江苏省南京市江浦高级中学、六合高级中学、江宁高级中学三校2021-2022学年数学高一年级下册期末复习检测试题含解析

2021-2022学年高一下数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息

条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,

字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1,若平面平面/，直线机ua,直线〃u£,则关于直线心、〃的位置关系的说

法正确的是（）

A.m\\nB.m、"异面C.mlnD.加、"没有公

共点

2.在AAHC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,cos2c=巴也，则AABC的形

2la

状一定是（）

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角

形

3.函数/（x）=xcosx+x在［一乃,句上的图像大致为（）

B.八「

-X叭Ax

C.D

-x0XX

4.AA3C的内角的对边分别为a、b、c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,

a=2,c=6,贝ljC=

n兀7171

A.—B.一C.-D.一

12643

T

5.函数/(x)=cos(x+5),xe-W，：-的值域是()

62

6,设等比数列｛%｝的公比4=2,前”项和为S“，则》=（

17

A.2B.4C.—

2

7.将两个长、宽、高分别为5,4,3的长方体垒在一起，使其中两个面完全重合，组

成一个大长方体，则大长方体的外接球表面积的最大值为（）

A.150〃B.125〃C.987rD.77兀

8.在等差数列｛/｝中，S.为其前〃项和，若%+4+4=25,则Sg=（）

A.60B.75C.90D.105

5

9.等比数列｛凡｝的前n项和为S〃，若83=2,S6=18,则言等于（）

A.-3B.5C.33D.-31

10.sin20cos40+cos20°sin40°的值等于

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.设。在AA3C的内部，且丽+2砺+3觉=（5，A4"的面积与AA3C的面积

之比为.

12.己知四面体ABCD的四个顶点均在球。的表面上，AB为球。的直径，

AB=4,AD=BC=2,四面体ABCD的体积最大值为一

13.函数丁=5由％+4：05》的最大值是.

14.设sin2。=一sine,ae弓，4），则tan（2万-a）的值是.

,、at—aa-a.

15.若数列｛4｝满足％=2,出=1，——生=-"一见（〃22）,则。2。=.

an-\an+l

16.实数2和8的等比中项是.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知圆C与圆O：1一20『+b+20『=4关于直线4:x-y-2&=0对称.

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知点若与直线人垂直的直线/与圆C交于不同两点P、Q,且/PRQ

是钝角，求直线/在)'轴上的截距的取值范围.

18.近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有300〃/的

坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面

积以每天6〃5的速度扩散.当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，

假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积3加2,该部门需支出服装补贴费为每人

600元，劳务费及耗材费为每人每天300元.若安排x名人员参与抢修，需要4天完

成抢修工作.

(1)写出左关于x的函数关系式；

(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小.(总损失=因渗水造成的直接损

失+部门的各项支出费用)

19.已知A43C的顶点都在单位圆上，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且

2。cosA=ccosB+bcosC.

(1)求cos4的值;

(2)若。2+。2=4,求AABC的面积.

20.设向量M=(sin。,2cosa),5=(2sin氏cos/?),守=(2cos尸，一sin⑶.

(I)若M与2日一5垂直，求tan(a-4)的值；

(II)求忸一可的最小值.

21.设函数/(%)=*-(/w+l)x+/〃.

(1)求不等式/(x)<0的解集；

(2)若对于xw[l,2],/(x)>〃-4恒成立，求〃？的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1,D

【解析】

根据条件知：关于直线〃?、〃的位置关系异面或者平行，故没有公共点.

【详解】

若平面平面直线机ua,直线〃u£,则关于直线加、〃的位置关系是异面

或者平行，所以加、"没有公共点.

故答案选D

【点睛】

本题考查了直线，平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.

2、A

【解析】

利用平方化倍角公式和边化角公式化简cos2-=J得到sinA8SC=sin3,结合

22a

三角形内角和定理化简得到cos4sinC=0,即可确定AABC的形状.

【详解】

、1+cosCsinA+sinfi,__.,一.八

\--------=------------化z简得sinAcosC=sin5

22sinA

•.・B=p-(A+C)

\sinAcosC=sin(A+C)即cosAsinC=0

vsinC^O

cosA=0即A=90°

「.△ABC是直角三角形

故选A

【点睛】

本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简cos2C=j时，将边

22a

化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略.

3、A

【解析】

利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.

【详解】

由于/(—X)=—(XCOSX+X)=—“X),所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除

C选项.由于〃兀)=0,所以排除D选项.由于/[5)=不+1=2>0,所以排除B选

项.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.

4、B

【解析】

试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

详解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

VsinB+sinA(sinC-cosC)=0,

sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

:.cosAsinC+sinAsinC=0,

VsinC^O,

cosA=-sinA>

AtanA=-1,

兀

V-<A<^,

2

.3兀

..A=—,

4

ca

由正弦定理可得「;=——,

sinCsinA

Va=2,c=>/2，

.•.93=血咚」,

a-22

'：a>c,

故选B.

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题

时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可

用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现出？及

b2、a1时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往

运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

5、A

【解析】

TT

由X的范围求出X+9的范围，结合余弦函数的性质即可求出函数的值域.

6

【详解】

7izr-|7t冗2冗

L22」363

JTJT

工当1+一=0,即工=一一时，函数取最大值1,

66

yz*277*TT|[

当％+£=号即.1=]时，函数取最小值-刁，即函数的值域为一万,1,

故选A.

【点睛】

本题主要考查三角函数在给定区间内求函数的值域问题,通过自变量的范围求出整体

的范围是解题的关键，属基础题.

6、D

【解析】

设首项为4,利用等比数列的求和公式与通项公式求解即可.

【详解】

设首项为4,

因为等比数列｛为｝的公比4=2,

A—)

所以Ss_12_31,

a22a｝2

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的求和公式与通项公式，熟练掌握基本公式是解题的关键，属于

基础题.

7、B

【解析】

要计算长方体的外接球表面积就是要求出外接球的半径，根据长方体的对角线是外接球

的直径这一性质，就可以求出外接球的表面积，分类讨论：（1）长宽的两个面重合；（2）

长高的两个面重合；（3）高宽两个面重合，分别计算出新长方体的对角线，然后分别计

算出外接球的表面积，最后通过比较即可求出最大值.

【详解】

（1）当长宽的两个面重合，新的长方体的长为5,宽为4,高为6,对角线长为：

V52+42+62=V77，所以大长方体的外接球表面积为4万（字尸=77兀；

（2）当长高两个面重合，新的长方体的长5,宽为8,高为3,对角线长为：

752+82+32=V98，所以大长方体的外接球表面积为44（率>=98乃；

（3）当宽高两个面重合，新的长方体的长为10,宽为4,高为3,对角线长为：

V102+42+32=5>/5.所以大长方体的外接球表面积为4%（亭产=125%，显然大

长方体的外接球表面积的最大值为125乃，故本题选B.

【点睛】

本题考查了长方体外接球的半径的求法，考查了分类讨论思想，考查了球的表面积计算

公式，考查了数学运算能力.

8、B

【解析】

25

由条件，利用等差数列下标和性质可得小=—,进而得到结果.

3

【详解】

25

%%,+%+4=3a5=25,gpa5=,而

S§=9（4广）=9%=9W=75,故选B.

【点睛】

本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.

9,C

【解析】

5

由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出言.

35

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为4(公比显然不为1),则

4(1-力

'7Fq3T=="/=9,得q=2,

S3(1-4)"q

i-q

4(1")

因此，.=7"八=^^=1+/=1+25=33,故选C.

Ss1-4

i-q

【点睛】

本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键,

一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：

(1)基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通

项公式或求和公式来进行计算；

(2)性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用.

10、B

【解析】

由题可得，si〃20。cos400+cos20°s山40。=s山60°=.故选B.

2

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、1:3

【解析】

记2砺=而,3反=砺，可得：。为AADE的重心，利用比例关系可得：

^AAOC5凶。£=1：3,S4soe:SADOE=1：6,5^04:5Ao0A=1：2,结合：SMOE-SAIX)E=SAI)0A即

可得解.

【详解】

记2。分=0/5,3。^=。豆

则函+而+砺=0

则。为AAD石的重心，如下图

A

由二角形面积公式可得：AA)O

Sg0c：S^OE=1:3,Sg0c：S£=1：6,SgOA•^^DOA=1：2

又。为AADE的重心,

所以StM)E~S/iDOK=S,VXM=-SMDE

111

所以SgBC=S”OC+S,ABOC+SABOA一十一十一q—q

326°M)OA—°Z)OA

所以S.MOC：8c=[§SgoE、^DOA=

【点睛】

本题主要考查了三角形重心的向量结论，还考查了转化能力及三角形面积比例计算，属

于难题.

12、2

【解析】

A3为球。的直径，可知A的与AABC均为直角三角形，求出点C到直线AB的距

离为百，可知点C在球上的运动轨迹为小圆.

【详解】

如图所示，四面体ABC。内接于球。，

JT

•：AB为球。的直径，ZADB=NACB=Q,

•.•A8=4,AO=BC=2,，BO=AC=26,过C作CE_LAB于E,

-ABCE=-BCAC^CE=^^-=4?,,

224

.••点C在以E为圆心，CE=G为半径的小圆上运动，

当面ABDL面ABC时，四面体ABCD的体积达到最大，

.•・%皿仪=拈.262).冬2.

A

【点睛】

立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突

破口在于找到点C的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.

13、V2

【解析】

分析：利用两角和正弦公式简化为+从而得到函数的最大值.

详解：v=sinx+cosx=夜—sinx+—cosx=>j2siii[x+.

I22}I4；

:.函数y=sin%+cosx的最大值是72

故答案为及

点睛：本题考查了两角和正弦公式，考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题.

14、百

【解析】

根据二倍角公式得出tana=-6,再根据诱导公式即可得解.

【详解】

解：由题意知：sin2a=2sinacosa=-sina

•：ae(—,7r)/.sincr^0

2

故2cosa=-l,

***cosa=一1即sina———~

22

tana=一百

/.tan（2^-cz）=-tana=A/3.

故答案为百.

【点睛】

本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题.

1

15、—

10

【解析】

an,-an一a,,.2111

由H_«.=_也(〃N2),化简得一=—+—(n>2),贝！］一为等差数

。〃+1^n-\。”+1

列，结合已知条件得。20・

【详解】

。“口

an1-analt-211

由上__«±L(n>2),化简得一=——+——(»>2),且4=2,4=1，

a,i《用a„°,ia“+i

/111所以位1］是以51为首项，叼为1公差的等差数列，

11+19d=；+19x(；)=1

所以—=一10,即生。

。-)八Oli10

故答案为：—

【点睛】

本题考查了数列的递推式，考查了判断数列是等差数列的方法，属于中档题.

16、±4

【解析】

所求的等比中项为：土jm=±4.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)X2+/=4；(2)(-V2,0)o(0,V2)

【解析】

(1)根据两圆对称，直径一样，只需圆心对称即可得圆C的标准方程；(2)设直线/

的方程为^=-*+帆与圆C联立方程组，利用韦达定理，设而不求的思想即可求解方

范围，即截距的取值范围.

【详解】

（1）圆D的圆心坐标为（2起,-2后），半径为2

设圆C的圆心坐标为（毛,%）,由题意可知

1+2a=]

x0-2V2

[f+2&]_[为_2&]_272=0

[I2JI2J

x0=0

解得：八

1%=0

由对称性质可得，圆。的半径为2,所以圆。的标准方程为：V+y2=4

（2）设直线/的方程为y=-x+b,联立Y+y2=4得：2》2-2以+〃一4=0,

设直线/与圆的交点p（x，yj,。（孙必），

由△=（一2》）2-892-4）>0,得铲<8,

x}+x2=b

<b1-4（1）

因为/PRQ为钝角，所以而•破<0,且直线/不过R点

即满足（玉_1）（々-1）+（弘+1）（%+1）<0,且历为

又弘=一玉+匕，y2=-x2+b,

所以（玉—1）（%2—1）+（X+1）（%+1）=—3+2）（西+w）+b~+2Z?+2<0（2）

由（1）式（2）式可得〃<2,满足/>0,即一及<》<血,

因为匕刈，所以直线/在）’轴上的截距的取值范围是（-&,0）D仅，血）

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运

用.

18、（1）Z=3,x23,xeN（2）应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小

x-2

【解析】

（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得

100

3Ax=300+6左，所以&=----,x>3,x&N*

x—2t

(2)损失包=渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到函数解析

式，再利用基本不等式，即可得到结果.

【详解】

(1)由题意，可得3依=300+6左，所以

(2)设总损失为y元，贝!)y=300(300+6Z)+600x+6(150+150)

=⑵200+600(x-2)+24。°,>121200+2x12000=145200

当且仅当600(x—2)=2400,,即》=22时，等号成立，

所以应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小.

【点睛】

本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中认真

审题是关键，以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合，及基本不等式的应用是

解答的关键，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

19、(1)-；(2)B

24

【解析】

分析：(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA-cosA=si"，又

()vA<%,即可求得cosA的值；

(2)由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于AABC的顶点都在单位圆上，

利用正弦定理可得‘二=2,可求4,利用余弦定理可得儿的值，利用三角形面积公

sinA

式即可得解.

详解：(1)V2QCOSA=ccosB+bcosC,由正弦定理得：

2sinA•cosA=sinCcosB+sinBCosC,

2sinAcosA=sin(B+C)=sinA,

又•.•()<AvsinAw0,.・・2cosA=1,所以cosA=，.

2

1n

(2)由cosA=一得，sinA=—,

22

因为AABC的顶点在单位圆上，

所以-；一­=2，所以〃=2sinA=,

sinA

由余弦定理a1-b1+C1-2Z?ccosA,

bc—b'+c1—a2=4—3=1.

.01,..1735/3

•,3——/?csinA=­x—二—•

△ABRCr2224

点睛：本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式、

余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考

查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题.

20、(1)2；(11)72