平行线中的模型-初中数学常见的模型方法

平行线中的模型

模型一朋型

1、M型基础

例题1

1.如图，若AB//CD,则=你能说明为什么吗？

4-----------------

C---------

【答案】见解析

【解析】

【分析】过E作所//AB,利用两直线平行，内错角相等来证明.

【详解】解：过E作砂//AB,

AB//CD,

:.EF//CD,

:.ZD=ZDEF,

ZBED=ZBEF+ZDEF=ZS+ZD.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，关键是过E点作的平行线，利用平

行线的性质来证明.

例题2

2.在图中，AB//CD,NE+NG与N3+NF+NO又有何关系？

B

【答案】ZE+ZG=ZB+ZF+ZD

【解析】

【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推

导.

【详解】分别过E,F,G作AB的平行线，

AB//CD,

：.AB//EM//FN//GH//CD,

则N1=N8,N2=N3,Z4=Z5,Z6=ZD,

/.N1+N2+N5+N6=ZB+N3+N4+NO,

即，ZE+ZG=ZB+ZF+ZD.

【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性

质进行证明.

例题3

3.在图中，若ABHCD,又得到什么结论？

2

【答案】ZB+ZFl+ZF2+…+/耳1+NO=N£；+NE2+…+NE.

【解析】

【分析】根据图①可得NE=NB+NO,根据图②可得NB+NF+ND=NE+NG,

即可根据规律得出题目的结论.

【详解】解：①如图：过点E作EF//AB,

A---------力

C--------

AB//CD,EF//AB,

：.AB//EF//CD,

:.ZABE=/BEF,/CDE=/DEF,

.-.ZE=ZB+ZD；

②如图，过E点作EH//AB,过E点作

过G点作G〃/AB,

EHUAB,FJ//AB,GI//AB,AB//CD,

..AB//EH//JF//GI//CD,

:.ZABE=/BEH,/HEF=/EFJ,ZJFG^ZFGI,ZIGD^ZGDC,

ZABE+ZEFJ+ZJFG+ZGDC=/BEH+AHEF+ZFGI+Z1GD,

即NB+NF+ND=ZE+NG;

③如图：

3

+/鸟+…+

NB+NF；,-+ZD=Z£I+ZF2+---+ZE„.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据题意将复杂的图形转化为基本图形是

解题的关键.

变式1

4.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重

合，两条斜边平行，则N1的度数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先作直线0E平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案.

【详解】作直线平行于直角三角板的斜边.

可得：乙4=N4OE=60。,ZC=ZEOC=45°,

故N1的度数是：60°+45°=105°.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质.

变式2

5.如图，已知AB〃DE,Zl=30°,N2=35。，则N8CE的度数为（）

4

【答案】B

【解析】

【分析】作CF〃/8,根据平行线的性质可以得到N1=N8CR/FCE=/2,从而

可得N5CE的度数，本题得以解决.

【详解】作CF//AB,

_______

DE

".'AB//DE,

J.CF//DE,

J.AB//DE//DE,

：.Zl=ZBCF,ZFCE=Z2,

VZ1=3O°,N2=35。，

/.Z5CF=30°,ZFCE=35°,

：.NBCE=65°,

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质

解答.

变式3

6.如图，NBCD=90。，AB〃DE,则a与0一定满足的等式是（）

A.a+p=180°B.a+p=90°C.p=3aD.a-p=90°

【答案】D

【解析】

【详解】分析：过C作W〃力8,根据平行于同一条直线的两条直线平行得到

5

Z8〃Z)E〃CF,根据平行线的性质得到Nl=N77，Na=180。一N2,作差即可.

详解：过。作C万〃Z8口

\'AB//DE\2

：.AB//DE//CFQ

：.Z1=ZJ3,Na=18()。一N2,

AZtz-Z^=180°-Z2-Zl=l80°-NBCD=90°,

故选DD

点睛：考查平行公理已经平行线的性质，注意辅助线的作法，作出辅助线是解题的

关键.

变式4

7.如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB〃DE,ZA=30°,

ZACE=110°,则NE的度数为（）

A.30°B.150°C.120°D.100°

【答案】D

【解析】

【详解】过C作CQ〃AB口

•.,AB〃DE口

.♦.AB〃DE〃CQ口

VZA=30°D

/.ZA=ZQCA=30°QZE+ZECQ=180°n

•；ZACE=110℃

6

.,.ZECQ=110°-30o=80°D

.,.ZE=180o-80°=100°n

故选D.

变式5

8.如图，已知：AB〃CD,Zl=50°,Z2=113°，则N3=_度.

【答案】63

【解析】

【分析】如图，易知口3=/2—N1,计算即可.

【详解】如图所示，

根据平行线的性质易知/3=/2—/1=113°-50°=63°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.

培优

变式6

9.(1)如图1已知：ZB=25°,NBED=80°,ZD=55°.探究与C。有怎样的

位置关系.

(2)如图2已知试猜想NB,NF,N8CF之间的关系，写出这种关

系，并加以证明.

(3)如图3已知试猜想Nl,Z2,N3,Z4,N5之间的关系，请直接

写出这种关系，不用证明.

7

【解析】

【分析】(1)过点E作EF〃AB,得NBEF=25。,得NDEF=55°,从而可证AB〃CD；

(2)作CD〃AB,根据平行线的传递性得CD〃EF,则根据平行线的性质得

ZBCD=ZB,ZDCF=ZF,所以/BCD+NDCF=/B+NF,故可得结论；

(3)方法同(2)

【详解】(1)过点E作EF〃/8

图1

,/Z5=25°

NBEF=NB=25。

,：/BED=80。

：./DEF=/BED-ZBEF=55°

'：ZD=55°

：.ZD=ZDEF

J.EF//CD

：.AB//CD

(2)过点。作CO〃/瓦则CD〃EF,

•；AB〃CD,

.•.ZBCD=ZB,

•；CD〃EF,

.-.ZDCF=ZF,

ZBCD+ZDCF=ZB+ZF,

即NC=NB+NF.

(3)Z1+Z3+Z5=Z2+Z4,

如图，

8

由(2)的结论得到N2=N1+N6,Z4=Z5+Z7,

，Z2+Z4=Z1+Z6+Z5+Z7=Z1+Z3+Z5.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相

等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.作出相

关辅助线是解此题的关键.

2、锯齿型

结论：

ZA1+ZA2+-+ZA,=ZB1+ZB2+-+ZB,;_1

【点拨】锯齿模型证明思路

锯齿模型

过每个折点作这组平行线的平行线

形成若干相等的内错角

锯齿模型的变换解题思路

例题4

10.(1)如图1,已知AB//C。，ZABF=NDCE,求证：ZBFE=NFEC

(2)如图2,已知AB//C。，ZEAF^-ZEAB,ZECF^-ZECD,求证:

44

9

图1图2

【答案】(1)见解析•；(2)见解析

【解析】

【分析】(1)如图：延长BF、0c相较于E,由AB//CD可得L148QUE,再结合

ZABF=NDCE

可得口DCE=DE,即可得当8E//DE,最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结

论；

(2)如图2：连接/C,设NE4F=x,ZECF=y,ZEAB=4x,ZECD=4y,根据平

行线性质得出NR4C+N4C£M80°,求出/C4E+N/CE=180°-(4x+4y),再求

出NZEC和NZEC,最后比较即可得到结论.

【详解】(1)证明：如图：延长8AOC相较于G

■:ABHCD

：.UABF=」G

□ZABF=NDCE

：.JDCE=DG

1BG//CE

□NBFE=NFEC；

(2)如图2：连接NC,设N£4F=x,ZECF=y,NEAB=4x,ZECD=4y,

,."AB//CD,

：.ZBAC+ZACD=\SO°

io

/.ZG4E+4x+NZCE+Ay=180°

.•.NC4E+NZCE=180°-(4x+4y),NHC+NFC4=180°-(3x+3y),

.,.N4EC=180°-(NCAE+/ACE)

=180°-[80°-(4x+4y)]

=4x+4y

=4(x+y)

Zy4FC=180°-(NE4C+NFC4)

=180°-[180°-(3x+3y))]

=3x+3y

=3(x+y),

3

/.ZAFC=-ZAEC.

图2

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识

点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本

题的关键.

变式1

11.如图，AB1CD口口8£口=61。口口人8£的平分线与DCDE的平分线交于点F,则

□DFB=n□

A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°

【答案】B

【解析】

【分析】过点E作EG/7AB,根据平行线的性质可得

“NABE+NBEG=180。□NGED+NEDC=180。"，根据角的计算以及角平分线的定义

可得“NFBE+NEDF=gNABE+NCDE口”，再依据四边形内角和为360。结合角的计

算即可得出结论.

【详解】如图，过点E作EG〃AB1

VAB^CDU

.•.AB〃CD〃GE口

.,.ZABE+ZBEG=180°DZGED+ZEDC=180°n

ZABE+ZCDE+ZBED=360°Q

XVZBED=6I°D

.".ZABE+ZCDE=299℃

ZABE和NCDE的平分线相交于FD

Z.ZFBE+ZEDF=—nZABE+ZCDEn=149.5°D

2

,/四边形的BFDE的内角和为360°□

ZBFD=360°-149.5o-61o=149.5oQ

故选Bl

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为

360。，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等(或互补)的角是关键.

变式2

12.如图，已知点P是矩形458内一点(不含边界)，设

NPAD=4，NPBA=%,NPCB=a，/PDC=a，若NAPB=8O,NCPD=5O,

B.(%+4)-©+。3)=40

C.(4+%)_(>+4)=70D.©+%)+(a+a)=i8o

【答案】A

【解析】

12

【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得4-4=10°,4-4=40。,

两式相减即可得至U（G+&）—（《+4）=30°.

【详解】解：矩形ABCO,

:.ZBAD=ZBCD=9QP,

NBAP=90°-6»,ZDCP=90°-4，

.•.MBP中，90。-4+2+80°=180。，即。2-4=10°，①

ADC0中，90。—4+50。=180。，即d一％=40°,②

由②一①，可得（a-a）-e-a）=3o°,

即（4+4）—e+即=30°,

【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关

键是掌握：矩形的四个角都是直角.

变式3

13.如图所示，AB//CD,^EAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD.^iiE：

44

3

ZAFC=-ZAEC

4

【答案】详见解析

【解析】

【分析】连接AC,设NEAF=x。，ZECF=y°,ZEAB=4x°,NECD=4y。，根据平行

线性质得出NBAC+NACD=180。，求出NCAE+NACE=180。-（4x°+4y°）,求出

NAEC=4（x°+y°）,ZAFC=3（x°+y°）,即可得出答案.

【详解】证明：连接AC,

13

B

设NEAF=x°,ZECF=y°,ZEAB=4x°,ZECD=4y°,

•.•AB〃CD,

.,.ZBAC+ZACD=180°,

ZCAE+4x°+ZACE+4y°=180°,

.,.ZCAE+ZACE=180°-(4x°+4y°),ZFAC+ZFCA=180°-(3x°+3y°)

.,.ZAEC=180°-(ZCAE+ZACE)

=180°-[180°-(4x°+4y°)]

=4x°+4y°

=4(x°+y°),

ZAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)

=180°-[180°-(3x°+3y°)]

=3x°+3y°

=3(x°+y°),

3

ZAFC=-ZAEC.

4

【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题时注意：两直线

平行，同旁内角互补.

变式4

14.如图所示，已知/1B//C。，8E平分NABC,平分/AQC,求证：

ZE=1(ZA+ZC)

【答案】见解析

【解析】

【分析】先根据平行线的性质得出NA=NADC,NC=//8C,再由BE平分NABC,

14

OE平分N4）。可知Nl=[//DC,N2=gN4BC,根据三角形外角的性质即可

得出结论.

【详解】解：如图:

ZA^ZADC,/C=NABC.

平分N/5C,平分NAOC,

：.Zl=-ZADC,Z2=-ZABC.

22

•••N3是三角形的外角，

Z3=ZE+Z2=ZC+Z1,

ZE+-ZABC^ZC+-ZADC,

22

即NEH—NC=NCH—NA,

22

.,.NE=!（ZA+ZC）.

2

【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟

知以上知识点是解题的关键.

模型二笔尖型（牙齿型）

1、笔尖型

义AE//BF,故CD//BF、易得N8+NBCQ=180

所以4+N4CO+N3CD+N3=360",

即ZJ+ZB+ZJCB=360

15

解法2

又AE//BF,故CD//BF,易得

因为/2CD+N3CD+/ZC5=360"

即N4+N3+4C3=360

如图,连结4B,

由4E〃BF,可得N3ZE+N4B尸=180'

乂NC4B+NC切+NC=180’，

故N3HE+NC43+NH8尸+NCBd+NC=360

即ZCAE+ZCBF+ZC=360

如图，在3尸上任取一点Z),连结d。

由可得

因为NC*O+NC+N3+N4Z)a=360

故NOD+NC+NB+ND4E=360°

即NC4E+N5+NC=360"

16

解法5

G

如图，分别在NE、BF上任取点G、H,连结GH

由/E〃8凡可得N4GH+N3HG=180°.

因为NZ+NC+NB+N4GH+NBJ/G=5401

故4+NB+NC=36（r.

解法6

如图，延长4。交直线8尸于点。，

由月E〃3尸，可得/4+/。=180

又4ACB=/CBD+/D,

故NA+NCBF+N4cB=N4+/CBF+NCBD+ND

=180°+180°=360°

例题5

15.如图所示，L〃12,Zl=105°,Z2=140°,则N3的度数为（）

【答案】C

【解析】

【分析】首先过点A作AB〃h,由h〃L,即可得AB〃h〃L,然后根据两直线平

行，同旁内角互补，即可求得N4与N5的度数，又由平角的定义，即可求得N3的

17

度数.

【详解】

过点A作AB〃in

Vli^bQ

AZl+Z4=180°,Z2+Z5=1800□

VZl=105°,Z2=140。口

，Z4=75°,Z5=40°□

VZ4+Z5+Z3=180℃

.,.Z3=65°.

故答案选：C.

【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平

行线的性质.

2、牙齿型

解法

点拨：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线

18

②NA+N&+…+4+/4=18()(〃一1)【〃一2个拐点】

例题6

16.如图，两直线46」CO平行，则N1+N2+N3+N4+N5+N6=D□□

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】分别过E点万点。点,“点作ZJ12/3/4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，

则Nl+N2+N3+N4+Z5+N6=18()x5=9(X).

故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

变式1

17.如图，直线4l2,Zl=30°,则N2+N3=()

19

C.210°D.240°

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意作直线/平行于直线4和/2,再根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：作直线/平行于直线4和/2

vZ//Z,///2

/.Z1=Z4=30°;Z3+Z5=180°

N2=N4+Z5

Z2+Z3=Z4+Z5+Z3=3O"+180°=210°

故选C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁

内角互补，两直线平行内错角相等.

变式2

18.如图所示，AB〃CD,则NA+NE+NF+NC等于（）

【答案】C

【解析】

【详解】解：作EM〃AB,FN〃AB,

20

AB

VAB/7CD,，AB〃EM〃FN〃CD.

/.ZA+ZAEM=180°,ZMEF+ZEFN=180°,ZNFC+ZC=180°,

，ZA+ZAEF+ZEFC+ZC=540°.

故选：C.

变式3

19.一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE,则

ZABC+NBCD=.

【答案】270°

【解析】

【分析】过B作BF〃AE,则CD〃BF〃AE.根据平行线的性质即可求解.

【详解】过B作BF〃AE,

'：CD//AE,

则CD〃BF〃AE,

.,.ZBCD+Zl=180°,

XVAB1AE,

.'.AB±BF,

21

/.NABF=90°,

,ZABC+ZBCD=90°+180°=270°.

故答案为:270.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补.正确作出辅

助线是解题的关键.

变式4

20.如图，ADCE,NABC=100。，则N2-N1的度数是.

AD

工

CE

【答案】80°

【解析】

【分析】直接作出3FAD,再利用平行线的性质分析得出答案.

【详解】作8尸AD,

□ADCE,

CAD//BF//EC,

□Zl=Z3,N4+N2=180。，N3+N4=1(X)。，

□Zl+Z4=100°,Z2+Z4=180°,

□Z2-Z1=8O°,

故答案为80°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出N1+N4=100。，

N2+N4=180°是解题关键.

变式5

21.如图，在五边形MCDE中满足AB〃CD,则图形中的x的值是

22

【答案】85

【解析】

【分析】根据平行线的性质先求NB的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值

即可.

【详解】解：•.•AB〃CD,ZC=60°,

/.ZB=180o-ZC=120o.

(5-2)X180°=x°+150°+125°+60°+120°.

；.x=85.

故答案为：85.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定

理是解题的关键.

模型三：“臭脚”模型和“骨折”模型

结论1：若AB//CD，则/「=//£'尸一/。尸尸或/尸=/(7尸产一/4£73；

结论2：若NP=NAEP—NCFP或NP=NCFP-NAEP,则N8〃C£).

23

点尸在EF左侧，在45、CD外部“骨折”模型

结论1：若AB〃CD,则/尸=NCFP-N4E•尸或

结论2：若NP=NCFP—NAEP或NP=N4EP—NCFP,则48〃。.

臭脚模型汇总

点拨：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线

例题1

22.AB//CD,求证：Z5=Z£+ZZ>

【答案】见解析

【解析】

【分析】过点E作律〃C。，根据平行线的性质即可得出N5=N50D,根据平行线

的性质即可得出ZD=ZDEF,结合角之间的关系即可得出结论.

【详解】证明：过点E作律〃CD,如图

'：AB//CD,

,NB=/BOD,

'：EF//CD（辅助线）,

24

•（两直线平行，同位角相等）；NO=NOE尸（两直线平行，内错

角相等）；

/BEF=NBED+NDEF=NBED+ND（等量代换），

:.NBOD=NE+ND（等量代换），即N6=/E+NQ.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质

找出相等或互补的角.

变式1

23.如图，已知A3〃O£,NABC=80。，ZCDE=140°,则NBCD=.

【答案】40°

【解析】

【分析】延长石。交BC于M,根据两直线平行，内错角相等证明NBMD=NABC,

再求解NCM。，再利用三角形的外角的性质可得答案.

【详解】解：延长ED交BC于M,

■:ABHDE,

：.ZBMD=ZABC=80°,

/CMD=1800-ZBMD=100°；

XVZCDE=ZCMD+ZC,

二ZBCD=ZCDE-ZCMD=140°-100°=40°.

故答案是：40°

【点睛】本题考查了平行线的性质.三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以

上知识是解题的关键.

变式2

24.如图，直线MA〃NB,ZA=70°,NB=40°,则NP=度.

25

.u

p

【答案】30

【解析】

【分析】要求NP的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形的一个外

角，根据三角形的外角的性质进行求解.

【详解】解：根据平行线的性质，得NA的同位角是70。，再根据三角形的外角的性

质，得/「=70。-40。=30。.

故答案为30.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内

角和，可以牢记此题中的结论：ZP=ZA-ZB.

变式3

25.如图所示，AB//CD,NE=37°,ZC=20°,则NE月8的度数为

【答案】57°

【解析】

【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它

们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线

平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可.

【详解】解：设ZE、CD交于点F,

VZ£=37°,ZC=20°,

AZCF£=180°-37°-20°=123°,

/.ZAFD=123°,

26

'.,AB//CD,

：.ZAFD+ZEAB=\^O°,

AZEAB=\SO°-123°=57°,

故答案为：57°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解

题的关键.

变式4

26.如图所示，AB//CD,Z£=37°,ZC=20°,则NE/8的度数为

【答案】57°

【解析】

【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它

们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线

平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可.

【详解】解：设ZE、CD交于点F,

'：ZE=37°,ZC=20°,

AZCF£=180°-37°-20°=123°,

AZAFD=123°,

■:ABHCD,

：.ZAFD+ZEAB=\S00,

ZEAB=\80°-123°=57°,

故答案为：57°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解

题的关键.

27

变式5

27.如图，AB〃CD,则口1+口3—口2的度数等于

【答案】180°

【解析】

【详解】解：DABZ/CD

□□1=DEFD

□□2+DEFC=Q3

□EFD=180°-OEFC

□D1+D3—02=180°

故答案为：180°

变式6

28.如图，如果4B〃EF,EF//CD,则Nl,Z2,N3的关系式.

【答案】Z2+Z3-Z1=180°

【解析】

【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可.

【详解】解：：/8〃£凡EF//CD,

.,.Z2+D5O£=180o,N3+口COQ180。，

Z2+C3+QBOF+aCOF=360°,

VD5OE+DCOF+Q1=180°,

/BOE+NCOF=180°-Zl,

Z2+Q3+(180°-Zl)=360°,

BPZ2+D3-Z1=180°.

故答案为：Z2+Z3-Zl=180°.

【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平