专题04 导数在切线中的应用（精讲）

第1页（共34页）专题04·导数在切线中的应用命题规律切线的相关问题是高考中的热门考点，经常出现在选择填空题中，偶尔也会出现在解答题中.特别是近几年高考中关于公切线的相关考点出现较多.导数在高中数学中，作为解题工具具有很重要的地位，导数的几何意义为解决曲线的切线和公切线提供诸多便利.本专题研究导数在切线中的应用，希望对同学们解决切线和公切线有所帮助.题型归纳题型1求切线【解题技巧】曲线切线方程的求法：1.以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．2.如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．【例1】（2023•江西模拟）已知函数f(x)=g(x)，x＞0xex+xA．ex﹣y﹣1＝0 B．（e﹣1）x﹣2y+e﹣1＝0 C．2（e﹣1）x﹣y+1﹣e＝0 D．3x﹣y+2＝0【分析】由已知求得函数g（x）的解析式，再求其导函数，得到g′（1）与g（1）的值，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，且x＜0时，f（x）=x∴设x＞0，则﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）=−−xe−x−x2∴g（x）＝xex﹣x2，x＞0，当x＞0时，g′（x）＝ex+xex﹣2x，g′（1）＝2e﹣2，又g（1）＝e﹣1，∴g（x）在x＝1处的切线方程为y＝（2e﹣2）（x﹣1）+e﹣1，即2（e﹣1）x﹣y+1﹣e＝0．故选：C．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，是中档题．【例2】（2023•汕头一模）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ex﹣1﹣1，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为．【分析】由函数的奇偶性的定义，求得f（x）在x＜0时的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线的方程．【解答】解：由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，得f（﹣x）＝﹣f（x），当x＞0时，f（x）＝ex﹣1﹣1，可得x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x﹣1+1，x＜0时，f（x）的导数为f′（x）＝e﹣x﹣1，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为1，切点为（﹣1，0），则切线的方程为y﹣0＝x+1，即有y＝x+1．故答案为：y＝x+1．【点评】本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．题型2求切点【解题技巧】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k．【例1】（2022秋•遵义月考）若直线y＝k（x﹣1）与曲线y＝ex相切，则切点的坐标为．【分析】设切点为（x0，y0），求出函数的导函数，再结合切点同时在直线、曲线上，即可求解．【解答】解：设切点为（x0，y0），∵y'＝ex，∴k=e又∵y0=ex0y∴切点坐标为（2，e2）．故答案为：（2，e2）．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，属于基础题．【例2】（2022春•浙江月考）已知函数f（x）＝x3﹣x﹣2．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，4）处的切线方程；（2）直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．【分析】（1）求得f（x）的导数，得切线斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程；（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率和方程，代入原点，解得m，可得切点和切线的方程．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3﹣x﹣2的导数为f′（x）＝3x2﹣1，可得在点（2，4）处切线的斜率为3×4﹣1＝11，则切线方程为y﹣4＝11（x﹣2），即为11x﹣y﹣18＝0；（2）设切点为（m，n），则n＝m3﹣m﹣2，切线的方程为y﹣n＝（3m2﹣1）（x﹣m），代入原点，可得﹣m3+m+2＝﹣3m3+m，解得m＝﹣1，所以切点为（﹣1，﹣2），切线l的方程为y＝2x．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．题型3由切线求参数【解题技巧】由导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上和切线的斜率等于该点处的导函数值构造方程组求解．【例1】（2022秋•淮安期末）直线y＝kx+1与曲线f（x）＝ax3+b相切于点P（1，2），则b＝（）A．13 B．1 C．53【分析】求出原函数的导函数，由已知可得关于k，a，b的方程组，求解得答案．【解答】解：由f（x）＝ax3+b，得f′（x）＝3ax2，∵直线y＝kx+1与曲线f（x）＝ax3+b相切于点P（1，2），∴k=3aa+b=22=k+1，解得故选：C．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．【例2】（2023•郫都区模拟）若直线l：x+y+a＝0是曲线C：y＝x﹣2lnx的一条切线，则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【分析】设切点坐标，求出y＝x﹣2lnx的导函数，由导函数值为﹣1求解切点坐标，把切点坐标代入切线方程求得a值．【解答】解：设直线与曲线的切点P（m，n），直线x+y+a＝0斜率为﹣1，由题意可得，y'|得m＝1，∴n＝1﹣2ln1＝1，则切点为（1，1），切线方程为y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0．∴a＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查已知切线方程求参数，是基础题．题型4切线条数问题【解题技巧】1．设点列方程过程同前（求切线过程）．2．切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断．【例1】（2023•泰州模拟）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）ex的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2的取值范围是（）A．（0，4e﹣3） B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3） C．（﹣∞，4e﹣2） D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）【分析】设切点(x0，(1−x0)ex0)，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点P（t，0），结合韦达定理可得【解答】解：设切点(x则切线方程为y−(1−x0∴−(1−x0)ex0=−x0ex∴x0−1=−tx0+x0其中x1x2=1，xy1令g（t）＝（1﹣t）et+1，t＞1或t＜﹣3，g'（t）＝﹣tet+1，当t＜﹣3时，g'（t）＞0，当t＞1时，g'（t）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，﹣3）上递增，在（1，+∞）上递减，又g（﹣3）＝4e﹣2，g（1）＝0，当t→﹣∞时，g（t）→0，当t→+∞时，g（t）→+∞，∴g（t）∈（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2），即y1故选：D．【点评】本题考查根据导数的几何意义求得切线方程，方程思想，韦达定理的应用，函数思想，利用导数研究函数的单调性及最值，属中档题．【例2】（2022春•肥城市期中）过曲线C：f（x）＝x3﹣ax+b外一点A（1，0）作C的切线恰有两条，则（）A．a＝b B．a﹣b＝1 C．b＝a+1 D．a＝2b【分析】设出切点，求出切点处的导函数值，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a，b的关系．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣a，过点A（1，0）作曲线C的切线，设切点（x0，f（x0）），则切线方程为：y＝（3x02﹣a）（x﹣1），将（x0，f（x0））代入得：f（x0）＝（3x02﹣a）（x0﹣1）＝x03﹣ax0+b，即2x03﹣3x02+a﹣b＝0（*），由条件切线恰有两条，得方程（*）恰有两根．令u（x）＝2x3﹣3x2+a﹣b，则u′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），显然有两个极值点x＝0与x＝1，于是u（0）＝0或u（1）＝0当u（0）＝0时，a＝b，符合题意；当u（1）＝0时，a﹣b＝1，此时f（x）＝x3﹣ax+a﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1﹣a），f（x）经过（1，0），与条件不符．故a＝b．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求极值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．题型5求公切线【解题技巧】1．共切点的公切线问题：直接利用切线方程建立方程求解即可．2．不共点的公切线问题：先设出切点后，再利用切线方程建立方程求解即可．3．抓住切点处的导数值即为斜率和原函数与切线方程均过切点这两点列方程．【例1】（2022秋•赣州月考）若函数f(x)=3x+1x−3(x＞0)的图象与函数g（x）＝txex的图象有公切线l，且直线l与直线y=−A．1e B．e2 C．1e或2e D．【分析】先由题意可得直线l的斜率k＝2，再根据l与f（x）相切求切线l的方程，再设切线l与g（x）＝txex切于点P（x0，y0），接着根据切点的特点及导数的几何意义建立方程组，最后再解方程组即可得解．【解答】解：由题意可得直线l的斜率k＝2，令f'(x)=3−1x2=2，（x＞0），∴∴切线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，设切线l与g（x）＝txex切于点P（x0，y0），又g′（x）＝tex（x+1），∴y0=2x∴x0x0+1=2x0−12，∴2x∴t=1e或t＝4故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数求切线，方程思想，属中档题．【例2】（2022•通辽模拟）已知直线l是曲线y＝ex﹣1与y＝lnx+1的公共切线，则l的方程为．【分析】设出切点坐标，求解切线方程，利用两条曲线的切线方程相同，转化求解即可．【解答】解：直线l与曲线y＝ex﹣1相切，切点为（a，ea﹣1），y′＝ex，切线的斜率为：ea，切线方程为：y﹣ea+1＝ea（x﹣a），即y＝eax﹣aea+ea﹣1．直线l与y＝lnx+1相切，切点为（b，lnb+1），所以y′=1x，切线的斜率为：1b，切线方程为：y﹣lnb﹣1=1b（x﹣b），即：y直线l是曲线y＝ex﹣1与y＝lnx+1的公共切线，可得1b=ealnb=−aea+ea所以l的方程为：y＝ex﹣1或y＝x．故答案为：y＝ex﹣1或y＝x．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．题型6公切线条数问题【解题技巧】1．共切点的公切线问题：直接利用切线方程建立方程求解即可．2．不共点的公切线问题：先设出切点后，再利用切线方程建立方程求解即可．3．抓住切点处的导数值即为斜率和原函数与切线方程均过切点这两点列方程．【例1】（2022•昆都仑区校级一模）曲线f（x）＝ax2（a＞0）与g（x）＝lnx有两条公切线，则a的取值范围为．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f（x）＝ax2的导数f′（x）＝2ax，g（x）＝lnx的导数为g′（x）=1设切线与f（x）＝ax2相切的切点为（s，t），与曲线g（x）＝lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2as=1m=t−ns−m，又t＝as2∴2as=1m=as2−lnms−m设h（s）＝as2﹣ln（2as）﹣1，∴h'（s）＝2as−2a∵a＞0，s＞0，∴由h'（s）＞0，得到当s＞12a时，h′（s）＞0，h（当0＜s＜12a时，h′（s）＜0，h（即有s=12a时，h（s）取得极小值，也为最小值，且为h（12a）＝﹣由恰好存在两条公切线，即h（s）＝0有两解，且h（0）→+∞，当s→+∞，f（s）→+∞，∴只要h（12a）＜0，可得a的范围是a＞∴a的取值范围为（12e故答案为：（12e【点评】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．【例2】（2023•安徽模拟）已知直线l与曲线y＝ex、y＝2+lnx都相切，则直线l的方程为．【分析】分别求出直线l与曲线y＝ex的切线方程，直线l与曲线y＝2+lnx的切线方程，再根据题意建立方程组，解出即可．【解答】解：设直线l与曲线y＝ex的切点为（m，em），由y＝ex，得y′＝ex，则直线l的方程为y﹣em＝em（x﹣m），即y＝emx﹣mem+em，设直线l与曲线y＝2+lnx的切点为（n，2+lnn），由y＝2+lnx，得y'=1x，则直线l的方程为y−(2+lnn)=所以em=1ne所直线l的方程为y＝ex或y＝x+1．故答案为：y＝ex或y＝x+1．【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查方程思想以及运算求解能力，属于中档题．题型7由公切线求参数【解题技巧】1．共切点的公切线问题：直接利用切线方程建立方程求解即可．2．不共点的公切线问题：先设出切点后，再利用切线方程建立方程求解即可．3．抓住切点处的导数值即为斜率和原函数与切线方程均过切点这两点列方程．【例1】（2022•江苏模拟）若两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围为（）A．（0，2e] B．（0，e] C．[2e，+∞） D．（e，2e]【分析】首先设出两个函数在A，B两点处的切线，利用待定系数法将a用x2表示，在构造函数解决函数最值即可．【解答】解：设A(xy1'=2x，y故在A处切线为：y−(x12在B处切线为y−(alnx2−1)=所以2x1=构造函数f（x）＝4x2（1﹣lnx），f′（x）＝4x（1﹣2lnx），令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在(0，e)故f(x)∵正实数a＞0，∴a的取值范围是（0，2e]，故选：A．【点评】本题主要考查利用导函数研究函数切线及求解函数最值，属于中档题．【例2】（多选）（2022春•石家庄期末）若两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值可能是（）A．1.2 B．4 C．5.6 D．2e【分析】设公切线与两曲线的切点，利用导数求得过切点的切线方程，再由斜率相等、直线在y轴上的截距相等列式，可得a=−4x22(lnx2−1)，令g（x）＝﹣4【解答】解：切线与y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1的切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由y＝x2﹣1，得y′＝2x，由y＝alnx﹣1，得y′=a则两切线方程分别为y−(x12化简得y=2x1x−1−又两条切线为同一条，可得2x1=令g（x）＝﹣4x2（lnx﹣1）（x＞0），得g'（x）＝4x（1﹣2lnx），当x∈(0，e)时，g'（x）＞0，g当x∈(e，+∞)时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴∴a∈（0，2e]．结合选项可得，正实数a的取值可能是ABD．故选：ABD．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．题型8切线应用:距离问题【解题技巧】1．一般的距离问题：当直线l平移到与曲线C相切位置时，切点Q到直线l的距离最小.再根据点到直线的距离公式求解即可．2．距离公式转化型：①距离公式形式：平方和；②以此还可以类比斜率公式形式．【例1】（2022•南京模拟）已知点A在曲线y＝ex上，点B在直线y＝x﹣2上，则点A，B之间的距离的最小值为．【分析】设A（x0，ex0【解答】解：设A（x0，ex0），由y＝ex，得则y'|x=x0=ex0∴点A，B之间的距离的最小值为|0−1−2|1故答案为：32【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．【例2】（2022春•邢台月考）已知点P是函数f（x）＝x2的图象上的任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最短距离是．【分析】利用导数的几何意义求出切点坐标，再求切点到直线的距离即为所求．【解答】解：∵y＝x2，∴y′＝2x，令y′＝2x＝1，可得x=1∴与直线y＝x﹣2平行的直线与曲线y＝x2的切点为（12，1（12，14）到直线y＝x﹣2的距离d∴点P到直线y＝x﹣2的最短距离是72故答案为：72【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式的应用问题，是中档题．题型9切线应用:存在或恒成立问题【解题技巧】利用切线作为“临界线”放缩．这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”．【例1】（2022春•东区校级月考）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax+1，若存在x0≥1e使得f（x0）＝g（﹣x0），则实数【分析】由题意可得a=1−lnx0x0在x0≥1e上有解．设h（x）【解答】解：由f（x0）＝g（﹣x0），可得lnx0＝﹣ax0+1，即a=1−lnx0x0设h（x）=1−lnxx（x≥1e），h′（当x＞e2时，h′（x）＞0，h（x）递增；当1e≤x＜e2时，h′（x）＜0，h（可得h（x）在x＝e2处取得极小值，且为最小值−1又h（x）的最大值为h（1e）＝2e所以−1e2≤a≤2e，即a的取值范围是[故答案为：[−1e2【点评】本题考查存在性问题解法，考查方程思想和转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．【例2】（多选）（2022春•抚顺期末）已知函数f(x)=−−x2−2x，x≤0，xlnx，x＞0，若关于x的不等式f（x）＞ax﹣eA．﹣1 B．0 C．12 【分析】将恒成立转化成f（x）的图象恒在直线y＝ax﹣e的上方，再数形结合即可求解．【解答】解：∵f（x）＞ax﹣e在R上恒成立，∴等价于f（x）的图象恒在直线y＝ax﹣e的上方，画出f(x)=−又直线y＝ax﹣e恒过点（0，﹣e），①当直线与y＝xlnx，x＞0相切时，设切点P（x0，x0lnx0），y'＝lnx+1，可得k＝1+lnx0，由1+lnx0=x0ln②当直线与y=−−直线y＝ax﹣e与半圆（x+1）2+y2＝1（y≤0）相切，如图，由|−a−e|a2+1=1，解得a=1−故选：ABC．【点评】本题考查考查数形结合法解恒成立问题，导数研究曲线的切线，直线与圆相切，属中档题．题型10切线应用:零点问题【解题技巧】对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较简单的凸凹函数．【例1】（2023•二七区校级模拟）已知函数f（x）满足f(x+1)=ax+a，x≤−1，ln(x+1)，x＞−1．，函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣xA．(−1e，0) B．(0，1【分析】画出f（x），f（﹣x）的图象，因为y＝ax与y＝﹣ax，y＝lnx与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称，且y＝ax与y＝﹣ax交于原点，要使f（x）＝f（﹣x）恰有5个零点，y＝lnx与y＝﹣ax的图象必需有两个交点，求出y＝lnx与y＝﹣ax相切时a的值可得答案．【解答】解：因为f(x+1)=ax+a，x≤−1所以f(x)=ax，x≤0lnx，x＞0，因为函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）恰有5个零点，所以f（x），f（﹣x）的图象恰有5个交点，画出f（x），f（﹣x）的图象，由图象可得，因为y＝ax与y＝﹣ax，y＝lnx与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称，且y＝ax与y＝﹣ax交于原点，要恰有5个零点，则y＝ax与y＝ln（﹣x），y＝lnx与y＝﹣ax的图象必有两个交点，当y＝lnx与y＝﹣ax的图象相切时，设切点（m，n），此时切线的斜率为y'=1x=1m=nm，可得n即−a=1e，交点所以要使函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）恰有5个零点，则a∈(−1故选：A．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题．【例2】（2022春•岳普湖县月考）若关于x的方程x（|x|+a）＝1有三个不同的实数解，则实数a的可能取值（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3【分析】圆方程可化为|x|+a=1x，作出函数y＝|x|+a和y【解答】解：因为x＝0不是方程的解，原方程可化为|x|+a=1则条件转化为函数y＝|x|+a和y=1作出函数图像如下：当a≥0时，仅有1个公共点，不符合；当a＜0时，结合图像，由方程﹣x+a=1x（x＜0）有一解，可得所以a＜﹣2符合要求．故选：A．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键，属于中档题．最新模拟一．选择题1．（2023•洪泽区校级开学）若直线y＝3x+m与函数f（x）＝xex﹣3lnx+5的图象相切于点A（x0，y0），则x0+lnx0＝（）A．3 B．ln3 C．e3 D．﹣ln3【答案】B【题型】求切点【解析】解：由题意可得f'(x)=(x+1)e由已知可得x0＞0，f'(x0)=(可得ex0=3x0，两边取自然对数可得x0所以x0+lnx0＝ln3．故选：B．2．（2022•淮安模拟）已知函数f（x）＝cos2x，x∈（0，π）在x＝x0处的切线斜率为85，则sinx0﹣cosx0A．−35 B．35 C．−【答案】D【题型】求切点【解析】解：由f（x）＝cos2x，得f′（x）＝﹣2sin2x，∴f′（x0）＝﹣2sin2x0=85，即sin2x0∵x0∈（0，π），且sin2x0＝2sinx0cosx0−45＜0，∴x0∈（π则sinx0﹣cosx0=(sin故选：D．3．（2022秋•鄠邑区期末）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，则a+b＝（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【题型】由切线求参数【解析】解：由y＝x2+ax+b，得y′＝2x+a，由题意，y′|x＝0＝a＝1，且0﹣b+1＝0，即b＝1．∴a+b＝2．故选：A．4．（2023•榆林一模）已知函数f（x）＝alnx+x2的图象在x＝1处的切线方程为3x﹣y+b＝0，则a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【题型】由切线求参数【解析】解：∵f（x）＝alnx+x2，∴f'(x)=a又f（x）的图象在x＝1处的切线方程为3x﹣y+b＝0，∴f'（1）＝a+2＝3，∴a＝1，∴f（x）＝lnx+x2，∴f（1）＝1，∴切点坐标为（1，1），将其代入切线方程3x﹣y+b＝0中可得：3﹣1+b＝0，∴b＝﹣2，∴a+b＝﹣1．故选：B．5．（2023•周至县一模）过点（1，2）可作三条直线与曲线f（x）＝x3﹣3x+a相切，则实数a的取值范围为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【答案】D【题型】切线条数问题【解析】解：设切点为(x则切线方程为y−(x∵切线过点（1，2），∴2−(x∵过点（1，2）可作三条直线与曲线f（x）＝x3﹣3x+a相切，∴a=2x令g（x）＝2x3﹣3x2+5，则g'（x）＝6x2﹣6x，令g'（x）＝0，则x＝0或x＝1，当x＜0或x＞1时，g'（x）＞0；当0＜x＜1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∴g（x）极大值＝g（0）＝5，g（x）极小值＝g（1）＝4，由a=2x可知函数y＝a与y=2x03∴a的取值范围为（4，5）．故选：D．6．（2021秋•新乡月考）已知函数f（x）＝kx2+kx﹣4lnx，若关于x的不等式f（x）＜0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围为（）A．[2ln25，ln33） B．（2ln25，C．[2ln25，2ln33） D．（2ln25【答案】A【题型】切线应用:零点问题【解析】解：由题意可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），从而f（x）＜0等价于k（x+1）＜4lnx即转化为y＝k（x+1）的图象在y=4lnx因为y=4lnxx，所以当0＜x＜e时，y′＞0；当x＞e时，y′＜0，故函数y=4lnxx在（0，e）上单调递增，在（画出函数y=4lnx如图所示．A（2，2ln2），B（3，4ln33），C（4，2ln由图可知KPC≤K＜KPB，即k∈[2ln2故选：A．7．（2022•湖北模拟）若过点（a，b）可以作曲线y＝x−1x（A．b＞a＞0 B．a−1a＜bC．0＜a−1a＜b＜a D．a＞b＞a−【答案】D【题型】切线条数问题【解析】解：设切点为（x0，x0−1x0），（x0＞0），y′＝1+1x则切线方程为：y﹣（x0−1x0）＝（1+1x02）（x﹣x0），把点（a，b）代入可得：b﹣（x0−1x0）＝（1+1x02）（a﹣令f（x）＝（b﹣a）x2+2x﹣a，x＞0，b﹣a≠0，则f（x）＝（b﹣a）(x−1a−b)则必须满足b﹣a＞0，﹣a−1b−a＜0，1a−b＞0，f（0）＝﹣a＞0；或b﹣a＜0，﹣a−1b−a由b﹣a＞0，﹣a−1b−a＜0，1a−b＞由b﹣a＜0，﹣a−1b−a＞0，1a−b＞0，f（0）＝﹣a＜0，解得a＞0，a＞故选：D．8．（2022秋•亭湖区校级月考）已知直线l：y＝kx（k＞0）既是函数f（x）＝x2+1的图象的切线，同时也是函数g（x）=pxx+1+lnx(p∈R)的图象的切线，则函数gA．0 B．1 C．0或1 D．1或2【答案】B【题型】由公切线求参数【解析】解：设A(x1，x1由于f′（x）＝2x，则2x1=k设B(x2，px由于g'(x)=p(x+1所以2x令h（x）＝2x2﹣x+lnx﹣1，x＞0，则ℎ'(x)=4x−1+所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，则函数h（x）有唯一零点x2＝1，则p＝4，所以g(x)=4x而g(x)=4xx+1+lnx=lnx−则由函数零点存在性定理可知，函数g（x）在(1故选：B．9．（2022•晋中模拟）若两曲线y＝lnx﹣1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2e] B．[12e−3，+∞) C．【答案】B【题型】由公切线求参数【解析】解：设公切线与两曲线y＝lnx﹣1与y＝ax2的切点分别为（x1，lnx1﹣1），（x2由y'|x=x得1x1=2a令h（x）＝x2（lnx﹣2），则h′（x）＝x（2lnx﹣3），由h′（x）＝0，得x=e∴当x∈（e3，+∞）时，h′（x）＞0，当x∈（0，e3）时，h′（可得h（x）的最小值为h（e3）=−从而−14a≥−∴正实数a的取值范围是[1故选：B．二．多选题10．（2022•新罗区校级开学）已知函数f（x）=1e（ex+1）与g（x）＝ex+1−1A．l的斜率大于12 B．l在x轴上的截距为﹣2C．l的斜率小于12 D．l在y【答案】BC【题型】求公切线【解析】解：设切点分别为P(x因为f′（x）＝ex﹣1，g′（x）＝ex+1，所以ex可得x1﹣1＝x2+1，即x1＝x2+2，则1e所以x1=0，P(0，2e)，Q(−2，0)，所以公切线方程为y−所以选项BC正确．故选：BC．三．填空题11．（2023•福州模拟）已知曲线y＝x3﹣3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为．【答案】11【题型】求切点【解析】解：曲线y＝x3﹣3x2+6x+2，y′＝3x2﹣6x+6，y″＝6x﹣6，令6x﹣6＝0，可得x＝1，此时y＝13﹣3×12+6×1+2＝6，所以函数的对称中心为（1，6）．曲线y＝x3﹣3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为11．故答案为：11．12．（2022•苏州模拟）若直线y＝k（x﹣2）与曲线y＝ex相切，则切点的坐标为．【答案】（3，e3）【题型】求切点【解析】解：设切点为（x0，y0），∵y′＝ex，∴k=e又∵y0=ex0，y0=k(x0−2)故答案为：（3，e3）．13．（2022春•永顺县期中）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝2lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．【答案】4x﹣y+3＝0【题型】求切线【解析】解：设x＜0，则﹣x＞0，又f（x）为奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[2ln（﹣x）+x2]＝﹣2ln（﹣x）﹣x2，则f′（x）=−2x−2x又f（﹣1）＝﹣1，∴f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y+1＝4（x+1），即4x﹣y+3＝0．故答案为：4x﹣y+3＝0．14．（2023•梅河口市校级二模）若直线y＝kx与曲线y＝lnx和曲线y＝eax都相切，则a＝．【答案】1【题型】由公切线求参数【解析】解：设切点坐标为P（m，lnm），∵曲线y＝lnx，∴y′=1x，∴k＝y′|x＝m=又∵切点P（m，lnm）在切线y＝kx上，∴lnm＝km，②由①②，解得k=1直线y=1ex和曲线y＝eax相切，切点为（n，e可得y′＝aeax，aean=1e，ean=ne故答案为：1e15．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知a∈R，b∈R，则(a−b)2+【答案】2【题型】切线应用:距离问题【解析】解：由题意，看成点（a，a）到点（b，1+eb）两点之间的距离问题，转化为y＝x上的点到函数y＝1+ex的最小值，设y＝1+ex与直线y＝x+c的切点为（m，n），那么n=1+eme那么函数y＝1+ex到y＝x的最小值即为切点到直线y＝x的最小值，所以，最小值d=|2−0|2=2．那么得故答案为：2．16．（2023•山西模拟）若曲线y=ax(x＞0)与曲线y＝2lnx存在公切线，则a【答案】[−2【题型】由公切线求参数【解析】解：设公切线与曲线f（x）=ax（x＞0）的切点为（x1，ax1），与曲线g（x）＝2lnx的切点为（x2，2lnx2），∵f'（x）=−ax2∴y＝f（x）在x＝x1处的切线方程为y＝（−ax12）（x﹣x1）+ax同理可得，y＝g（x）在x＝x1处的切线方程为y=2x2x+2由题意可知，−ax12∵ax12=−2x2＜0，∴a方程组①消去x1，整理得a=−x设lnx2＝t＜1，则a（t）=−(t−1)2et2，∴令a'（t）＝0，解得t＝﹣1，当t＜﹣1时，a'（t）＜0，a（t）单调递减；当﹣1＜t＜1时，a'（t）＞0，a（t）单调递增，∴a（t）min＝a（﹣1）=−2又∵a（1）＝0，∴−2e≤a＜0，即a故答案为：[−217．（2023•邵阳二模）已知直线l是曲线y＝ln（x﹣2）+2与y＝ln（x﹣1）的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为．【答案】（3+ln22【题型】求公切线【解析】解：由y＝ln（x﹣2）+2，得y′=1x−2，由y＝ln（x﹣1），得y′设直线l与曲线y＝ln（x﹣2）+2和y＝ln（x﹣1）分别切于（a，ln（a﹣2）+2），（b，ln（b﹣1）），则1a−2=1b−1，即a＝可得ln(b−1)+2−ln(b−1)1=1b−1∴y′＝2，切点为（32，﹣ln2），则切线方程为y＝2（x−32取y＝0，得x=3+ln22．∴直线l与x轴的交点坐标为（故答案为：（3+ln22四．解答题18．（2022春•喀什市校级期中）已知y＝1+lnx．（1）求曲线y＝1+lnx在点P（e，2）处的切线方程；（2）求曲线y＝1+lnx过原点O（0，0）的切线方程．【答案】（1）x﹣ey+e＝0；（2）x﹣y＝0．【题型】求切线【解析】解：（1）由y＝1+lnx求导得：y'=1x，当x＝e时，由点斜式得曲线在点P（e，2）处的切线方程为y−2=1e(x−e)，即x﹣ey所以曲线y＝1+lnx在点P（e，2）处的切线方程x﹣ey+e＝0；（2）由题意知，点O（0，0）不在曲线上，设切点为B（x0，1+lnx0），由（1）知曲线y＝1+lnx在点B处切线斜率为1x切线方程为y−(1+lnx即y=1x0x+lnx0解得x0＝1，于是得所求切线方程为y＝x，所以曲线y＝1+lnx过原点O（0，0）的切线方程为x﹣y＝0．真题在线一．选择题1．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（）A．eb＜a B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea【答案】D【题型】切线条数问题【解析】解：法一：函数y＝ex是增函数，y′＝ex＞0恒成立，函数的图象如图，y＞0，即切点坐标在x轴上方，如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线．如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；（a，b）在曲线上侧，没有切线；由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0＜b＜ea．故选：D．法二：设过点（a，b）的切线横坐标为t，则切线方程为y＝et（x﹣t）+et，可得b＝et（a+1﹣t），设f（t）＝et（a+1﹣t），可得f′（t）＝et（a﹣t），t∈（﹣∞，a），f′（t）＞0，f（t）是增函数，t∈（a，+∞），f′（t）＜0，f（t）是减函数，因此当且仅当0＜b＜ea时，上述关于t的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：D．2．（2020•新课标Ⅰ）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+1【答案】B【题型】求切线【解析】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．故选：B．3．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线y＝aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e﹣1，b＝1 B．a＝e﹣1，b＝﹣1 C．a＝e，b＝﹣1 D．a＝e，b＝1【答案】B【题型】由切线求参数【解析】解：∵y＝aex+xlnx，∴y′＝aex+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1．故选：B．4．（2019•新课标Ⅱ）曲线y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 C．2x+y﹣2π+1＝0 D．x+y﹣π+1＝0【答案】C【题型】求切线【解析】解：由y＝2sinx+cosx得y′＝2cosx﹣sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，∴y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣π），即2x+y﹣2π+1＝0．故选：C．5．（2018•全国）若函数f（x）＝ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝2x+1，则a＝（）A．﹣1 B．0 C．14 【答案】D【题型】由切线求参数【解析】解：函数f（x）＝ax2+1的导数为f′（x）＝2ax，可得点（1，f（1））处的切线斜率为2a，由点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝2x+1，可得2a＝2，解得a＝1，故选：D．6．（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【答案】D【题型】求切线【解析】解：f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．二．填空题7．（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）【题型】切线条数问题【解析】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）ex∴切线的斜率k=e∴切线方程为y﹣（x0+a）ex0=（ex0+(又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）ex0=（ex整理得：x0∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．8．（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】x﹣ey＝0，x+ey＝0【题型】求切线【解析】解：当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），∵y'=1x，∴切线的斜率k=1x0，∴切线方程为y﹣lnx0=1又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，∴x0＝e，∴切线方程为y﹣1=1e(x−e)，即x当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，∴切线方程也关于y轴对称，∴切线方程为x+ey＝0，综上所述，曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．9．（2022•全国）曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为．【答案】x﹣y﹣1＝0【题型】求切线【解析】由f（x）＝xlnx得y'=lnx+x⋅1x=lnx+1，∴即曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．10．（2021•全国）曲线y＝2x3﹣6x2﹣18x+7在点（﹣2，3）处的切线方程是．【答案】30x﹣y+63＝0【题型】求切线【解析】解：函数y＝2x3﹣6x2﹣18x+7的导数为y′＝6x2﹣12x﹣18，可得曲线在点（﹣2，3）处的切线的斜率为6×4﹣（﹣24）﹣18＝30，则曲线y＝2x3﹣6x2﹣18x+7在点（﹣2，3）处的切线方程为y﹣3＝30（x+2），即为30x﹣y+63＝0．故答案为：30x﹣y+63＝0．11．（2021•甲卷）曲线y=2x−1x+2在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为【答案】5x﹣y+2＝0【题型】求切线【解析】解：因为y=2x−1所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5则曲线y=2x−1y﹣（﹣3）＝5[x﹣（﹣1）]，即5x﹣y+2＝0．故答案为：5x﹣y+2＝0．12．（2020•新课标Ⅰ）曲线y＝lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．【答案】y＝2x【题型】求切线【解析】解：y＝lnx+x+1的导数为y′=1设切点为（m，n），可得k＝1+1m=则切线的方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，故答案为：y＝2x．13．（2019•天津）曲线y＝cosx−x2在点（0，1）处的切线方程为【答案】x+2y﹣2＝0【题型】求切线【解析】解：由题意，可知：y′＝﹣sinx−12，∵y′|x＝0＝﹣sin0y＝cosx−x2在点（0，1）处的切线方程：y﹣1=−12x，整理得：故答案为：x+2y﹣2＝0．14．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．【答案】（e，1）【题型】求切点【解析】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′=1∴y'|x=x0=1x0，则该曲线在点∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴−1−lnx即lnx0=ex0，则x0＝故答案为：（e，1）．15．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+4x（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是【答案】4【题型】切线应用:距离问题【解析】解：由y＝x+4x（x＞0），得y′＝1设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+4x（x＞0）切于（x0，由1−4x02=−1，解得∴曲线y＝x+4x（x＞0）上，点P（2，32）到直线最小值为|2故答案为：4．16．（2019•新课标Ⅰ）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为．【答案】y＝3x【题型】求切线【解析】解：∵y＝3（x2+x）ex，∴y'＝3ex（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．17．（2018•新课标Ⅱ）曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为．【答案】y＝2x﹣2【题型】求切线【解析】解：∵y＝2lnx，∴y′=2x，当x＝1时，