模拟卷二-2022年高考数学名师预测模拟卷（上海专用）附有解析

备战2022年高考名师预测模拟卷(2)

填空题(共12小题)

1.设集合A={xk=V3k+l,在N},B={xkW5,xWQ},则AC1B=U,2,4,51

【分析】进行交集的运算即可.

【解答】解：VA=(4c=V3k+1,KCN},8={x|xW5,xGQ),

.•.ACB={1,2,4,5).

故答案为：{1，2,4.5).

2.设复数z满足祟，若团=1,则。=±V3.

l+v3t

【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解.

【解答】解：“兽二1，

1+V3i巴(l+甯V3i^)一(l-噜v3)i)、=+叱43回

又:团=1,

•••(£曹产+(空)2=1，解得a=±V3.

故答案为：土心.

3.在平面直角坐标系x0y中，抛物线)，=4』的焦点到准线的距离为1.

【分析】利用抛物线方程求出P，即可得到结果.

【解答】解：抛物线y=4『的焦点到其准线的距离为：〃=宗

故答案为：］

8

4

-

4.若sing4-a)=则cos2a+cosa=9

【分析】根据三角函数的诱导公式求出cosa的值，结合二倍角公式进行转化求解即可.

【解答】解：.北讥啰+Q)=

.,.cosa=41，

则cos2a+cosa=2cos2a-1+cosa=2x—14-1=­„>

VOV

故答案为：

5.已知/J)=sina)x(a)>0)在［0,$单调递增，则实数3的最大值为

【分析】直接利用正弦型函数的性质单调性的应用求出结果.

【解答】解：令-3L+2k7rV3X42k7r+3L,整理得：-2+%CO邙4婴Cl)+共L(1)

由于函数在［0,勺单调递增，

〜,n2kn7T

所以一<---+—，

3323

且3>0,

Q3

所以：34家故3的最大值为3

故答案为：|.

6.某几何体的一条棱长为2,在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为次的线段，在左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为。和b的线段，则2a+b的最大值为5.

【分析】根据题意，将棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，则三视图中的三个投影，是三个面的对角线；设出长宽高，分析可得J+&2=5,再设。=ZCOSB,b=V5sin6,则有2a+〃

=2V5cos9+V5sin0,由此可得答案.

【解答】解：根据题意，将己知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体,

三视图中的三个投影，是三个面对角线,则设长方体的长为心高为)，，宽为z,

2222,2

所以/+丁+2=4,/+)?=3,>^+r=a,f+/=Zr,

变形，可得J+4=5,

设a=V§cos8,b—V5sin0,(0<0<^),

贝ij2a+Z?=2>/5cos04-\/5sin0=5sin(0+a)(其中tana=2),

当3。=会即a=26=1时，2a+b取得最大值，且其最大值为5.

X

7.已知函数/数列即满足如=/(”)(”CN"),且如是递增数列，则实数。的取值范围是(2,3).

【分析】由函数f3=｛f；；；℃,数列a“满足斯=f")(胚N*),且如是递增数列，我们易得函数f(x)=，：二：),；("7)为增函数，根据分段函数的性质，我们可

得函数在各段上均为增函数，根据•次函数和指数函数单调性，我们易得。>1,且3-。>0,且f(7)</(8),由此构造一个关于参数。的不等式组，解不等式组即可得到结论•

【解答】解：•••数列｛如｝是递增数列，

乂•/⑺1产6(才>7)

=

anf(«)(，正N*),

•\IVaV3且f(7)</(8)

A7(3・a)-3<a2

解得aV-9,或a>2

故实数a的取值范围是(2,3)

故答案为：(2,3)

8.函数/(x)=卷的单调递减区间是(0,1)和(1,+8).

【分析】求出函数的定义域，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可.

【解答】解：由/gxWO得x>0且x#l,即函数的定义域为｛.巾00且x*l｝,

设，=/a，当OVxVl时，：=/胪为增函数，且，<0,此时为减函数，则/(x)为减函数，

当x>l时，r=/gx为增函数，且r>0,此时丁=；为减函数，则f(x)为减函数，

即/(*)的单调递减区间为(0,1)和(I,+8),

故答案为：(0,I)和(1,+8).

9.二项式(21-专)”展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为64.

【分析】T5=C2(2x)i(T)4=B"W6,令”-6=0,解得再利用展开式中各项的二项式系数之和为2",即可得出.

【解答］解:75=C^(2x)n-4(-i)4=C^2nV6,

令"-6=0,解得n=6.

・•・展开式中各项的二项式系数之和为26=64.

故答案为：64.

1().动点P与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为4B,C,。(逆时针方向)，且P点到A,B,C的距离分别为a,b,c.若J+/=c2,则点尸的轨迹是圆:

(X+1)2+(V-I)2=2:P点到。点的最大距离为_2+祗_.

【分析】以B为原点，建立如图所示的坐标系，根据/+后=/,则点P的轨迹是圆，结合图象可得户点到D点的最大距离

【解答】解：以B为原点，建立如图所示的坐标系，

VA(0,I),B(0,0),C(1,0),D(1,1),

不妨设P(x,y),

.'.a2=A2+(y-1)2,i>2=jr2+y2,<?=(X-1)2+y2,

'."a2+b1=c2,

.'.jr+(y-I)2+.r+y2=(.x-I)2+%

整理可得，CrH)2+(y-1)2=2,

则点P的轨迹是圆，其方程为』+6+1)2=2(注，坐标系的建立不同，圆的方程的形式不同)

结合图象可得，P点到。点的最大距离为2+或，

故答案为：圆，+()+1)2=2；2+V2

11.若存在实数。、。使得直线办+加=1与线段AB(其中A(1.0),B(2,1))只有一个公共点，且不等式一J+220(a2+h2)对于任意6e(0,-)成立，则正实数p的取

"sinz0cosz02

值范围为[1,+8).

【分析】直线依+b=1与线段A8有一个公共点，可知：点A(1,0),B(2,i)在直线以+力=1的两侧，因此(a-1)C2a+b-1)W0.画出它们表示的平面区域，如图所示.由

图可知，当原点O到直线2x+y-1=()的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得办而=3.由于存在实数a、〃使得不等式一=+士；22()(J+加)对于任意(0,-)

V5sinz3cos162

成立'可得(焉+七)加“220(/+〃)而„=4,再利用基本不等式的性质即可得出答案.

【解答】解：•••直线ax+勿=1与线段AB有一个公共点，

...点4(1,0).B(2,1)在直线Q+打，=1的两侧，

・•・(a-1)C2a+b-1)WO,

即｛需*或｛需*,

画出它们表示的平面区域，如图所示.

/+后表示原点到区域内的点的距离的平方，

由图可知，当原点。到直线2r+y-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，

•〃加”—y=

那么J+/的最小值为：/

由于存在实数。、。使得不等式一，+—7N20（cr+b2）对于任意（0,7）成立，

sin20cos202

’（藕+禹）mi"S20（次+/）„„„=4.

7T

V0G（0,一）,.*.sin0,cos0€（0»1）.

2

二康+谭诏二（si/B+cos为）（福+岛）=1+0+骑+嗡窸Nl+p+2倍子^^=1+/升2折

当且仅当tare：吃时取等号.

Jp

l+p+2/p>4,p>0,解得iWp.

/.tan6=l,即。=与时取等号.

故答案为：［1，+8）.

-»T

12.在直角坐标平面，已知两定点A(1,0)、B(1,1)和一动点M(x,)，)满足，0<OMOA<lt则点p&+),,x-y)构成的区域的面积为4.

[0<OM<2

【分析】利用数量的数量积将不等式组进行化简，设M(s,力，将条件进行中转化，即可得到结论.

0<OMOA<1<x+y<2

【解答】解：由OW揄•茄42’飞KI

:U；，解得

设M(s,t),

ctl[0<x4-y<2<s+t<2

10<X<1'^3lO<s<2

作出不等式组对应的平面区域，

则对应平行四边形OABC,

则A(0,2),B(2,0),C(2,-2),

则四边形的面积S=2x1x2x2=4,

故答案为：4.

二.选择题（共4小题）

13.％=3”是“直线（〃2_2〃）x+）=0和直线3x+.y+l=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断“4=3”="直线（/-2a）x+v=O和直线3.叱y+l=O互相平行”的真假，再判断“直线（/

-2a）x+y=O和直线3x+y+l=0互相平行”=。=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论.

【解答】解：当“。=3”时，直线（/-2a）x+y=O的方程可化为3"y=0,

此时“直线（/-a）x+y=O和直线3x+v+1=0互相平行”

即“4=3”n“直线（/-2a）/），=0和直线3x+y+l=0互相平行”为真命题；

而当“直线（d-2〃）x+y=0和直线3x+y+l=0互相平行”时，

cT-2a-3=0,即。=3或a=-1,此时“。=3”不一定成立，

即“直线（/-24）x+y=0和直线3x+y+l=0互相平行”=>“〃=3”为假命题；

故“。=3”是“直线（J-2a）/y=0和直线3户广1=0互相平行”的充分不必要条件

故选：A.

14.矩阵的一种运算（:3©=C+dy）,该运算的儿何意义为平面上的点（X,>）在矩阵《作用下变换成点（奴+加cr+力），若曲线/+4町+2./=1,在矩阵Q；）的作用下

变换成曲线则a+〃的值为（）

A.-2B.2C.±2D.-4

【分析】设（x,y）是曲线/+4¥+2/=1的点，在矩阵（:的作用下的点为（/,y'）,得出关于a,b的方程组，从而解决问题.

【解答】解：设(x,y)是曲线/+4.守+2『=1的点，在矩阵。；)的作用下的点为(X,),

即匕=：+：'，又x'2-2v,2=],

(.y=bx+y"

・•・(x+ay)2-2(Zu+y)2=1,(1-2.)/+(2〃-4")孙+(J-2)，=1.

(1-2d=1

故｛2Q-4/)=4,解得：a=2,b=0,

(Q2一2=2

故选：B.

n2+h^^r2ABAC-

15.在△ABC中，a,b,c分别是内角4,B,C的对边，若S》8C=区与一J（其中SAMC表示△ABC的面积），且（y+b）・8C=0,则△48C的形状是（）

4I网\AC\

A.有一个角是30°的等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

T—»T—»

【分析】可作兄＞=丝，AE=^~,从而可作出平行四边形4DFE,并且该四边形为菱形，且有”=丝+与，根据条件即可得出AF_L8C,进而便可得出4B=AC,即8=c,这

\AB\\AC\\AB\|4C|

样即可求得“谢=/小-4而根据条件可得S“BC=（，从而有［aJc2-y=y,进一步即可得到/=2^=川+,2,这样便可得出△4BC的形状.

【解答】解：如图，在边AB,AC上分别取点£>,E,使/)=胆，AE=-^~,以AD,4E为邻边作平行四边形ADFE,则:

\AB\\AC\

—»—♦

四边形ADFE为菱形，连接AEDE,AF1DE,且於=哗+与：

\AB\\AC\

...AB,AC.

.(r-+r-)•BC=n0;

\AB\\AC\

：.AFBC=Qi

：.AFLBCi

又DE±AF,

：.DE//BC,且AO=AE：

：.AB=AC,即b=c；

.*.4c2-a2=a2i

/.a2=2c2=b2+<??

/.ZBAC=90°，且b=c：

・・・△ABC的形状为等腰直角三角形.

故选：D.

16.我国南北朝时期的数学家祖暄提出了计算体积的祖随原理：“事势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相

等，己知曲线Cy=r,直线/为曲线C在点（1,1）处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线/以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕），轴旋转一周所得到的几何体为

\[a,AQ△

r,给出以下四个几何体0①②③④

图①是底面直径和高均为1的圆锥；

图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉-个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；

图③是底面边长和高均为1的正四棱锥：

图④是将上底面直径为2,下底面直径为1,高为1的圆台挖掉一个底面直径为2,高为1的倒置圆锥得到的几何体.

根据祖唯原理，以上四个几何体中与「的体积相等的是（）

A.①B.②C.③D.④

【分析】求得切线方程，设直线），=，，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面积，分别用平行于下底面且距离为/的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖瞄原理，可得结

论.

【解答】解：设直线y=h与产=/交于川1,304W1,

切线的斜率为2,切线方程为y=2t・l,

y=t与y=2x-I交于（上士f）,

2

用平行于底面的平面截几何体r所得的截面为圆环，

截面面积为1t（正"一）』.纪义，

44

对于图①，用•个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面，

且圆的半径为二（L1）,可得截面面积为TT・^一~~,符合题意：

24

对于图②，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环，

截面积为大圆面积去掉一个小网面积，且面积为3-31尸，不符合题意；

对于图③，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意；

对于图④，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环，

且面积为口・（詈）2-6=KlT,l+3t）,不符合题意

综上可得四个几何体中与r的体积相等的是图①.

故选：A.

三.解答题（共5小题）

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知以，平面A8CO,且四边形A8CZ）为直角梯形，NA8C=N84O=90°,AB=AD=AP=2,BC=1.求：

（1）异面直线PC与AD所成角的大小:

（2）四棱锥P-A8co的体积与侧面积.

【分析】（1）8c与PC所成的角NPC8等于A£）与尸C所成的角，且8C_LP以即可求出异面直线PC与A。所成角的大小;

（2）利用体积、侧面积公式求出四棱锥P-A8CQ的体积与侧面积.

【解答】解：（1）由己知，有BC〃A。，AOJ_面见8,

故BC与PC所成的角/PCB等于AD与PC所成的角,

0.BC1.PI3.…(3分)

因3c=1,易知PB=2VL故tan/PCB=盖=2企.

故异面直线8c与P。所成角的大小为wctan2Vl…（7分）

(2)%_A8CO=与S梯形ABCD'AP#/DEL/#

=|-^(AD+­/IP=1•|(2+1)•2­2=2.…(10勿#/DEL/#

求得：PD=2a,CD=V5,PC=3,

CD2+PC2-PD2在

故由余弦定理，得cos乙PCD=

2CDPC-T;

i-I7

从而SMCD="。・PC•=*•3•V5•誉=3・…(12分)

又S“AB~S&PAD=2，S4PBC=V2»

因ikS四棱脚_ABCD触近积=S&PAB+S“AD+SdPBC+S^PCD=7+…(14分)

18.已知函数/(x)=--2ax+1+。(a>0)

(1)若/(x)在区间［2,3］上的最大值为4、最小值为1,求a,b的值；

(2)若a=l,b=l,关于x的方程/(|2厂1|)+后(4-3|2厂1|)=0,有3个不同的实数解，求实数K的值.

【分析】(I)根据/(x)的开口方向和对称轴可知/(x)在［2,3］上是增函数，根据最值列出方程组解出小h-.

(2)令|2«-l|=f,得到关于，的二次函数力(/),结合f=|2，-1|的函数图象可判断〃(/)的零点分布情况，列出不等式组解出上的值.

【解答】解：(1)/(x)=a(jr-I)2+l+Z>-a.

"a>0,f(x)的对称轴为x=l,

可得/(x)在［2,3］上为增函数，

故/⑵=1,/(3)=4,

艮|11+匕=1,3。+1+/?=4,

解得a=l,b=0；

(2)由题意可得/(x)=.?-2.X+2,

(|2*-1|)+k(4-3|2v-1|)=0.

即为|2*-Ip-2|2«-1|+2+&(4-3|2'-1|)=0,

即|2*-一(2+3*)|2'-1|+2(1+24)=0,

令|2'-则方程可化为F-(2+3*)t+2(1+2*)=0(层0),

关于x的方程”|2*-1|)+k(2-3|2"-1|)=0有3个不同的实数解，

结合r=|2'-1|的图象(如右图)可知，

方程於-(2+3£)t+2(1+2*)=0有两个根”，，2,

且0<八<1<&或12—1>或OV“V1,/2=0>

记(7)=t2-(2+3&)t+2(1+2*),

/i(0)=2(l+2k)>0

h(0)=2(l+2k)>0+2k=0

则h(l)=1+k=0

h(l)=l+k<0<2+3k<T

即有依0或k=—f

19.如图所示，A,8是两个垃圾中转站，8在A的正东方向16T•米处，A3的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在A3的背面建一个垃圾发电厂P,垃圾发电厂产的

选址拟满足以下两个要求（4,B,P可看成三个点）：

①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；

②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线A8的距离要尽可能大），现估测得A,8两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|F|=5x>0.

（1）求cosN%8（用工的表达式表示）

（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？

居民生活区

【分析】（1）由条件可设以=5x,PB=3x,运用余弦定理，即可得到COSNB4&

（2）由同角的平方关系可得sinNBAB,求得点P到直线A8的距离/?=RlsinN勿从化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及以，P8的值.

DA505

【解答】解：（1）由条件①，得益=菰=;，

rD303

*：PA=5x,:・PB=3x,

(5x)2+162-(3x)2

则coszPAB=

2x16x5%

可得C0S4P48=春+皋

（2）由同角的平方关系可得siMPAB=J1—儡+Q，

所以点P到直线AB的距离h=PAsinZPAB,

八=5乂•J—篇+各2=J-|（x2-34）2+225,

x8

〈cos/朋8WL一+一<1,・'・2<x<8,

105x

所以当f=34,即x=V53时，/?取得最大值15千米.

即选址应满足H4=5回千米，PB=3南千米.

42y2

20.己知椭圆r：—+77=1（a>b>0）的右焦点与短轴两端点构成•个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点:

a2b2

（1）求椭圆「的方程：

11

（2）设点A在椭圆「上，点8在直线y=2上，且OA_LOB,求证：一7+丁；为定值：

OA20B2

（3）设点。在「上运动，OC_LOO,且点。到直线CO距离为常数〃（0V4V2）,求动点。的轨迹方程：

【分析】（1）由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a,b,由此能求出椭圆「的方程.

（2）设A（xotvo）,则。3的方程.KOX+VOV=0,由y=2,得3（-学\2）,由此能证明二三+77左为定值二.

（3）设C（#o，yo），D（x.y）»由OC_LO£）,得gt+yo.y=0,乂C点在椭圆上，得：4-=1.从而々）2=.田=J；/由此能求出。点轨迹方程.

/y2

【解答】解：（1）•・•椭圆「：/+言=1（。>6>0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，。为坐标原点，

:•b=c=\/2,；・Q=>]24-2=2,

%2y2

・••椭圆「的方程为丁+-=1.

42

证明：（2）设A（xo,yo）»则08的方程对壮必，=0,

由y=2,得B(—2),

'xo

22

11114+x04+x01

22=22=f

“不+定=X0+y0+等+44(xo+yo)4&2+2_¥)=2

为定值

OA2OB22

解：(3)设。(刈，州)，D(x,y),由OC_LO。，得川武+)3=0,①

又C点在椭圆上，得：=1,②

联立①②，得：/2=途》,靖=竭蓑③

illOC.LOD,得OC・OQ=CO・d,

：.OC2*OD2=｛OC2+OD2>d2,

11111

2222222

*dOCODx0+y0x+y

1+

=-2d2-r—2

4x2,4y2XZ+y2

_2/+y2+4

-4(x2+y2)'

化简，得。点轨迹方程为：(之一工))+(2一二)/=1•

d22d24-

21.对于数列｛的｝,设数列｛斯｝的前〃项和为列,若存在正整数上使得科•恰好为数列｛斯｝的一项，则称数列｛斯｝为“尸(&)数列”•

^2k-i

(1)已知数列1,2,3,x为“P(2)数列”，求实数x的值：

(2)设数列｛斯｝的通项公式为吸=人求证："1V〃W2”是数列｛斯｝为“P(k)数列”的必要不充分条件；

(72,n=2m—1

(3)已知数列｛斯｝的通项公式为s产n-2(/WGN),试问数列｛〃〃｝是否是“P(D数列”？若是，求出所有满足条件的正整数代若不是，请说明理由.

(2•3~^~,n=2m

【分析】3)由新定义P(2)数列可得：字为数列：1，2,3,、•中的项，进而求出x的所有可能取值；

S36

(2)当数列｛斯｝为“户小)数列时，由新定义可知抖匚=,要、=3~,进而得出*=-用』，由4得即可得出。的取值范围即可判断其必要性：反过来，举出反列例如:

S2k-1