安徽省池州市青阳县第一中学、青阳中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

第1页/共1页青阳一中2022～2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数，则（）A.2 B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先化简复数z，再利用复数的模求解.【详解】因为复数，所以，所以，故选：B2.设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理求解即可.【详解】由向量共线定理得存在一个实数使成立，即则，解得或，又因为向量与同方向，所以，即，故选：.3.已知点，则向量在方向上投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用求投影向量公式进行求解【详解】，则向量在方向上投影向量故选：B4.函数具有性质（）A.图象关于点对称，最大值为 B.图象关于点对称，最大值为1C.图象关于直线对称，最大值为 D.图象关于直线对称，最大值为1【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化简，再根据正弦函数的性质即得.【详解】∵，∴函数的最大值为1，所以，故AC错误；又当时，所以函数关于对称，故B错误，D正确故选：D.5.已知，，，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，，由凑角法，利用正弦的差角公式进行求解.【详解】因为、为锐角，所以，因为，所以，因为，所以，故故选：A.6.若一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，其侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设球半径为，圆锥的底面半径为，由直角圆锥的侧面积为可求出，，再求出圆锥的高即可知，得，即可求出球的体积．【详解】解：设球半径为，圆锥的底面半径为，母线为，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，得：若圆锥的侧面积为，则，所以圆锥的高，由，解得：，所以球O的体积等于.故选：D．7.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理求得正确答案.【详解】依题意，由正弦定理得.故选：A8.已知菱形的边长为1，，点E是边上的动点，则的最大值为（）．A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，，令,直接利用向量的数量积定义运算即可.【详解】设，，，∴的最大值为．故选:D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量，，，则可能是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】设，由向量模长的坐标运算可构造方程求得，由此可得.【详解】，可设，则，，，解得：，或.故选：AD.10.下列选项中，正确的有（）A.设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件B.若角的终边过点且，则C.在中，D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据平面向量的数乘运算、三角函数的定义、诱导公式、正弦定理以及三角函数性质的应用，判断每个选项的正误．【详解】选项A，由，可知，所以，故充分性成立；若，则，因为为大于的实数，不一定为，所以必要性不成立，故“”是“”成立的充分不必要条件，选项正确；选项B，若角的终边过点且，则，解得，B选项错误；选项C，因为在中，，由正弦定理可知，所以，因为在上单调递减，而A，B为的内角，，故；故可得，选项C正确；选项D，若，则，D错误．故选：AC.11.有一个内角为的三角形的三边长分别是m，，，则实数m的值不可能为（）．A.1 B. C.2 D.【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理建立方程解出即可.【详解】内角为所对边为，则在三角形中，由余弦定理得：，化简可得：，解得或（舍）．故选：12.已知圆锥的底面半径为，高为2，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（）A.圆锥的体积为B.圆锥侧面展开图的圆心角大小为C.圆锥截面面积的最大值为D.若圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为【答案】BD【解析】【分析】根据题意，求出圆锥的母线长，体积，侧面展开图的弧长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论．【详解】解：因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线长，则：对于A，圆锥的体积，故A错误；对于B，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，则，，故B正确；对于C，当圆锥截面为圆锥的轴截面时，此时，，所以，所以当时，截面的面积最大，，故C错误；对于D，圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球，设圆锥外接球半径为，由球的性质可知：，即，解得，所以外接球的体积．故D正确．故选：BD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】将不等式看成关于的二次不等式问题,再利用恒成立问题解决即可.【详解】由有,因为.故.所以故答案为：【点睛】本题主要考查了关于的二次复合函数问题,需要根据的范围与二次函数的对称轴结合求解.属于中等题型.14.已知的面积为24，P是所在平面上的一点，满足，则的面积为____；【答案】12【解析】【分析】由三角形的重心的向量表示得：点P为△A1B1C1的重心，则SSS，由三角形面积公式得：S△PABS，S△PBCS，S△PACS，所以S△PAB：S△PBC：S△PAC＝3：1：2，又S△PAB+S△PBC+S△PAC＝24，即S△PAB＝12，得解．【详解】解：设，，，则，即点P为的重心，则，又，，，所以：：：1：2，又，所以，故答案为12【点睛】本题考查了三角形面积公式、三角形的重心及平面向量基本定理，属难度较大的题型．15.定义是向量和的“向量积”，其长度为，其中为向量和的夹角．若，，则=______．【答案】【解析】【分析】根据数量积,求出夹角,然后再根据向量积的定义,即可求解.【详解】，,,进而,,所以由“向量积”的定义可知:故答案为:16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】先根据，，利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式求解.【详解】解：因为，，所以，解得，所以，故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）-1.【解析】【分析】（Ⅰ）由同角三角函数的平方关系和商数关系求得．再根据角的范围可求得答案；（Ⅱ）根据同角三角函数的商数关系化为关于正切的关系式，代入可得答案.【详解】（Ⅰ）由，得．∵，∴．∵，∴，．∴，．（Ⅱ）原式∵，∴原式．18.平面内给定三个向量，，.（1）设，求m，n的值；（2）若，求实数k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量，，，由，利用向量相等求解；（2）根据向量，，，得到和的坐标，由求解；【小问1详解】解：因为向量，，，且，所以，所以，解得；【小问2详解】因为向量，，，所以，，因为，所以.19.在中，角，，的对边分别为，，，已知，且角为钝角.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入化简即可；（2）由可以得出，由通过正弦定理可得，再加上，问题转化为已知两角一边解三角形的基本问题.【详解】（1）∵，又，∴，∴，∵角为钝角，∴，∴(舍去).（2）由余弦定理得，∴，又，∴，即.∴，∴由得.∵，∴面积为【点睛】方法点睛：解三角形问题，首先数题目的条件，如果没有三个，只能算一些比值，或者角度之类的问题，如果有三个，就可以解这个三角形，一般把含蓄的条件转化为直白的条件进而求解.20.已知函数．（1）求的解集；（2）求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式进行三角恒等变换，然后利用辅助角公式化简成正弦型函数，根据正弦型函数的性质求解不等式.（2）根据正弦型函数的定义域求值域.【小问1详解】解：由题意得：．由，得．根据正弦型函数的性质可知：解得．故的解集为．【小问2详解】又，，故在上的值域为．21.如图，在四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）先求出，在中结合正弦定理求解即可；（2）根据题中条件运用二倍角公式求出的值，然后在中结合余弦定理求解即可.【小问1详解】因为，，所以，在中，根据正弦定理知，，即，解得.【小问2详解】因为且，所以.因为，所以