高考第三轮复习三角函数

第1页（共29页）高考数学三轮复习精选三角函数eq\o\ac(○,易)eq\o\ac(○,错)eq\o\ac(○,考)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,解)eq\o\ac(○,读)高考预测高考预测三角函数是高考的必考考点，其中求ω取值范围问题是热门考点。主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象。从近几年的高考情况来看，常在选择题中出现，难度稍大。预测分值：15分必考指数：★★★★★满分技巧满分技巧一、求ω取值范围的常用解题思路1、依托于三角函数的周期性因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.2、利用三角函数的对称性（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值.3、结合三角函数的单调性函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。二、已知函数在给定区间上的单调性，求ω的取值范围已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，即，求得.第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围；第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围.三、结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。四、已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．eq\o\ac(

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,学)真题回顾真题回顾一．选择题1．（2022•全国）已知函数．若，则A． B． C． D．2．（2022•天津）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在，上单调递增；③当，时，的取值范围为，；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．43．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则A．1 B． C． D．35．（2022•甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是A． B． C． D．6．（2022•甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，7．（2022•北京）已知函数，则A．在，上单调递减 B．在，上单调递增 C．在上单调递减 D．在，上单调递增二．多选题8．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线三．填空题9．（2022•上海）函数的周期为．10．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为．11．（2022•北京）若函数的一个零点为，则；．区域模拟区域模拟一．选择题1．（2023•安徽三模）已知函数，则下列结论正确的有A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．若在区间上的最大值为1，则2．（2023•四川三模）已知直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是A． B． C． D．3．（2023•和平区二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为①②函数在，上单调递减；③函数在，上的值域为，；④曲线在处的切线斜率为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2023•河南模拟）函数的部分图象如图所示，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是A．函数在区间单调递减 B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数的一条对称轴5．（2023•河南模拟）已知函数，其中，若函数满足以下条件：①函数在区间上是单调函数；②对任意恒成立；③经过点的任意直线与函数恒有交点，则的取值范围是A．，， B． C． D．6．（2023•绵阳模拟）已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是A．， B． C． D．，7．（2023•茂名二模）已知函数，若实数、、使得对任意的实数恒成立，则的值为A． B． C．2 D．8．（2023•酒泉模拟）函数部分图象如图所示，则A． B． C． D．19．（2023•邯郸二模）已知函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数的极值点为A． B． C． D．10．（2023•陇南一模）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，以下方程是函数图象的对称轴方程的是A． B． C． D．二．填空题11．（2023•酒泉模拟）若函数的最小值为，则．12．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递（填增或减），函数的零点个数为．13．（2023•靖远县模拟）已知函数与的图象在区间，上的交点个数为，直线与的图象在区间，上的交点的个数为，则．14．（2023•安康模拟）已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是．三．解答题15．（2023•承德模拟）已知，函数．（1）当时，求的单调递增区间；（2）若在区间上单调，求的取值范围．16．（2023•南昌二模）如图是函数的部分图象，已知．（1）求；（2）若，求．17．（2023•白山四模）已知函数，的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的．（1）若的最小正周期为，求的图象与轴距离最近的对称轴方程；（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．18．（2023•辽宁二模）已知函数，的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的．（1）若的最小正周期为，求图象的对称轴中，与轴距离最近的对称轴的方程；（2）若图象相邻两个对称中心之间的距离大于，且，求在上的值域．19．（2023•山西模拟）已知函数．（1）求的图象的对称中心坐标；（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．20．（2023•迎泽区一模）已知函数，的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数与的解析式；（2）求实数与正整数，使得在内恰有2023个零点．考前押题考前押题一．选择题1．函数，的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．，2．若函数在区间上具有单调性，则的最大值是A．1 B．2 C．3 D．43．将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则A． B． C． D．二．填空题4．已知函数在区间上有且只有3个零点，则的取值范围是．三．解答题5．已知函数．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若，且，求的值．

真题回顾真题回顾一．选择题1．【答案】【解答】解：函数，，函数的一条对称轴为，即或，故．或．①．不妨时，时，①不成立；当时，①成立，故，故选：．2．【答案】【解答】解：对于，它的最小正周期为，故①错误；在，，，，函数单调递增，故②正确；当，时，，，的取值范围为，，故③错误；的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，故选：．3．【答案】【解答】解：把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象．故选：．4．【答案】【解答】解：函数的最小正周期为，则，由，得，，的图像关于点，中心对称，，且，则，．，，取，可得．，则．故选：．5．【答案】【解答】解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则对应函数为，的图象关于轴对称，，，即，，则令，可得的最小值是，故选：．6．【答案】【解答】解：当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；函数在区间恰有三个极值点、两个零点，，，，求得，故选：．7．【答案】【解答】解：，周期，的单调递减区间为，，单调递增区间为，，对于，在，上单调递增，故错误，对于，在，上单调递增，在上单调递减，故错误，对于，在上单调递减，故正确，对于，在，上单调递减，在，上单调递增，故错误，故选：．二．多选题8．【答案】【解答】解：因为的图象关于点，对称，所以，，所以，因为，所以，故，令，解得，故在单调递减，正确；，，，，根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；令，，得，，显然错误；，求导可得，，令，即，解得或，故函数在点处的切线斜率为，故切线方程为，即，故正确．直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．故选：．三．填空题9．【答案】【解答】解：，．故答案为：．10．【答案】3．【解答】解：函数，的最小正周期为，若，，则，所以．因为为的零点，所以，故，，所以，，因为，则的最小值为3．故答案为：3．11．【答案】1；．【解答】解：函数的一个零点为，，，函数，，故答案为：1；．区域模拟区域模拟一．选择题1．【答案】【解答】解：函数，的最小正周期为，故错误；令，求得，可得直线不是图象的一条对称轴，故错误；当时，，，函数不单调，故错误；若在区间，上的最大值为1，，，可得，求得，故正确．故选：．2．【答案】【解答】解：由题意可得，可得，解得，，令，解得，的单调递增区间是．故选：．3．【答案】【解答】解：由图可知：函数过点，则，即，且，可得，又因为函数过点，，且为减区间的零点，则，即，则，，解得，，注意到，即，则，解得，故，解得，此时，所以．对于①：令，，解得，，取，则，即函数在轴左侧离轴最近的对称轴为，由图可得，即，且，即，所以，故①正确；对于②：因为，，则，，且在，上不单调，所以在，上不单调，故②错误；对于③：因为，，则，，，，可得，，所以函数在，上的值域为，，故③错误；对于④：，可得，曲线在处的切线斜率为，故④错误；故选：．4．【答案】【解答】解：由图象可知，，又由于，所以，由图象可知，则，所以，则，又因为，所以，则，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，对于，当，则，函数先减后增，故错误；对于，，故正确；对于，，所以点不是函数图象的对称中心，故错误；对于，因为，所以直线不是函数的一条对称轴，故错误，故选：．5．【答案】【解答】解：，且，，①若函数在区间上是单调函数，则，，，②若对任意恒成立；则，，③若经过点的任意直线与函数恒有交点，则，，，，，，，，①当时，则，②当时，则，③当时，则，，，的取值范围是，，．故选：．6．【答案】【解答】解：函数是区间上的增函数，，，，求得，则正实数的取值范围是，．故选：．7．【答案】【解答】解：，其中，，由得，，，由已知条件，上式对任意恒成立，故必有，若，则，由③得，，由②得，若，由①得，与③矛盾，，，解得，．故选：．8．【答案】【解答】解：由图象可知取，故最小正周期，所以，所以，由及图象单调性知，，又，则，所以，则．故选：．9．【答案】【解答】解：函数的图象沿轴向左平移个单位长度得的图象，依题意，，而，则，因此，由得：，所以函数的极值点为．故选：．10．【答案】【解答】解：函数，将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得函数．再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．令，，解得，，故选：．二．填空题11．【答案】．【解答】解：，的最小值为，．故答案为：．12．【答案】增；9个．【解答】解：函数在上具有单调性，，即，，又，，即，，只有时，符合要求，此时，当时，，，在上单调递增，作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图象共有9个交点，函数的零点个数为9个．故答案为：增；9个．13．【答案】6．【解答】解：函数与的图象在区间，上的图象，如图所示：故函数与函数在区间，上的图象上交点的个数为3，即，直线与的图象在区间，上的交点的个数为3，即，故．故答案为：6．14．【答案】1或3或5或7（写出其中一个即可）．【解答】解：因为函数的图象关于对称，可得，解得，所以，，又因为在区间上单调，可得，结合余弦函数的性质，可得，解得，所以或3或5或7．故答案为：1或3或5或7（写出其中一个即可）．三．解答题15．【答案】（1），，．（2），．【解答】解：（1）当时，，令，，求得，，可得函数的增区间为，，．（2）若在区间上单调递增，，，则，，，求得，再结合，可得无解．若在区间上单调递增减，，，则，，，求得，．令，可得．综上可得，的范围为，．16．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）设，，函数的最小正周期为，则，则，故，解得（负值舍去），所以，所以；（2）由（1）得，，得，即，所以，又因，则，所以，所以．17．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）若的最小正周期为，则，得，所以，令，，解得，，取，得，取，得，因为，所以与轴距离最近的对称轴方程为．（2）由已知得，令，，解得，．因为在上有且仅有一个零点，所以，所以，因为，所以，解得，，所以，解得，即的取值范围为．18．【答案】（1）．（2），．【解答】解：（1）函数，的图象，是由的图象向右平移个单位长度得到的，，，且，．若的最小正周期为，，，，，．令，求得，取，可得与轴距离最近的对称轴方程为．（2）若图象相邻两个对称中心之间的距离，则，且，．结合，，可得，，当，，，，，，，故在上的值域为，．19．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）．令，得，所以的图象的对称中心的坐标为．（2）把的图象上