湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2022年中考数学五模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知一元二次方程3X—l=0的两个实数根分别是石、X2贝!IX/X2+X1X22的值为（）

A.-6B.-3C.3D.6

2

2.下列实数0,百，兀，其中，无理数共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，点P是NAOB内任意一点，OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，APMN周长的

最小值是5cm,则NAOB的度数是（）.

A.25°B.30°C.35°D.40°

4.把直线1：y=kx+b绕着原点旋转180。，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B（0,4）,则直线1的

表达式是（）

A.y=2x+2B.y=2x-2C.y=-2x+2D.y=-2x-2

5.如图，点A为Na边上任意一点，作AC_LBC于点C,CD_LAB于点D,下列用线段比表示sina的值，错误的是

ACADCD

C.-----D.

A8ACAC

6.如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,

则这个几何体的主视图是（）

7.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘

制成了统计图.根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

8.如图，半径为3的OA经过原点O和点C（0,2）,B是y轴左侧（DA优弧上一点，则tan/OBC为（）

9.点A（-1,二）），B（-2,二；）在反比例函数二=三的图象上，则二〃二的大小关系是（）

A.二」＞二；B.二产二；C.二/V二；D.不能确定

10.如图，A,B是半径为1的。。上两点，且。4_LO3,点尸从点A出发，在。。上以每秒一个单位长度的速度匀

速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s）,弦8尸的长为y,那么下列图象中可能表示y与x函数关系

的是（）

A.①B.③C.②或④D.①或③

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.圆锥的底面半径是4cm,母线长是5cm,则圆锥的侧面积等于cm).

12.地球上的海洋面积约为361000000kml则科学记数法可表示为km1.

13.已知a?+a=l,则代数式3-a-a?的值为.

14.因式分解：a5—4a-.

15.已知线段a=4厘米，匕=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于______厘米.

[5x-3y=8

16.方程组-八的解一定是方程与的公共解.

17.已知扇形的弧长为2二，圆心角为60。，则它的半径为.

三、解答题(共7小题，满分69分)

X2-111

18.(10分)先化简再求值：二_1+(—^-1),其中x=4.

x+2x+23

19.(5分)先化简，再求值.(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,其中x=-73•

20.(8分)先化简，再计算：———丑4+立其中X=_3+2&.

x+3x+3x-2

21.(10分)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(11,0),点B(0,6),点P为

BC边上的动点(点P不与点B、C重合)，经过点O、P折叠该纸片，得点B，和折痕OP.设BP=t.

(I)如图①，当NBOP=30(＞时，求点P的坐标；

(II)如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB，上，得点C，和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子

表示m；

(HI)在(II)的条件下，当点C，恰好落在边OA上时，求点P的坐标(直接写出结果即可).

22.(10分)定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆.

如图所示，已知：。1是AABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD_LIC于点D.

(1)试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论.

Pff]n

(2)设AB=AC=5,BC=6,如果△DIE和△AEF的面积之比等于m,—=n,试作出分别以一，一为两根且二

EFnm

甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元•已知乙种商品每件进价

比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同.

(1)求甲、乙两种商品的每件进价；

(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过

程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙

种商品销售单价保持不变•要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少

件？

24.(14分)问题探究

⑴如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC.CD上，NEAF=45。，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为；

(2)如图②，在AADC中，AD=2,CD=4,NADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC,

连接BD,则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；

问题解决

(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,NBAD=60。，BC=4夜，若BDLCD,垂足为点D,则对角线AC的长是

否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

根据根与系数的关系得到X|+X2=l,X/X2=-1,再把g2必+工必2变形为X-X2（Xl+X2）,然后利用整体代入的方法计算即

可.

【详解】

根据题意得：Xl+X2=l,X1»X2=-1,所以原式=X1・X2（X1+X2）=-1X1=-1.

故选B.

【点睛】

bc

本题考查了一元二次方程。/+必+。=0（存0）的根与系数的关系：若方程两个为X”X2,则Xl+X2=-2,XJ.X2=-.

aa

2、B

【解析】

根据无理数的概念可判断出无理数的个数.

【详解】

解：无理数有：6，兀.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.

3、B

【解析】

试题分析：作点P关于OA对称的点P3,作点P关于OB对称的点P3,连接P3P3,与OA交于点M,与OB交于点N,此时

△PMN的周长最小.由线段垂直平分线性质可得出APMN的周长就是P3P3的长，•；OP=3,...OP3=OP3=OP=3.又

,.^P3P3=3,,.,.OP3=OP3=P3P3,•^.△OP3P3是等边三角形，.,.NP3OP3=60。，即3（ZAOP+ZBOP）=60°,

NAOP+NBOP=30°,即NAOB=30°,故选B.

考点：3.线段垂直平分线性质；3.轴对称作图.

4、B

【解析】

先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解

析式绕着原点旋转180。即可得到直线1.

【详解】

解：设直线AB的解析式为y=mx+n.

VA(-2,0),B(0,1),

.•『三］二,=0卜2"二二0，

口=4I口=4

解得，

二直线AB的解析式为y=2x+L

将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y=2(x-1)+1,即y=2x+2,

再将y=2x+2绕着原点旋转180。后得到的解析式为-y=-2x+2,即y=2x-2,

所以直线1的表达式是y=2x-2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键.

5、D

【解析】

【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案.

【详解】VZBDC=90°,/.ZB+ZBCD=90°,

VZACB=90°,即NBCD+NACD=90°,

.*.ZACD=ZB=a,

CD

A、在Rt△BCD中，sina=——，故A正确，不符合题意；

BC

AC

B、在RtAABC中，sina=-故B正确，不符合题意；

AB

AD一

C、在RtAACD中，sina=—,故C正确，不符合题意；

AO

CD

D、在RtAACD中，cosa=—,故D错误，符合题意，

AC

故选D.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比

斜边，正切为对边比邻边.

6、C

【解析】

由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此

可得.

【详解】

由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，

所以其主视图为：

故选C.

【点睛】

考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

7、C

【解析】

根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个

数的平均数叫中位数.

【详解】

捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30,

中间两个数分别为30和30,则中位数是30,

故选C.

【点睛】

本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握.

8、C

【解析】

试题分析：连结CD,可得CD为直径，在R3OCD中，CD=6,OC=2,根据勾股定理求得OD=4&；

所以tanNCDO=22,由圆周角定理得，ZOBC=ZCDO,则tanNOBC=d2,故答案选C.

44

B

考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义.

9、C

【解析】

试题分析：对于反比例函数y==当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小，根据题意可得：-1＞一2,则

二）＜二

考点：反比例函数的性质.

10、D

【解析】

分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点尸逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题.

【详解】

分两种情况讨论：①当点尸顺时针旋转时，BP的长从行增加到2,再降到0,再增加到后，图象③符合；

②当点尸逆时针旋转时，BP的长从夜降到0,再增加到2,再降到0，图象①符合.

故答案为①或③.

故选D.

【点睛】

本题考查了动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常

考题型.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、IOJT

【解析】

解：根据圆锥的侧面积公式可得这个圆锥的侧面积=1・1兀・4・5=10加（cm1）.

2

故答案为：10兀

【点睛】

本题考查圆锥的计算.

12>3.61x2

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|<lO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【详解】

将361000000用科学记数法表示为3.61x2.

故答案为3.61x2.

13、2

【解析】

••21

•a+a=I，

••3—a—a2=3-(/+。)=3—1=2,

故答案为2.

14、a(a+2)(a-2)

【解析】

先提公因式，再用平方差公式分解.

【详解】

解：a，—4a=-4)=a(a+2)(a—2)

【点睛】

本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.

15、1

【解析】

根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负.

【详解】

•.•线段c是线段a和线段b的比例中项，

.•"=4x9，

解得c=±6(线段是正数，负值舍去)，

c-6cm,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查比例线段、比例中项等知识，比例中项的平方等于两条线段的乘积，熟练掌握基本概念是解题关键.

16、5x-3y=83x+8y=9

【解析】

5%—3y=8

方程组c-c的解一定是方程5x-3y=8与3x+8y=9的公共解.

3x+8y=9

故答案为5x-3y=8；3x+8j=9.

17、6.

【解析】

分析：设扇形的半径为r,根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.

详解：设扇形的半径为r,

根据题意得：,

6。、一

市〜一

解得：r=6

故答案为6.

点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答.

三、解答题(共7小题，满分69分)

2

18、一

3

【解析】

分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.

ra-IX(x+1)(X—1)1—X—2

详解：原式=--------------+------

x+2x+2

(x+1)(x—1)x+2

=--------------•--------

x+2—(x+1)

二一(1—1)

=l-x

当》=工时，原式=1」".

333

点睛：本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

19、解：原式=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4=x2-1.

当x=-后时，原式=(-73)2-1=3-1=-2.

【解析】

应用整式的混合运算法则进行化简，最后代入X值求值.

2V2

z9nu、------;-----

x+32

【解析】

根据分式的化简求值，先把分子分母因式分解，再算乘除,通分后计算减法，约分化简，最后代入求值即可.

【详解】

22

际XX+4x+4X-4

解：-----------------+------

x+3x+3x—2

_x(x+2)2(x+2)(x-2)

元+3x+3x-2

_x(x+2)2x-2

x+31+3(%+2)(%-2)

x%+2

x+3x+3

2

x+3

当x=-3+2-72时，原式=--------7=---=—

—3+20+32

【点睛】

此题主要考查了分式的化简求值，把分式的除法化为乘法，然后约分是解题关键.

21、（I）点P的坐标为（2百，1）.

（II）m=—t2t+6（0<t<ll）.

66

（皿）点p的坐标为（上巫，1）或（出姮，1）.

33

【解析】

(I)根据题意得，ZOBP=90°,OB=1,在RtAOBP中,由NBOP=30。，BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理，即

可得方程，解此方程即可求得答案.

（II）由AOBT、△QCP分别是由△OBP、AQCP折叠得到的，可知△OB，Pg/!kOBP,

AQCT^AQCP,易证得AOBPs^PCQ,然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.

（ni）首先过点P作PE±OA于E,易证得△PCT-AC-QA,由勾股定理可求得C，Q的长，然后利用相似三角形的

对应边成比例与m=」t2-Ut+6,即可求得t的值：

66

【详解】

(I)根据题意，ZOBP=90°,OB=1.

在RtAOBP中，由NBOP=30。，BP=t,得OP=2t.

VOP2=OB2+BP2,即(2t)2=l2+t2,解得：ti=2百，t2=-2百(舍去).

•••点P的坐标为（2也,1）.

(H)VAOBT,△QCP分别是由AOBP、AQCP折叠得到的，

.'.△OB'Pg△OBP,△QCT^AQCP.

AZOPB^ZOPB,NQPC=NQPC.

■:NOPB'+NOPB+NQPC'+NQPC=180°,:.ZOPB+ZQPC=90°.

VZBOP+ZOPB=90°,,NBOP=NCPQ.

„OBBP

又•.•/OBP=NC=90°,/.△AOBP^AAPCQ.

由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=1,则PC=H—t,CQ=l-m.

---=---.m=—t-——t+6(0<t<ll).

11-16-m66

(ni)点p的坐标为(上2叵，i)或(出姮，1).

33

过点P作PE±OA于E,:.NPEA=NQAC=90。.

.'.NPC'E+NEPC'=90°.

VNPC'E+NQC'A=90°,/.NEPC'=NQC'A.

PEPC

.•.△APC'Es/AXC'QA.:.——=「一

ACCQ

VPCr=PC=ll-t,PE=OB=LAQ=m,C'Q=CQ=1—m,

・•・AC'=JCQ2-AQ2=J36T2m.

611-t

—121^6-m

••6_t口n6U-t66

即一二就=7,即36-1M.

11-f6-m6-m2n

将m=，t2-Ut+6代入，并化简，得3/一22f+36=0.解得:11-V13,11+V13

66323

.•.点p的坐标为（U1巫，1）或（”+旧,1）.

33

22、（1）D、E、F三点是同在一条直线上.（2）6x2-13x+6=l.

【解析】

（1）利用切线长定理及梅氏定理即可求证；

（2）利用相似和韦达定理即可求解.

解：（1）结论：E、尸三点是同在一条直线上.

证明：分别延长A。、8c交于点K,

由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD=DK,AC=CK,

再由切线长定理得：AC+CE=AF,BE=BF,

..KDAFBE,

■*KE=AF.•■-----x---x---=1,

ADBFEK

由梅涅劳斯定理的逆定理可证，。、E、尸三点共线，

即。、E、尸三点共线.

（2）'：AB=AC=5,BC=6,

：.A.E、/三点共线，CE=BE=3,AE=4,

连接/尸，则AABEs△?!"1,AADl^^CEI,A、F,/、。四点共圆.

34

设。/的半径为r,贝！j：-=-,r=6,

r8

A/=10,-^=w，即AD=2石，ID=4#I,

IDo

，由△AE/得：

5DE475V5，DE=2底*与,EF*5

4，^E~~8~~T

/•n=—.

6

mH13

—l—=—

nm6

mn

—•—=1

nm

nrn

因此，由韦达定理可知：分别以一、一为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6必-13x+6=l.

mn

点睛：本是一道关于圆的综合题.正确分析图形并应用图形的性质是解题的关键.

23、（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲种商品按原销售单价至少销售20件.

【解析】

【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8））元•根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲

种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元•购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；

（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求

解即可.

【详解】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（X+8）元,

20002400

根据题意得,

xx+8

解得x=40,

经检验，x=40是原方程的解，

答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元;

（2）甲乙两种商品的销售量为需=50,

设甲种商品按原销售单价销售a件，则

（60-40）a+（60x0.7-40）（50-a）+（88-48）x50>2460,

解得a>20,

答：甲种商品