湖北省随州市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

湖北省随州市2021年中考数学试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.2021的相反数是（）

11

A.-2021B.2021C.--D.痂

【答案】A

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】2021的相反数是-2021,

故答案为：A.

【分析】相反数：根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.

2.从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表

示为（）

A.5.7x106B.57x106C.5.7x107D.0.57x108

【答案】C

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：5700万=57000000,用科学记数法可表示为5.7X107,

故答案为：C.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：axion,其中k|a|<10,此题是绝对值较大的数，因此n=

整数数位

3.如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若/1=45°，则N2为（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

【答案】A

【考点】平行公理及推论，平行线的性质

【解析】【解答】如图，已知a〃b，作直线c〃a,则c“b,

则N1=Z3,Z2=Z4,

•1,Z3+Z4=60°,

Z1+Z2=60°,

Z2=60°-Z1=15°,

故答案为：A.

【分析】利用平行线的性质可证得N1=Z3,Z2=Z4,根据N3+N4=60。，可求出N2的度数.

4.下列运算正确的是（）

A.a-2=—a2B.a2+a3=a5C.a2-a3=a6D.（a2）3=a6

【答案】D

【考点】同底数幕的乘法，负整数指数累的运算性质，合并同类项法则及应用，募的乘方

【解析】【解答】解：A.a-2=*-a2,故答案为：A计算不正确；

B.a2与a3不是同类项不能合并，a2+a3^a5,故答案为：B计算不正确；

C.a2-a3=a2+3=a5a6,故答案为：C计算不正确；

D.（a2）3=a2x3=a6,故答案为：D正确.

故答案为：D.

【分析】利用负整数指数基的性质，可对A作出判断；只有同类项才能合并，可对B作出判断；利用同

底数基相乘，底数不变，指数相加，可对C作出判断；利用黑的乘方，底数不变，指数相乘，可对D作出

判断.

5.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（）

体温/C

37.5

37.0・"超°，潍.里图

36.5圣…女6’

次

I234567

A.测得的最高体温为37.1℃B.前3次测得的体温在下降

C.这组数据的众数是36.8D.这组数据的中位数是36.6

【答案】D

【考点】折线统计图，中位数，众数

【解析】【解答】解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃,A选项正确，不符合题意;

B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；

C、由7组数据可知，众数为36.8,C选项正确，不符合题意；

D、根据中位数定义可知，中位数为36.8,D选项错误，符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用折线统计图可知测得的最高温，可对A作出判断；同时可得到体温的变化情况，可对B作

出判断；再利用中位数和众数的求法，可对C,D作出判断.

6.如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（）

A.主视图和左视图B.主视图和俯视图

C.左视图和俯视图D.三个视图均相同

【答案】A

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：所给几何体的三视图如下,

故答案为：A.

【分析】俯视图就是从上往下看，所看到的平面图形，主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形,

左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，由此可得答案.

7.如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒

米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）

12cm2

【答案】A

【考点】正方形的性质，几何概率

【解析】【解答】解：•••两个小正方形的面积为3cm2和12cm2，

两个小正方形的边长为百和2次，

大正方形的边长为V3+2V3=3V3，

•••大正方形的面积为38x38=27,

阴影部分的面积为27-3-12=12,

米粒落在图中阴影部分的概率为喘=5,

N79

故答案为：A.

【分析】利用正方形的面积公式可求出两个白色正方形的边长，再求出大正方形的面积；阴影部分的面

积等于大正方形的面积减去两个白色的正方形的面积，然后利用概率公式可求出米粒落在图中阴影部分

的概率.

8.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为a时，梯子顶端靠在墙面上

的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为£,已

知sina=cos/?=|,则梯子顶端上升了()

A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米

【答案】C

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：如图所示标记字母，

根据题意得AB=CE=10米，

sinP=Jl_cos2.=Jl-(|)2=(>

在RtZ\ECD中，sin夕=冬=*=g,

OCJLUO

4

CD=-X10-8,

5—

在RtAABD中，sin-，

—AB105

3

・•・AD=-x10_6,

5-

/.AC=CD-AD=8-6=2.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件可得到AB,CE的长；利用同角三角函数，可求出sinB的值；在RSECD中，利用

解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC二CD.AD,可求出AC的长.

9.根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143,则p的值为()

【答案】B

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：根据图中数据可知：

n=1,2,3,4,...

p=12,22,32,42….

q=2?—1,3?—1,42—1,5^一1,...

则p=/，q=(n+I)2—1,

第n个图中的q=143,

q=(n+1)2—1=143，

解得：n=11或n=-13(不符合题意，舍去)

p—n2_121,

故答案为：B.

【分析】观察图形中数字的排列规律：第1个图形：3=(1+1)2-1；1=U；第2个图形:8=(2+1>-1,4=22；

第3个图形:8=(3+1)2一1,9=32…第n个图形：q=(n+1)2.ltp=n2,由此建立关于n的方程，解方程求出

n的值，然后求出p的值.

10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与%轴交于点4(-2,0)和点

B,与y轴的负半轴交于点C,且。B=2OC,则下列结论：①色?>°；02b-4ac=1；

③a=；；④当T<b<0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M,N

(点M在点N左边)，使得ANIBM.其中正确的有()

【答案】B

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的几何变换，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二

次函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】①从图象观察，开口朝上，所以a>0,

对称轴在y轴右侧，所以b<0,

图象与y轴交点在x轴下方，所以c<0

a—b>0,—,<0,所以Q)不正确；

②点4(一2,0)和点B,与y轴的负半轴交于点C(0,c),且OB2OC

设B(—2c,0)代入y=ax2+bx+c，得:

4ac2—2bc+c=0

•••cH0.•・2b-4ac=1,所以②正确；

(3)v4(-2,0),8(-2c,0)

设抛物线解析式为：y=Q(X+2)(%+2c)过C(0,c)

:・c=4ac，Q=，，所以③正确；

④如图：设AN,BM交点为P,对称轴与x轴交点为Q,顶点为D,

根据抛物线的对称性，△APB是等腰直角三角形,

・・・4(-2,0),B(-2c,0)

・•・AB=2-2c,PQ="B=1-c

又对称轴x=上产=c+1

・•・P(c+l,c—1)

由顶点坐标公式可知Z)(c+L噬打)

•••a=iD(c+1,c—b2')

由题意c-b2<c-l,解得b>1或者b<-l

由①知b<0b<-l,所以④不正确.

综上所述：②③正确共2个

故答案为：B.

【分析】利用抛物线的开口向上，可得到a的取值范围，利用左同右异，可得到b的取值范围，抛物线

与y轴交于负半轴可得到C的取值范围，由此可确定出a-b的符号，可对①作出判断；利用已知条件设点

B(-2c,0),将其代入函数解析式，进行化简，可对②作出判断；利用点A,B的坐标，设函数解析式为

交点式，可得到c=4ac,进行化简，可对③作出判断；设4MBM交点为P,对称轴与x轴交点为Q,顶

点为D,利用抛物线的对称性可得到4APB是等腰直角三角形，利用点A,B的坐标可求出AB,PQ及抛物

线的对称轴，再求出抛物线的顶点坐标，即可求出b的取值范围，可对④作出判断.

二、填空题(共6题；共7分)

11.计算：|百一1|+(兀-2021)°=.

【答案】V3

【考点】实数的运算，。指数幕的运算性质

【解析】【解答】|V3-1|+(7T-2021)°=V3-1+1=V3

故答案为：V3

【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.

12.如图，。。是△4BC的外接圆，连接AO并延长交。。于点。，若4=50°，则ZBAD

的度数为.

【答案】40°

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】如图，连接BD,则/D=Nt=50°

•••ZABD=90°

•••/BAD=90°-4=90°-50°=40°

故答案为400

【分析】利用同弧所对的圆周角相等，可求出ND的度数；再利用圆周角定理可求出NBAD的度数.

22

13.已知关于%的方程x2-(fc+4)x+4k=0(k片0)的两实数根为与，不，若二+二=3，

X1x2

贝ljk=.

【答案】I

【考点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】由题意，％1+%2=々+4,X1M=4k,

•・・-+-=3,

X1X2

2(%1+%2)=3%I%2，

即：2(k+4)=3x4/c,

解得：fc=l,

故答案为：(.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出X1+X2,X1X2的值；再将已知方程组转化为

2Q1+©)=3/,然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值.

14.如图，在ABC中，4=90。，ZABC=30°,BC=H，将△4BC绕点4逆时针

旋转角a(0°<a<180°)得到△4B'C'，并使点C‘落在AB边上，则点B所经过的路径

长为.(结果保留Tt)

【答案】|兀

【考点】勾股定理，弧长的计算，旋转的性质

【解析】【解答】解：,J4=90°,ZABC=30°,BC=用，

：.AB=2AC,

设AC=x,则AB=2x,由勾股定理得：

X2+(遮产=(2%)2,

解得：x=l,

则：AC=1,AB=2,

・・•将△ABC绕点A逆时针旋转角a(00<a<180°)得到△AB'C，，且点C'落在48边

上，

・.・旋转角为60。，

ZBABz=60°,

二点B所经过的路径长为：黑=黑乂48=92=9,

loOloO33

故答案为：I兀.

【分析】利用已知条件可证得AB=2AC,设AC=x,则AB=2x,利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求

出x的值，可得到AC,AB的长；再利用旋转的性质可求出NBAB，的度数；然后利用弧长公式可求解.

15.2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机"祖冲之”号的相关研究成

果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率n精确到小数点后第七位的人，他给出

兀的两个分数形式：Y（约率）和HI（密率）.同时期数学家何承天发明的“调日法"是程序化寻求精确

分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为士和色（即有

ac

其中a,b,c,d为正整数），则号是x的更为精确的近似值.例如：己知当＜

兀＜彳，则利用一次“调日法"后可得到7T的一个更为精确的近似分数为：器^:詈；由于含。

3.1404＜n,再由詈＜兀＜今，可以再次使用"调日法"得到7T的更为精确的近似分数……现已知!＜

夜＜|，则使用两次“调日法"可得到V2的近似分数为.

【答案】g

【考点】估算无理数的大小，近似数及有效数字

【解析】【解答】解：.二|＜V2＜|

，第一次“调日法"，结果为：若=与

•••—X1.4286＞V2

7

2＜或＜U

57

・•.第二次“调日法"，结果为：若=5

故答案为：II

【分析】利用“调日法”逐次进行计算，可求出结果.

16.如图，在Rt△ABC中，ZACB=90°,。为AB的中点，OD平分ZAOC交AC于点

G,OD=OA,BD分别与AC,OC交于点E,F,连接AD,CD,则器的值为

DC

;若CE=CF,贝ij的值为.

【答案】V2

【考点】圆的综合题

【解析】【解答】解：（1）；ZACB=90°，。为力B的中点

/.OA=OC

又OD平分ZAOC

・•・ZAOD=NCOD

又•・,OD=OD

△AOD=△COD

AD=CD

・•・OD1AC

ZOGA=90°

在LAOG与〉ABC中

ZGAO=ZBAC,ZOGA=ZBCA=90°

△AOGABC

OG_AO_1

BC~AB~2

(2;OA=OD=OC=OB

・,.A,B,CfD四点共圆，如下图：

•・.CE=CF

ZCEF=NCFE

又「NCFE=ZBFO

・•・NCEF=/BFO

,/LAOD=△COD

・•.AD=CD

・•.AD=CD

NOBF=ZCBE

ZBFO+NOBF=NCEF+NCBE=90°

即ZBOC=90°

•・,OB=OC

・••BC=V2OC=42OA=V2OD

ZOGA=ZBCA=90°

・•・NODB=ZFBC

ZOFD=NCFB

△ODF—△CBF

生=变=企

OFOD

故答案为：|;V2

【分析】利用线段中点的定义可证得OA=OC,利用角平分线的定义可得到NAOD=NCOD,根据SAS可证

得△AOD2ACOD,利用全等三角形的对应边相等可证得AD=CD；再证明△AOG-△ABC,利用相似三角

形的对应边成比例，可求出CE与OF的比值；利用已知易证点A,B,C,D四点在同一个圆上，利用全等

三角形的性质可证得AD=CD,利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，可得到弧AD=MCD,利用

同弧所对的圆周角相等可证得NOBF=NCBE；再证明△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形可得到

BC与0D的数量关系；然后证明4ODF”△CBF,利用相似三角形的性质可求出CE与OF的比值.

三、解答题（共8题；共87分）

17.先化简，再求值：（1+—,其中x=l.

当％=l.时，原式=三=-2

【考点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分数除法转化为乘法运算，约分化简；然后将X的值代

入化简后的代数式求值.

18.如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF.

(1)求证：ZkABE2△CDF；

（2）证明四边形BEDF是菱形.

【答案】（1）证明：：四边形ABCD为菱形,

AB=CD,且ZBAE=ZDCF,

又AE=CF,

△ABE叁△CDF

（2）证明：连接BD交AC于点。，

•••四边形ABCD为菱形，

•••4C1BD,且。为4C,BD中点，

又AE=CF,

EO=F0

BD与EF互相垂直且平分，

故四边形BEDF是菱形

【考点】菱形的判定与性质，三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得NBAE=NDCF,AB=CD；利用SAS可证得结论.

（2）连接BD交AC于点。，利用菱形的性质可证得ACJ_BD,OA=OC,OB=OD,结合已知条件可证得

EO=FO；然后利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可证得结论.

19.疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了

该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

已接种未接种合计

七年级301040

八年级3515a

九年级40b60

合计105C150

（1）表中，a—»b—,c—；

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是年级教师；（填"七"或"八"或"九"）

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有

人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）

中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级

的概率.

【答案】（1）50；20；45

（2）七

（3）2400

（4）解：设七年级教师用A表示，八年级教师用B表示，九年级教师用G,C2表示，根据题意：

可画出树状图：

或列表:

说明：（4）问中用树状图法或列表法中一种即可.

【考点】用样本估计总体，统计表，列表法与树状图法

【解析】【解答】解：（1）a=35+15=50；b=60-40=20；c=10+15+20=45

故答案为：50；20；45

（2）七年级教师的接种率为：居x100%=75%；

八年级教师的接种率为：gx100%=70%；

九年级教师的接种率为：ux100%x66.7%；

60

即七年级教师的接种率最高.

故答案为：七

（3）抽取的三个年级教师中未接种的百分比为：含x100%=30%,8000x30%=2400（人）

故答案为：2400

【分析】（1）利用表中数据分别求出a,b,c的值.

（2）分别求出七、八、九年级教师的接种率，再比较大小可得答案.

（3）用8000x抽取的三个年级教师中未接种的百分比，列式计算可求解.

（4）根据题意可知此事件是抽取不放回，列表，再求出所有的可能的结果数及选中的两名教师恰好不在

同一年级的情况数，再利用概率公式可求解.

20.如图，一次函数yi=kx+b的图象与%轴、y轴分别交于点A,B,与反比例函数丫2=?

(m>0)的图象交于点C(l,2),D(2,n).

y

（1）分别求出两个函数的解析式;

（2）连接0D，求4B0D的面积.

【答案】

(1)解：双曲线y2=7(m>0)过点c(1,2)和D(2,n),

2=-

{A，解得，

n=T

・♦•反比例函数的解析式为y2=l-

,直线yr=kx+b过点C(1,2)和D(2,1),

-ck+b=2解得,k--1

''[2k+b=l解信Ib=3,

一次函数的解析式为yx=-x+3

（2）解：当x=0时,yi=3,即B（0,3）.

OB=3.

如图所示，过点D作DELy轴于点E.

DE=2.

•1SXBOD~。8'DE=-X3X2=3.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积

【解析】【分析】（1）将点C,D的坐标分别代入反比例函数解析式，建立关于m,n的方程组，解方程

组求出m,n的值，可得到反比例函数解析式及点D的坐标；再将点C,D分别代入一次函数解析式，建

立关于k,b的方程组，解方程组求出k,b的值，可得到一次函数解析式.

（2）利用一次函数解析式求出点B的坐标，可得到0B的长；过点D作DE，y轴于点E,可得到点D的坐

标，求出DE的长，利用三角形的面积公式求出△BOD的面积.

21.如图，D是以AB为直径的。。上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E,过点B

作BCIDE交AD的延长线于点C,垂足为点F.

（1）求证：AB=BC；

（2）若。。的直径4B为9,sim4=1.

①求线段BF的长；

②求线段BE的长.

【答案】（1）证明：连接0D,

DE是。。的切线，

•••DE10D,

又；BC1DE,

OD“BC,

•1.ZODA=NC.

又在△OAD中，。力=。。，

•••ZODA=ZA，

NC=NA,

AB=BC

(2)解：①连接BD,

-oo的直径AB为9,

.AB=9,

在R£△ABD中,

..BD1

sirM=—=-

AB3

BD=-AB=3.

3

又:NOBD+4=/FDB+NODB=90°，且NOBD=NODB,

・.•ZA=NBDF,

在RtABDF中,

ppi

•/sin^BDF=-=-,

BD3

BF=-BD=1.

3

②由（1）可知OD“BF,

ZDOE=ZFBE,ZODE=ZBFE,

△EBF-△EOD,

.BE_BF日口遭一=-

.»--=--，即.,99,

OEODDCBE+--

解得BE='.

经检验符合题意

【考点】切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形

【解析】【分析】（1）连接OD,利用切线的性质可证得DE_LOD,再证明ODIIBC,可得到NODA=NC；

利用等边对等角可证得NODA=NA,由此可推出NA=NC,利用等角对等边可证得结论.

（2）①连接BD,利用解直角三角形求出BD的长；再证明NA=NBDF,再利用解直角三角形求出BF的

长；②利用平行线的性质可证得NDOE=ZFBE,ZODE=ZBFE,利用有两组对应角相等的两三角形相似，

利用相似三角形的性质可求出BE的长.

22.如今我国的大棚（如图1）种植技术己十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截

面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B

处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体

A的水平距离x（米）之间的关系满足y=-^x2+bx+c,现测得A,B两墙体之间的水平距离

为6米.

（图1）（图2）

（1）直接写出b,c的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为三米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土

地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

【答案】（1）解：由题意知点A坐标为（0,1），点B坐标为（6,2），

将A、B坐标代入y=~\x2+bx+c得：

l_c卜_1_

^-2=--x62+6b+c解得：｛；，

6C=1

7

故b=z,c=1

6

（2）解：由y=-^x2+^x+1=-i（x-^）2,

666224

可得当x时，y有最大值g,

即大棚最高处到地面的距离为总米

24

（3）解：由y=-^%2+：%+1=芸，解得/；X2=?，

ooZ4ZZ

又因为0WxW6,

可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为6-j=y（米），

又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为16x£=88（平方米）

共需要88x4=352（根）竹竿

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的其他应用

【解析】【分析】（1）利用已知条件可求出点A,B的坐标，将这两点坐标代入函数解析式，可得到关于

b,c的方程组，解方程组求出b,c的值.

（2）将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.

（3）由y=0可求出x的值，利用x的取值范围可求出大棚内可以搭建支架的土地的宽，再根据大棚的长

为16米，即可求出需要搭建支架部分的土地面积，然后求出结果.

23.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用"同一个图形的面积相等"、"分割图形后各部分

的面积之和等于原图形的面积"、"同底等高或等底同高的两个三角形面积相等"等性质解决有关数学问

题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,其内切圆

的半径长为;

（2）①如图1,P是边长为a的正MBC内任意一点，点。为AABC的中心，设点P至△ABC

各边距离分别为h,4，4,连接AP,BP,CP,由等面积法，易知:。（々+%+公）=

JL4JO

S4ABe-3SAO48＞可得4+々+%3=▲；（结果用含a的式子表示）

②如图2,P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别

为々，工，A,以，％,参照①的探索过程，试用含a的式子表示由+4+4+4+4

的值.（参考数据：tan36°〜三,tan54°）

11O

（3）①如图3,已知。。的半径为2,点A为。。外一点，。4=4,AB切。。于点B,弦

BC//OA，连接AC,则图中阴影部分的面积为▲；（结果保留n）

②如图4,现有六边形花坛ABCDEF,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边

形ABCDG,其中点G在力F的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，

并说明理由.

【答案】⑴-1

（2）解：①fa;②类比①中方法可知"（II、”六'+4+幻=S五边形ABCDE

设点。为正五边形ABCDE的中心，连接04，0B,

D

由①得S五边形ABCDE=5sAO.B,

过。作。Q_L力8于Q,ZEAB=1xl80°X(5-2)=108°,

故^OAQ=54°,OQ=AQxtan54°=|atan540,

故+/+/+/+力)=5xxiatan54°，从而得到：

555

可+42+勺+4+4=2atan54°«—a

（3）解：①|兀；②②如图，连接DF,过点E作EG“DF交AF的延长线于G点，则点G即

为所求，

连接DG,S六边形ABCDEF=S五边形ABCDF+S4DEF,

•EG“DF,

,•SMEF=SRDGF）

S六边形ABCDEF~S五边形ABCDF+S^DGF-S五边形ABCDG

【考点】圆的综合题

【解析】【解答］解：（1）直角三角形的面积为：ix3x4=6,

直角三角形斜边为：V32+42=5,

设直角三角形斜边上的高为h,则：x5"=6

•**h=

设直角三角形内切圆的半径为r,则：(3+4+5)r=：x3x4

/.r=1,

故答案为：£»1；

①边长为的正底边的高为当,面积为：2

(2)a4ABCaSA0AB=I-a-=^a

1遮,

'''2+%+〃3)=SAABC_3SAOAB=~4~a

二4+4+，3=枭，

故答案为：夜a;

2

(3)①・.・48是。。的切线，

・•・OB1AB

・•・NOBA=90°

vOB=2,OA=4

・•・Z0AB=30°

・•・NA0B=60°

vBC“0A

・•・NA0B=N0BC=60°

v0C=OB

・•・NOBC=ZOCB=60°

・•・NCOB=60°

过点。作。Q，BC

、:BC“OA,

OQ是△COB、AABC的高，

^^ABC=S^ocB

60xnr260x4TT2

71

.•・,阴影部分=S扇物BC=360=360=3

故答案为：|TT；

【分析】(1)利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可求出斜边上的高；再利

用各部分的面积等于原图形的面积，可求出直角三角形的内切圆的半径.

(2)①利用解直角三角形求出等边AABC的高，即可求出AAOB的面积，然后根据：a(4+4+4)=

S4ABe,可求出的值；②利用类比法,可得到+%+々+

=3SA04Bhi+h2+h34+4)=

S五边形ABCDE，设点。为正五边形ABCDE的中心，连接。4，0B,由①可知S五边形ABCDE=

5SAOAB，过点。作。Q，AB于点Q,利用正五边形的性质求出NOAQ的度数，利用解直角三角形求出

0Q的长；可得到"(4+%+4+4+4)=5Xx：atan54。，即可求出结果.

(3)①利用切线的性质可证得NOBA=90。，再求出NCOB=60。，过点。作OQ_LBC,可证得△ABC和

△OCB的面积相等，然后证明阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式可求解；②

如图，连接DF,过点E作EG//DF交AF的延长线于G点，则点G即为所求，连接DG,根据S,、

边修ABCOEF=S“边彩ABCDF+SADEF，利用EGIIDF,可证得SAED尸SADGF,由此可证得结论.

24.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点4(一1,0)和点B,与y轴交于点

C，顶点。的坐标为(1,一4).

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P在抛物线上且满足NPCB=NCBD,求点P的坐标；

(3)如图2,M是直线BC上一个动点，过点M作MNLx轴交抛物线于点N，Q是直线AC上

一个动点，当AQMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标

【答案】⑴解：将做一1,0)和0(1,-4)代入y=a/+bx+c

得a-b+c=0

何％+b+c=-4

又・•・顶点D的坐标为（1,一4）

•,3=一1

2a

a=1

-0•解得｛b=—2

c=-3

二抛物线的解析式为：y=x2-2x-3

(2)解：B(3,0)和D(l,-4)

直线BD的解析式为：y=2x-6

.•,抛物线的解析式为：y=x2-2x-3,抛物线与y轴交于点C,与x轴交于点4(-1,0)和点

B,

则C点坐标为(0,-3),B点坐标为(3,0).

①过点C作CPi〃BD,交抛物线于点Pi,

则直线CP】的解析式为y=2x-3,

结合抛物线y=x2-2x-3可知x2-2x-3=2x-3,

解得：%1=0(舍)，x2=4,

故Pi(4,5).

②过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G,

由OB=OC可知四边形OBGC为正方形，

直线CPi的解析式为y=2x-3

O

CP1与x轴交于点£(-,0),

在BC下方作ZBCF=/BCE交BG于点F,交抛物线于P2

ZOCE=NFCG

X'.-OC=CG,ZCOE==90°

△OEC2△GFC^ASA),

33

.・.FG=OF=f,尸(3,一》,

又由C(0,-3)可得

直