江西省吉安、九江等八所重点2021-2022学年高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各

边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少

是（）

A.8B.7C.6D.4

2.若单位向量I，"■夹角为60°,a=Xex-e[,且/，则实数4=（）

A.-1B.2C.0或一1D.2或一1

3.在平面直角坐标系X。），中，已知点A（0,—2）,N（l,0）,若动点M满足隅=3,则两•两的取值范围是

（）

A.[0,2]B.[0,2问

C.[-2,2]D.[-272,272]

4.△ABC的内角的对边分别为若（2。-Z?）cosC=ccosB,则内角C=（）

5.已知复数4=cos23°+isin23。和复数z?=cos37°4-zsin37°,则Z]•z?为

A173.R6「.r1V3.nV31.

22222222

6.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（

7.已知复数一，则-的共匏复数在复平面对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知集合4=卜|/—2x—15>0},B={x|0<x<7},则&A）UB等于（）

A.[-5,7)B.[-3,7)C.(-3,7)D.(-5,7)

9.已知等边A45C内接于圆T：x2+y2=l,且尸是圆r上一点，则可•（方+正）的最大值是（）

A.72B.1C.6D.2

10.已知函数,f(x)=j：：：。，若关于x的不等式[/(x)丁+4(x)<0恰有1个整数解，则实数”的最大

值为()

A.2B.3C.5D.8

11.已知数列｛q｝的前〃项和为s“，且(S,,+l)(S“+2+1)=(S,“|+1)2(〃eN*),4=1,4=2,则S“=()

n(n+l),1

A.1------1B.2/,+1C.2〃-1D.2,,+1+1

2

XCOQYTC7T

12.函数，(X)=2'+’T在一5，彳上的图象大致为()

D.

_£。|\A工

2\/2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若（X-2）"展开式的二项式系数之和为64,则展开式各项系数和为.

14.已知b是抛物线C:y2=2x的焦点，M是C上一点，根的延长线交,轴于点N.若M为FW的中点，则

?N|=.

,,ucouuvuuyuuvju吗

15.在MBC中，CACB=0，BCBA=2>则|BC|=.

16.曲线“x）=4x-e'在点（OJ（O））处的切线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Jrjr

17.（12分）如图，在直角”（加中，NAC8=—，ZCAB=-,AC=2,点M在线段A8上.

23

（1）若sinNCMA='^,求CM的长；

3

（2）点N是线段CB上一点，MN=41，且5■的=35力6,求BM+BN的值.

18.（12分）已知抛物线C:/=4y与直线/：x-2y-2=0.

（1）求抛物线C上的点到直线/距离的最小值；

（2）设点2（事,%）是直线/上的动点，Q（1,D是定点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点为4,B,求证A,Q,

5共线；并在福=3萌时求点尸坐标.

19.（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路4,4,以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山

隧道MN,为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路44和山区边界的直线型公路/,以4,6所在

的直线分别为X轴，）'轴，建立平面直角坐标系如图所示，山区边界曲线为C:y=®（x>0）,设公路/与

曲线C相切于点尸，尸的横坐标为

(1)当f为何值时，公路/的长度最短?求出最短长度；

7T

(2)当公路/的长度最短时，设公路/交X轴，y轴分别为A,B两点,并测得四边形中，ZBAN=-,

9

4MBA=q兀，AN=10匹千米，6M=156千米，求应开凿的隧道MN的长度.

A+C

20.(12分)在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(A+B)=csin*----.

2

(1)求B；

(2)若的面积为周长为8,求反

21.(12分)在多面体48。。所中，四边形4?。是正方形，6,平面ABC。，CF//DE,AB=CF=2DE=2,

G为的中点.

(1)求证：CGLAF^

(2)求平面BCb与平面A跖所成角的正弦值.

22.(10分)已知曲线G的参数方程为［*二垃c°s”(。为参数).以直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴

y=sin。

为极轴建立坐标系，曲线。2的极坐标方程为psin2。=4cos。.

(1)求G的普通方程和C?的直角坐标方程;

囤阀

(2)若过点尸(1，0)的直线/与G交于A，B两点,与交于M,N两点，求I而稿的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

则从下往上第二层正方体的棱长为：博寿=4行，从下往上第三层正方体的棱长为：J(2何+(2可=4,

从下往上第四层正方体的棱长为：万=2血，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形

中正方体的个数的最小值的求法.

【详解】

最底层正方体的棱长为8,

则从下往上第二层正方体的棱长为：曲不=472，

从下往上第三层正方体的棱长为：«2用+(26j=4,

从下往上第四层正方体的棱长为：万方=272，

从下往上第五层正方体的棱长为：J曲+闾=2,

从下往上第六层正方体的棱长为：庐平=加，

从下往上第八层正方体的棱长为：出^^=日，

...改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.

2.D

【解析】

利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数X的值.

【详解】

22

由于=所以屋=3,即e?)=3,Ae1—=A—2A-cos60+1=3»即方―2—2=0,

解得几=2或2=-1.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.

3.D

【解析】

设出”的坐标为(x,y),依据题目条件，求出点M的轨迹方程Y+(y—2)2=8,

写出点M的参数方程，则而■.丽=2&cos。，根据余弦函数自身的范围，可求得OA/。月结果.

【详解】

设M(x,y),则

喘Sm-2)

M+心

：.x2+(y+2)2=2(x2+y2)

:.x2+(y-2>=8为点加的轨迹方程

x=2正cos。

二点用的参数方程为「(。为参数)

y=2+2>/2sin。

则由向量的坐标表达式有：

OMON=2y[2cos0

又cos6w(-l』]

:.OMON=272cos6e[-2夜,272]

故选：D

【点睛】

考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,

属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

4.C

【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.

【详解】

V(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCeos5,

:.2sinAcosC=sin8cosc+sinCeosB=sin(B+C)=sinA,

17T

三角形中sinA/O,.,•cosC=一,二C=—.

23

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.

5.C

【解析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.

【详解】

ziZ2=(cos230+zsin23°),(cos37°+isin37°)=cos60°+rsin60°=—+i.

22

故答案为C.

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系,

点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

6.C

【解析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.

【详解】

根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：

由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体ABC。-中截去四棱锥用-ABC。所形成的几何体，

12

该几何体的体积为丫=13-='12、1=二.

33

故选：C.

【点睛】

本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.

7.C

【解析】

分析：根据复数的运算，求得复数二，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案.

详解：由题意，复数E,则==_；_-

n=7ZB=（7ZB5a^j=-;+n

所以复数;在复平面内对应的点的坐标为位于复平面内的第三象限，故选c.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数二是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力.

8.B

【解析】

解不等式确定集合A,然后由补集、并集定义求解.

【详解】

由题意A={x|x?-2x-15>。}={%|%<—3或》>5},

/.a4={彳|-34x45},

◎A）UB={X|_34X<7}.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型.

9.D

【解析】

如图所示建立直角坐标系，设P（cosO,sin。），则西・（丽+定）=1-cos。，计算得到答案.

【详解】

如图所示建立直角坐标系,设P(cos9,sin。),

贝！I丽•(丽+定)=(1一cos仇一sin^)(-1-2cos0,-2sin0)

=(1-cos0)(-1-2cos6)+2sin?0=2cos2^-cos^-l+2sin20=l-cos^<2.

当。=一兀，即P（-LO）时等号成立.

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

10.D

【解析】

画出函数/（%）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.

【详解】

解：函数/（X）,如图所示

[/(^)]2+#(X)<0=>/(%)(/(x)+a)<0

当a>0时，—a</(x)<0,

由于关于x的不等式[/(x)[+(%)<0恰有1个整数解

因此其整数解为3,又/(3)=—9+6=—3

—a<—3<0>—ci之f(4)=—8,则3<aW8

当a=0时，[/(x)]<0,则a=0不满足题意；

当a<0时，0</(x)<-a

当时，0</(力(-a,没有整数解

当一。>1时，0</(可〈一a,至少有两个整数解

综上，实数。的最大值为8

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.

11.C

【解析】

根据已知条件判断出数列｛S,+l｝是等比数列，求得其通项公式，由此求得s“.

【详解】

由于(S“+l)(S.+2+l)=(S“」+l)2(〃eN*),所以数列｛*+1｝是等比数列，其首项为耳+1=4+1=2,第二项为

4

S2+l=4+〃2+l=4,所以公比为］=2.所以S〃+l=2〃，所以S〃=2〃—1.

故选：c

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

12.C

【解析】

根据函数的奇偶性及函数在0<x<5时的符号，即可求解.

【详解】

YCCWX

由/(-x)=—=-/(%)可知函数为奇函数.

2+2

所以函数图象关于原点对称，排除选项A,B；

当Ovx<5时，cosx>0,

rCOQx

••"(x)=>0,排除选项

：2+二2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出〃的值，然后再计算展开式各项系数的和.

【详解】

由题意(X-2)"展开式的二项式系数之和为64,即2"=64,故〃=6,令x=1,则展开式各项系数的和为(1-2)6=1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，

需要掌握解题方法.

14.之

2

【解析】

由题意可得尸&,0),又由于M为F7V的中点，且点N在)'轴上，所以可得点M的横坐标，代入抛物线方程中可求

点M的纵坐标，从而可求出点N的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.

【详解】

解：因为尸是抛物线C：y2=2x的焦点，所以尸(；,0),

设点M的坐标为(不，为)，

因为M为尸N的中点，而点N的横坐标为0,

所以x°=，，所以为2=2*[=1，解得v=±《2,

4422

所以点N的坐标为(0,土立)

所以|可|=房=|，

3

故答案为：-

2

【点睛】

此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.

15.>/2

【解析】

先由题意得：CA1CB,再利用向量数量积的几何意义得而•丽=|阮『，可得结果.

【详解】

由EA•丽=0知：CA1CB,则而在阮方向的投影为阮，

由向量数量积的几何意义得：

BC-BA=\AB\-\BC\-cosZABC=\BC^=2,/.|BC|=V2

故答案为0

【点睛】

本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.

16.3x—y—1=0

【解析】

求导，得到了'(0)和/(o),利用点斜式即可求得结果.

【详解】

由于/(O)=T，/'(x)=4—心所以/'(0)=4-1=3,

由点斜式可得切线方程为3x-y-l=0.

故答案为：3x_y-l=0.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)3；(2)4+6

【解析】

(1)在VC4M中，利用正弦定理即可得到答案；

(2)由S4BMN=1可得BMBN=46,在ABMN中，利用MN=近及余弦定理得

MN2=BM1+BN2-1BM-BNcos-,解方程组即可.

6

【详解】

(1)在VC4M中，已知NCAM=工，sinZCMA=—,AC=2,由正弦定理，

33

AC-sin—2x二

得出AC

,解得CM_______3_=____2_=3.

sinNCMAsin/CMA6

3

（2）因为5谶的=15.山，所以1.B/.BN-sin5=：x1x2x2石，解得BM-BN=4^.

22622

在ABMN中，由余弦定理得，

MN°=BM、BN°—2BM-BNssq=（BM+BN》—2BM-BN\1+

即丽）2=（6M+3N）2-2X4GX1

（BM+BN）2=19+8百=（4+可,

故BM+BN=4+6

【点睛】

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.

18.(1)至；(2)证明见解析，尸(0,-1)或尸(2,0)

10

【解析】

(1)根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；(2))设45，x),B(X2,y2),表示出直线B4,PB的

方程，利用修表示出西，々，即可求定点尸的坐标.

【详解】

2

(1)设抛物线4点的坐标为哈)，

0

则«=1时取等号),

则抛物线C上的点到直线/距离的最小值些；

10

(2)设y),8(w，%)，

1,

4

,I

•••y=2x>

••・直线Q4,PB的方程为分别为y-y=5(x-X1)，y-y2=^-(x-x2),

由两条直线都经过点P点得X,为方程/-2玉/+4%=0的两根％+%=2x(>,3々=4%,

直线AB的方程为丁一弘=上二上。一玉)，y—%=笔歪(x—5),

x2-X,4

if-岩(if)=1-牛+牛=1吟+为=0，

...A,Q,8共线.

又西-1=3(1-%),

/.Xj=4-3X2,

x}=3x0-2

<x2=2-x0,

xtx2=2x0-4

解x()=0，=2,

••・点P(x°,%)是直线/上的动点，

•■•/=0时，%=T,%=2时，％=0,

P(o,-1),或尸(2,0).

【点睛】

本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平和分析推理能力.

19.(1)当1=10时，公路/的长度最短为20近千米；(2)5后(千米).

【解析】

(1)设切点尸的坐标为「，一］0>0),利用导数的几何意义求出切线/的方程为y-则=-当(％-根据两

点间距离得出|A8|=^4/+型毁/>0,构造函数g")=4/+"丝">0,利用导数求出单调性，从而得出极值

」*

和最值，即可得出结果:

(2)在A钻N中，由余弦定理得出BN=10#，利用正弦定理一^—=———,求出44BN=g,最后

sinZBANsinZABN6

根据勾股定理即可求出MN的长度.

【详解】

(1)由题可知，设点P的坐标为［，5］

(f>0),

一100小

又y=---二(zx>0),

x

则直线/的方程为y-&=-绊(xT),

由此得直线/与坐标轴交点为：A(2r,0),5|0,—

…司,t>0,故/«)=)4产+^^">0,

则|4?|=4”/2+—400—00

、■八，240000八r,，,、2x40000

设gQ)=4/+——,t>0,则g«)=8of-----—

令g'Q)=0,解得，=10.

当/€(0,10)时,g'Q)<0,g⑺是减函数;

当fe(10,+co)时，g'⑺>0,g⑺是增函数.

所以当/=1()时，函数g(f)有极小值，也是最小值,

所以gQ)mm=80。，此时/⑺.=20公.

故当，=10时，公路/的长度最短，最短长度为200千米.

(2)在AABN中，AN=100，4BAN=%,

所以BN?=AB2+AN2-2AB-ANcosZBAN，

所以BN=10巫,

根据正弦定理

BN_AN

sinNBAN-sinZABN'

.1076_10V2

.万sin/ABN'

sin—

3

:.sinZABN=-,

2

71

乙ABN=-,

6

又/MBA=乙兀,

3

7T

所以NMBN=/MBA-ZABN=-.

2

在△MBN中，BM=156,BN=娓,

由勾股定理可得用N?=卸02+92,

即MN?=(15百)2+(l()C)2,

解得，MTV=5751(千米).

【点睛】

本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的

实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.

TTJ3

20.(1)B=~；(2)b=—

34

【解析】

A+C

(1)通过正弦定理和内角和定理化简匕sin(A+B)=csinu—,再通过二倍角公式即可求出D3；

(2)通过三角形面积公式和三角形的周长为8,求出方的表达式后即可求出匕的值.

【详解】

(1)由三角形内角和定理及诱导公式，得。sinC=ccos£,

2

结合正弦定理，得sin8=cos—,

2

由0＜g＜四及二倍角公式，得sinO='，

2222

即《=?，故8=?；

263

(2)由题设，得,acsinB=J5,从而ac=4,

2

由余弦定理，得〃=/+/—2accos8,即"(…［一⑵

又a+8+c=8,所以k=(8—8)2-12,

13

解得。=干.

【点睛】

本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.

21.(1)证明见解析(2)叵

6

【解析】

(1)首先证明CGLAB,CG1BF,4308尸=3,二。6_1平面48F.即可得到4厂(=平面43尸，CG±AF.

(2)以。为坐标原点，DA,DC,DE所在的直线分别为x轴、＞轴、二轴建立空间直角坐标系，分别求出平面

和平面8CT的法向量，带入公式求解即可.

【详解】

(1)平面ABC。，ABI平面ABCD,CFLAB.

又：四边形ABCD是正方形，；.AB1BC.

•••8Cner=C,AB_L平面8CT.

又＜BC=CF=2,G为Bb的中点，.••CGLBR.

•••ABD=8,CG_1平面ABF.

VAFu平面ABF，:.CG±AF.

(2)•••。尸，平面43。，C尸〃DE,.•.7)£，平面ABC。.

以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、)'轴、z轴建立空间直角坐标系.

如图所示:

则0(0,0,0),A(2,0,0)