材料力学-弯曲杆的强度计算（建筑力学课件）

单跨静定梁弯曲的内力计算1.平面弯曲的概念2.梁的分类3.弯曲内力―

剪力和弯矩本节内容单跨静定梁弯曲时的内力计算平面弯曲的概念一、弯曲变形受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶变形特点：原为直线的轴线变为曲线梁(beam)——以弯曲变形为主的构件平面弯曲的概念Pmq纵向对称面轴线RARB对称轴当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线。平面弯曲梁的计算简图二、静定梁的三种基本形式①简支梁(simplebeam)②外伸梁(overhangingbeam)③悬臂梁(cantileverbeam)仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和内力静定梁弯曲内力——剪力和弯矩计算方法：截面法【例】求截面1-1上的内力。【解】：（1）确定支反力RA和RB（2）取左段梁为研究对象：xF1aABF2m11RARBxCF1RAMFSMFSRBm内力的正负规定:①剪力FS:绕研究对象顺时针转为正；反之为负。或者说：左上右下的FS为正，反之相反。②弯矩M：使梁下凸变形的弯矩为正；使梁上凸变形的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正，反之相反。FS(–)FS(–)FS(+)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)弯曲内力——剪力和弯矩弯曲内力——剪力和弯矩【例】求图示梁1-1、2-2截面处的内力。【解】：1-1截面:2-2截面:qqlab1122x1qlx2qlFS1M1FS2M2弯曲内力——剪力和弯矩另外还可以直接利用外力简化法求解内力。内力与外力之间的大小关系规律：横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。01横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。02弯曲内力——剪力和弯矩另外还可以直接利用外力简化法求解内力。内力符号与外力方向之间的关系规律：“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。03“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反。04所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。051、理解梁平面弯曲的概念及其受力特点、变形特点；2、会用截面法计算梁的剪力和弯矩.课后小结单跨静定梁弯曲的内力图绘制方法（一）

内力方程法本节内容单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法内力方程法1、内力方程2.剪力图和弯矩图剪力方程：弯矩方程：FS=FS（x）M=M（x）表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形内力方程法xFSxM

2.剪力图和弯矩图计算步骤：确定支座反力；01分段建立剪力、弯矩方程；02作剪力图、弯矩图。03ql/2ql/2-+FSql2/8M+内力方程法【例】列图示简支梁的内力方程并画内力图【解】：（1）计算支反力：以整梁为研究对象lABq

（2）建立剪力、弯矩方程：xRAxqFS(x)M(x)RARB在FS=0处，M取得最大值。（3）绘制剪力图、弯矩图内力方程法【解】：（1）计算支反力：（2）建立剪力、弯矩方程：

分AC、CB两段考虑，以A为原点。在集中力F作用点处，FS图发生突变，M图出现尖角。（3）绘制剪力图、弯矩图：AC段：CB段：RAxFS(x)M(x)FS(x)M(x)RAxFFb/lFa/l-++Fab/lFSMABFalbCRBRAxxMm/l+-+ma/lmb/lFS内力方程法【解】：（1）计算支反力：（2）建立剪力、弯矩方程：

分AC、CB两段考虑，以A为原点。在集中力偶m作用点处，M图发生突变，FS图不受影响。（3）绘制剪力图、弯矩图：AC段：CB段：RAxFS(x)M(x)ABalbmCFS(x)M(x)RAxmCRARBxx内力方程法总结得以下规律：（a）在集中力作用处，Fs图上有突

变，突变值等于集中力的大小，在M图的相应处有一尖角。（b）在集中力偶作用处，M图上有突变，突变值等于集中力偶的大小，在Fs

图的相应处无变化。

形状规律：(1)

突变规律：(2)分段规律：(3)q零零平M斜平抛

lMMMFsFs＝0几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征20外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q图特征M图特征CPCM水平直线xQ>0Q<0x斜直线xxxC自左向右突变xC无变化斜直线xMxM曲线xMxM自左向右折角自左向右突变xM

MxM1M21、掌握画梁的内力图的基本方法及其规律；课后小结单跨静定梁弯曲的内力图绘制方法

（二)1.微分关系法2.叠加法和区段叠加法本节内容单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法微分关系法可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确;01可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。02利用内力方程法总结的规律：微分关系法1求支座反力2分段确定剪力图和弯矩图的形状3计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图4

利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：微分关系法dxxq(x)q(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)dx对dx段进行平衡分析：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度微分关系法弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小FS(x)dxAM(x)+dM(x)M(x)q(x)微分关系法作图步骤按规律连线4分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线）分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处2求每一段控制截面的FS、M值3求支座反力1FSxxMaaqaqBCA微分关系法【例】求下列外伸梁的内力方程并画内力图。BA段qa2qa--相切

AC段

叠加法和区段叠加法(绘制内力图的第三种方法)1、叠加原理2、叠加叠加法绘制弯矩图⑶将各弯矩图中同一截面上的弯矩进行代数相加，即可得到梁在所有荷载作用下的弯矩图。⑴将需要绘制弯矩图的梁等效为简单荷载分别作用下的几个梁。⑵分别绘制出梁在每个荷载作用下的弯矩图。梁在n个荷载共同作用时所引起的某一参数(内力、支座反力、应力或变形等)，等于梁在各个荷载单独作用时所引起的同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理。单跨梁在简单荷载作用下的弯矩图单跨梁在简单荷载作用下的弯矩图单跨梁在简单荷载作用下的弯矩图引例用叠加法作图示简支梁的弯矩图区段叠加法绘制弯矩图1分段，根据作用在梁上的荷载及支座情况分成若干区段，每一段都可以看成是一个由简单荷载作用下的简支梁。2将各区段当作简支梁，计算各区段端点截面上的弯矩值(即是该简支梁端点所受的集中力偶)。3根据叠加法在梁上绘制出各区段的弯矩图，即可得到全梁的弯矩图。步骤：1、掌握画梁的内力图的基本方法及其规律；2、理解荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系；3、理解叠加原理；会用叠加法画弯矩图。课后小结单跨静定梁弯曲时的强度计算单跨静定梁弯曲时的强度计算1.梁横截面上的最大正应力和剪应力2.梁的强度条件3.提高梁强度的措施本节内容梁横截面上的最大正应力和剪应力梁在弯曲时，横截面上一般既有剪力又有弯矩。显然，只有剪应力才能构成剪力，只有正应力才能构成弯矩。因此，梁在弯曲时，横截面一般将同时存在剪应力和正应力，分别称为弯曲剪应力和弯曲正应力。一、

纯弯曲试验与基本假设1、纯弯曲和横力弯曲的概念梁在弯曲时，若各横截面上既有弯矩又有剪力，我们称之为横力弯曲；若梁上只有弯矩而无剪力时，我们称之为纯弯曲。梁横截面上的最大正应力和剪应力

CD段属于纯弯曲，AC和DB段属于横力弯曲。DAaPCBaPa梁横截面上的最大正应力和剪应力纯弯曲时梁横截面上的正应力实验现象梁横截面上的最大正应力和剪应力纯弯曲时梁横截面上的正应力实验现象1变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。梁横截面上的最大正应力和剪应力2、纯弯曲试验观察梁的变形，可以看到：01横向线m-m和n-n在变形后仍保持为直线，只是相对转过了一个微小角度，但仍保持与各纵向线垂直。02各纵向线变为圆弧线，且a1-a1缩短，b1-b1伸长。M外

M外

梁横截面上的最大正应力和剪应力3、纯弯曲假设01平面假设：

梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，且保持与各纵向线垂直。02单向受力假设：

设想梁是由无数纵向“纤维”组成，则各纵向“纤维”之间没有相互拉伸或挤压作用，均处于单向拉伸或压缩状态。根据以上变形现象，可以做出以下假设：由平面假设和单向受力假设可知，梁在纯弯曲时，横截面上各点无剪应变，所以梁在纯弯曲时横截面上无剪应力，而只有正应力。梁横截面上的最大正应力和剪应力从上图还可以看出，梁的下部纤维伸长，上部纤维缩短。由于变形的连续性，沿梁的高度必有一层纤维既不伸长也不缩短(如果把梁看成一层层纤维叠加而成)，这一纤维层称为中性层，如图所示。中性层与横截面的交线称为中性轴，用Z表示。显然，它与横截面的纵向对称轴垂直，且可证明它通过横截面的形心。梁在纯弯曲时，各横截面绕中性轴做相对转动。中性层中性轴截面形心二、弯曲正应力一般公式根据单向受力假设，各纵向纤维只受到单向拉伸或压缩作用，且越靠近中性层各纵向纤维变形越小。进一步分析可知，各纵纵向纤维的线应变与其到中性层的距离成正比，也即横截面上各点的线应变与点到中性轴的距离成正比，即其中y为所求应力点到中性轴的距离。ρ为中性层曲率半径。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知：即纯弯曲梁横截面上任一点的正应力与其到中性轴的距离成正比，其应力分布图如图：

二、弯曲正应力一般公式弯曲正应力分布图:显然，中性轴上各点处的弯曲正应力均为零，距中性轴同一高度上各点的弯曲正应力相等。进一步分析可知：

所以纯弯曲梁横截面上任一点的正应力公式为：

M：为横截面上的弯矩y：为所求应力点到中性轴的距离

为截面对Z轴的惯性矩，其大小和截面的形状和尺寸有关，单位为m或mm二、弯曲正应力一般公式显然正应力的最大值对应于该点到中性轴的距离(y)的最大值。该点到中性轴距离横截面上某点正应力

该截面惯性矩该截面弯矩二、弯曲正应力一般公式

令则在离中性轴最远处即梁的上下边缘处弯曲正应力最大，其值为：

二、弯曲正应力一般公式简单截面的惯性矩3121bhIz=261bhW=464DIzp=332DWzp=)()1(6444DdDIz=-=aap)()1(3243DdDWz=-=aap平面弯曲强度条件及应用前面分析表明,一般情况下，梁的横截面上同时存在弯曲正应力和弯曲剪应力。最大弯曲正应力发生在离中轴最远的各点处；最大弯曲剪应力通常发生在中性轴上各点处。因此，针对上述情况应该分别建立相应的强度条件。梁的最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处，而这些点处的剪应力或为零或很小，这些点处于单向拉伸或压缩状态，所以梁的弯曲正应力强度条件为一、弯曲正应力强度条件

即要求整个梁内的最大弯曲正应力不得超过材料在单向受力时的许用正应力。只适用于许用拉应力和许用压应力相等的塑性材料。平面弯曲强度条件及应用一、弯曲正应力强度条件

对于等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面，其弯曲正应力强度条件为

应用弯曲正应力强度条件，可以解决弯曲强度校核，设计截面尺寸和确定许可载荷三类问题。只适用于许用拉应力和许用压应力相等的塑性材料。提高梁强度的主要措施一般情况下，梁的强度是由弯曲正应力控制的。所谓提高梁的弯曲强度是指用尽可能少的材料，使梁能够承受尽可能大的载荷，达到既经济又安全、减轻结构重量等目的。工程中常见的提高梁强度的措施有以下几种。

1、弯曲正应力强度条件

1对于一定的WZ值，选择合理的截面形状，使截面积尽可能小。如采用工字型截面要比采用矩形截面更合理。2对于一定的横截面积A，选择合理的截面形状，使其WZ值尽可能大。如矩形截面竖放要比横放更合理。上述措施可以从梁横截面上弯曲正应力分布找到解释。在弹性范围内，弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，距中性轴愈远的点正应力愈大，中性轴附近点上的正应力很小。当距中性轴最远点的应力达到许用应力值时，中性轴附近点的应力还远远小于许用应力，这部分材料便没有充分利用。在不破坏整体性的前提下，可以将中性轴附近的材料移至离中性轴较远处，从而形成工程结构中常用的空心截面以及工字型、箱型和槽型截面等的“合理截面”构件。提高梁强度的主要措施合理设计梁的截面时，在考虑使材料尽可能离中性轴较远时，还应考虑不同材料的特性。对于许用拉、压应力相等的塑性材料，应采用工字型等Z轴对称的截面，使其截面上的最大拉应力与最大压应力同时达到材料的许用应力，从而使材料得以充分利用；对于许用拉、压应力不等的脆性材料，则应采用T字型等Z轴不对称的截面，并使距中性轴较远的点受压应力，距中性轴较近的点受拉应力，充分发挥抗压性能强的优点。

提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施2．采用变截面梁或等强度梁梁的强度计算中，主要是以限制危险面上危险点的弯曲正应力不大于许用应力为依据的。除了纯弯梁之外