结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决

数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函

数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个

数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

'x-y>Q

13.已知实数x,y满足约束条件，x+y>0,则z=x+2y的最小值为.

2x+y<l

【13题答案】

【答案】-1

【解析】

【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解.

【详解】作出可行域如图所示：

|2

把目标函数z=x+2y转化为直线y=,当直线经过点A(1,-1)时，纵截距最小，此时

z=1+2x(-1)=—1.

故答案为：-1

，/、2二x<0c

14.已知函数〃力=〈,、，、为奇函数，则g(2)=_______.

g(x),x>0

【14题答案】

【答案】-L##<25

4

【解析】

【分析】利用奇函数的性质进行求解即可.

【详解】因为/(x)是奇函数，所以有名⑵=/⑵=—/(—2)=—2-2=—；,

故答案为：---

4

15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,设AABC的面积为S,其中a=2百，

〃+c?=24，则S的最大值为.

【15题答案】

【答案】36

【解析】

【分析】应用余弦定理有COS4=9>0,再由三角形内角性质及同角三角函数平方关系求sinA,根据基

be

本不等式求得be«12,注意等号成立条件，最后利用三角形面积公式求S的最大值.

【详解】由余弦定理知：cosA=^'~~—=—>0,而()<A<〃，

2hche

所以sinA=^^c上36,而02+C2=24»2/JC，即历<12,当且仅当b=c=26时等号成立，

be

又S=-Z>csinA=">-36<,当且仅当h=c=2^时等号成立.

22

故答案为：373

16.在四面体B4BC中，平面平面A8C,PA=PB=AB=2,AC=BC=2叵，则该四面体的

3

外接球的体积为.

【16题答案】

【解析】

【分析】设AB的中点为Q,可得平面ABC,CQJ_平面以8,设该四面体外接球的球心为O,AABC,

△PA8的外接圆圆心分别为。1，。2,可得。一。2分别在直线。C,PD上,四边形。。。。2为矩形，由

正弦定理求得两个三角形的外接圆半径，在利用矩形。。。。2求得外接球的半径，得球体积.

【详解】解析：如图，设AB的中点为£>,连接PO,DC,因为Q4=AB，CA=CB,所以HD_LA8,

CDA.AB,

又平面QA6,平面ABC,所以平面ABC,。。_1_平面以氏

设该四面体外接球的球心为O,AABC,△PAB的外接圆圆心分别为a，。2，

易知。一仪分别在直线。C,PD上,连接。。，002,则0Q_L平面ABC,所以00J/PD,则四边

形D0Q01矩形.

设AABC，△P48的外接圆半径分别为4，r2,外接球的半径为R,

在△上/记中，由正弦定理得22=—^,则右=45.

sm603

在RSBCD中,CD=dBC2—DB2=走,易得N38=60°,所以NACB=120。，

3

所以2/I=.2得八=空，则。9=且，连接尸0,

sin120°13'13

在Rf^OPR中，R=册+00；=册+OQ2=卑,

所以该四面体的外接球的体积V="x

3

故答案沏噜

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足5,,=|（4"-1乂〃eN*）,设勿=142

(1)分别求｛%｝和也｝的通项公式；

⑵求叫伍而4位同前〃项和小

【17题答案】

【答案】(1)%=22"T(〃eN*),2=2〃一l(〃eN*)；(2)。.

''v'n+l

【解析】

【分析】由S,,=g(4"—1)取〃用〃-1替换，与原式相减可得a“=22"T(〃N2),由S,=|(4"-l)取"=1

可得％,由此可得数列河“｝的通项公式,再由关系a=log2%，求力；

444

(2)由(1)知:(5+W1)(，+3°)—2〃(2〃利+用2)裂项相(2+消1)(，法+3求)数列前〃项和•

【详解】(1)由S“=g(4"—1)知，

当壮2时，

两式相减，得

«„=S「S,_\=|(4rt-l)-|(4-'-l)=221

即a„=22n-1(/2>2)

当〃=1时，a,=S,=^-(4-1)=2

故〃=1时也适合上式

.•.a“=22"T(〃eN*)

b„=^2an=2n-\

综上：a„=2?"T(“eN*),h„=2〃一1(〃eN*)

4411

(2)由0)(/?„+1)(&„+3)=2n(2n+2)~~n~T+\

^,1111111,1n

“22334nn+\n+\n+1

18.为进一步推进全国文明城市创建工作，营造浓厚的创建氛围，确保创建工作高质量达标.某市物业主

管部门决定在市区住宅小区开展文明城市创建工作满意度测评，现从某小区居民中随机抽取若干人进行评

分，绘制出如下的频率分布直方图（分组区间为[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100]）,并将分数从低到高分为四个等级:

满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]

满意度等级不满意基本满意满意非常满意

（1）求表中a的值；若用A表示事件“满意度评分不低于80分”，将频率视为概率，求事件A发生的概

率.

（2）若居民的满意指数不低于0.9,则该小区可获得“最美小区”称号.根据你所学的统计知识，判断该

小区是否能获得“最美小区”称号？并说明理由.

（注：满意指数”满意度的平均分）

100

【18~19题答案】

【答案】（1）47=0.036；概率估计值为0.6

（2）该小区不可获得“最美小区”称号；理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据每个矩形的面积之和为1，即可求得。的值；计算最后两个矩形的面积和即为事件A发生

的概率；

（2）根据频率分布直方图，计算满意度的平均分，再计算满意指数，即可作出判断.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知：

（0.002+0.004+0.016+0.018+a+0.024）xl0=l,

解得a=0.036,

“满意度评分不低于80分”的频率为：（0.036+0.024）x10=0.6.

因此，事件A发生的概率估计值为0.6.

【小问2详解】

满意度的平均分为：45x0.02+55x0.04+65x0.16+75x0.18+85x0.36+95x0.24=80.4,

所以居民的满意指数〃=詈=0.804<0.9,

所以该小区不可获得“最美小区”称号.

19.如图，四棱锥P-ABQD的底面ABC。为矩形，PA=PC,PB=PD.

（1）证明：平面B4C_L平面4BCQ.

（2）若AB=2G，PO=2夜，BC=2,求点3到平面PCD的距离.

【19~20题答案】

【答案】（1）证明见解析；

⑵拽.

5

【解析】

【分析】（I）连接BD，交AC于点。，连接P。，证明尸。，平面ABC。，即可证明出平面PAC_L平面

ABCD.

（2）用等体积法%"c。即gxS/8X〃=gxS/cDXP。，即可求出答案.

【小问1详解】

连接80,交AC于点。，连接尸。，如图所示，

•••底面ABCD为矩形，为AC,BO的中点，

又•；PA=PC,PB=PD,

:.PO±AC,POA.BD,

又•.•47080=0,

.•.POL平面ABC。，

••・POu平面PAC,

••・平面PAC_L平面ABCD.

【小问2详解】

•;AB=2%，BC=2,

,AC=BD7AB2+心=4，：.OD^OC=2,

在MAPOZ)中，ZPOD=90°,

:.PO^\IPD2-OD2=2-

：.在Rt/XPOC中,pc=yjpCf+OC2=2V2>

在△PGD中，PD=PC=2V2>CD=2V3.

S.PCD=gxCDXJpc2Tge0)2=1X2A/3X=V15,

•«,BC_LCD,S.BCD=g*BCxCD=gx2x2G=2G，

设点B到平面PCD的距离为h,

由等体积法可知匕一PCO=VP-BCD，

又•••PO_L平面ABCD，二PO为点、P到平面BCD的距离，

二qXS/CDX人=qXS.BCDXPO,

.h_S.BCDxPO2〃X24布,

sVCDVIS5

即点B到平面PCD的距离为正.

5

20.已知椭圆E：三+"=1(4＞人＞0)的离心率为乎；，与直线/:x—y+6=()有且只有一个公共点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点M(l,0)的直线(与椭圆E交于两点若京=2向，求直线,2的方程

【20题答案】

fr-I-l

【答案】(1)—+/=1；(2)V5x±2V3y-V5=0.

4

【解析】

【分析】(1)由题得椭圆方程为炉+4),2一4〃2=0,再把＞；=%+古代入并整理，根据4=0得解；

(2)先分析直线4的斜率不为0,再设直线的方程为尤=fy+i，联立椭圆方程得到韦达定理，再由

R=2而得t的值，即得解•

【详解】解：(1)由椭圆E的离心率为3,得上p=3,a2=4〃

2a14

22

故椭圆方程为Jr+=v=l,/+4y2—4/=0，

4b~h~

把y=x+后代入并整理，得51+8氐+20-4/=0,

因为E与4有且只有一个公共点，所以△=(),解得匕=1,

2

所以椭圆的方程为土+尸=1.

4

(2)当直线4的斜率为。时，则A，B的坐标为(-2,0),(2,0),不符合京=2届，

故直线4的斜率不为0，

设直线的方程为无=h+1,代入椭圆方程得(r+4)/+2“-3=0

则△=4"+12(/+4)〉0,

2t3

设A(xI,y),8(£,%),则乂+%=一百子乂%=一^7

——>

AM=(1-xv-y^,MB=(x2-l,y2y

由AM=2MB,得-X=2%

占一4f2/2g

得X=T，%=-7代人,，解得t=+

r+4r+4

273

故直线4的方程为x=±y+1,即&±2a-逐=0.

【点睛】方法点睛：求直线的方程，一般利用待定系数法，先定式(从直线的五种方程中选择--种作为直

线的方程)，后定量(再求出待定系数的值).

2

21.已知函数/(x)=-+Qln元，«GR.

(1)若曲线y=/(x)在点尸(1,/(1))处的切线垂直于直线y=x+2,求。的值；

(2)当a20时，求函数“X)在区间(0,e]上的最小值.

[21-22题答案】

【答案】(1)a=l

2222

(2)当0<aW—If寸，最小值为。H—；当时，最小值为a+aln—

eeea

【解析】

【分析】(1)首先求出函数的导函数，再根据/()=—1,得到方程，解得即可；

Y2o2

(2)依题意可得了'(%)=(0,+8),再对。分a=0、«>-.0<aW—三种情况讨论，分别

x-ee

求出函数的单调性，即可求出函数的最小值；

【小问1详解】

?>2CL

解：因为f(x)=-+alnx,所以/'(x)=——7+—>

"XX

•.•曲线y=/(x)在点尸(1，/。))处的切线垂直于直线y=x+2,

又直线y=x+2的斜率为1,

=1；

【小问2详解】

解：,.•八%）=--.+q=""//'（（X+oo）,;a20,x>0,

XXX

・•・①当a=0时，在区间（O,e］上/'（X）=二!<0,此时函数/0）在区间（（）,e］上单调递减，

X

2

则函数/U）在区间（0,e］上的最小值为/（e）=

②当0<2<e,即时，在区间（0,2）上八对<0,此时函数/（x）在区间（0,2）上单调递减，在区间

aeaa

22

（-,e］±f'（x）>0,此时函数/（x）在区间（,,e］上单调递增，则函数/（x）在区间（0,e］上的最小值为

22

/（—）=a+aln-.

aa

22

③当,0e,即时，在区间（0,e］上/'（x）W0,此时函数/（幻在区间（0,e］上单调递减，则函

2

数/（X）在区间（0,e］匕的最小值/（e）=a+—.

综上所述，当OWaW—时，函数/（外在区间（O,e］上的最小值为a+—，当a>士时，函数/*）在区间

cee

（O,el上的最小值为/'（2）=a+aln2.

aa

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

,、［x=tcosa

22.己知圆C的方程为（x—+（），-1>=9,直线/的参数方程为<,,为参数，

y=/sina

0<a<^）.以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）设/与C交于A,3两点，当|。4|+|。3|=2不时，求/的极坐标方程.

［22-23题答案】

【答案】（1）p2-2/?cos0-2psin^-7=0.

3乃

（2）。=丁（”火）.

【解析】

x=0cos夕

【分析】（1）根据（