巧妙构造新函数解决数学问题

巧妙构造新函数解决数学问题安徽师范大学大学数学与计算机学院安徽省南陵中学汪珊珊从近几年的高考命题分析，高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题，考查函数、导数的根底知识和根本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。在内容上日趋综合化，在解题方法上日趋多样化.解决这类有关的问题，有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的根本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。一、别离变量，构造新函数例1、假设，那么角的取值范围是()(A)(B)(C)(D)解析：由题意可知：，所以，构造函数，又在上单调递增，，故只要：，应选C。例2、〔2023辽宁理〕函数，．〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕证明：假设，那么对任意，，有解析：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕分析：不妨设，即证，即故构造新函数，即只需证：在单调递增。又．由于故，即在单调增加。故原题得证。二、直接利用求函数的导数公式，构造新函数例3、设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，那么当时，有〔C〕解析：构造函数例4、〔2023辽宁理〕函数的定义域为，，对任意，，那么的解集为〔B〕A．〔，1〕 B．〔，+〕 C．〔，〕 D．〔，+〕解析：构造函数三、间接运用模型，构造新函数1、模型一：关系式为“加〞型〔1〕构造〔2〕构造〔3〕构造〔注意对的符号进行讨论〕2、模型二：关系式为“减〞型〔1〕构造〔2〕构造〔3〕构造〔注意对的符号进行讨论〕例5、定义域为的奇函数的导函数为，当时，，假设，那么以下关于的大小关系正确的选项是〔D〕解析：由题意知：，构造函数，为偶函数。例6、函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，那么〔C〕解析：构造函数例7、〔09天津文〕设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是〔〕A．B．C．D．解析：由，首先令得，排除B，D．令，那么，①当时，有，所以函数单调递增，所以当时，，从而．②当时，有，所以函数单调递减，所以当时，，从而．综上．应选A．例8、〔2023皖南八校第一次联考理〕定义在R上的奇函数的导函数为,当时,满足,那么在R上的零点个数为〔〕A.1B.3C.5D.1或3解析：设那么，因为时,满足，所以时,，所以函数是上的增函数，又是定义在R上的奇函数，所以是R上增函数，所以在R上的零点个数为1，应选A.例9、(2023合肥三模理)定义在上的函数满足:且,其中是的导函数,那么不等式的解集为〔A〕A.B.C.D.解析：由题意得：，，又构造函数例10、(2023辽宁理)设函数满足，f(2)＝，那么x＞0时，()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值解析：令，那么，..令，那么.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.∴.又，∴.∴在单调递增．∴既无极大值也无极小值．应选D.四、消去参数，构造新函数例11、〔2023全国Ⅱ理〕设函数有两个极值点，且．〔I〕求的取值范围，并讨论的单调性；〔II〕证明：．解析：〔I〕由题设知，函数的定义域是且有两个不同的根，故的判别式，即且①又故．因此的取值范围是．当变化时，与的变化情况如下表：因此在区间和是增函数，在区间是减函数．〔II〕由题设和①知于是．设函数那么当时，；当时，故在区间是增函数．于是，当时，因此．五、消元构造新函数例12、函数，．〔Ⅰ〕假设函数，求函数的单调区间；〔Ⅱ〕设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线l与曲线相切．解析：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕∵，∴，∴切线的方程为,即,①设直线与曲线相切于点，∵，∴，∴．∴直线也为，即，②由①②得，∴．下证：在区间〔1，+〕上存在且唯一.由〔Ⅰ〕可知，在区间上递增．又，，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一.故结论成立．六、二元合一，构造新函数例13、函数〔〕．〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，那么称函数存在“中值相依切线〞．试问：函数是否存在“中值相依切线〞，请说明理由．解：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕假设函数存在“中值相依切线〞．设,是曲线上的不同两点，且，那么曲线在点处