开学摸底考（提升篇）模拟测试B卷（教师版）-2021-2022学年九年级上学期数学同步单元双基双测AB卷(沪教版)

2021-2022学年九年级上学期数学同步单元双基双测AB卷（沪教版）

开学摸底考（提升篇）模拟测试B卷

第I卷（选择题）

一、单选题

1.如图，在。ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且AE、BD交于点F,SAI）EF：SA.W

2.如图，在AABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EFIIBC,分别交AB,AC于点

E,F,若AC=18,则AF的长为（）

3.在AABC中，。是4B中点，E是AC中点，若ZkAOE的面积是3,则AABC的面积是

（）

A.3B.6C.9D.12

4.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a#0）的图象如图所示，现给以下结

论：①abc<0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0；④a-b2m（am+b）（m为实数）；⑤4ac

-b2<0.其中错误结论的个数有（）

5.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题:

点G将一线段MN分为两线段MG，GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与较

短的段GN的比例中项，即满足些=空=苴二1,后人把避二1这个数称为“黄

MNMG22

金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点.如图，在AABC中，已知

AB=AC=3,8C=4,若。，E是边8c的两个“黄金分割”点，则AADE的面积

为（）

A.10-475B.36-5C.5-2^D.20-875

2

第H卷（非选择题）

二、填空题

6.在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，绕着其对角线的交点旋转90度,

能够和原图形完全重合的有种.

7.如图，在△A8C中，/A=100度，如果过点8画一条直线/能把△ABC分割成两个

等腰三角形，那么/C=度.

4«Q

8.关于抛物线＞3公（&为常数），下来结论一定正确的是（填

序号即可）.

①开口向上；②顶点不可能在第三，四象限；③点加信+机,％）,可%-见名）是抛物

线上的两点，则%＞为：④k取任意实数，顶点所在的曲线为y=Y.

9.一次函数产1-5x经过点（0,）与点（）,0）,y随x的增大而.

AZ）2

10.如图，在AABC在，DEHBC,——=一，S^=S,则四边形BDEC的面积

DB3ADE

为.

11.有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质:

甲说：对称轴是直线x=2；

乙说：与x轴的两个交点距离为6；

丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,请你写出满足

上述全部条件的一条抛物线的解析式:

12.若抛物线经过点(一6,5)(2,5),则其对称轴是

112

13.如图，线段AB交x轴于点C,且BC=—AC,点A在双曲线丫=——(x>0)±,

2x

若AOAC的面积为4,则&的值为

14.将抛物线y=2f+3向右平移5个单位，那么平移后所得的新抛物线的表达式是

15.如图，AABC是等腰直角三角形，且AC=8C=2,AO是4A5c的中线，过

点。作CELAT)交AO于点尸，交A3于点£，则EF的长为.

16.若△ABCs^DEF,相似比为3：2,则对应面积的比为.

17.如图，己知AABC中，DE//BC,连接BE，AADE的面积是ABDE面积的：，

则S&ADE*S△ABC--------------------•

18.如图，将直线h沿着AB的方向平移得到直线12,若/1=50。，则N2=

19.在直角坐标系中，把四边形ABCD以原点。为位似中心放缩，得到四边形

A'B'C'D'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为(2,3)，(6,9),则

四边形ABCD的面积

四边形的面积―-----

三、解答题

20.某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水

头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，

喷水池中心为原点建立直角坐标系.

(1)若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰

物的高度为多少，请计算说明理由.

(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水

头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保

证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷

水头最高喷射高度为多少米？(假设所有喷水头高度忽略不计).

21.如图，在8X4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都是格点(小

正方形的顶点)，完成下列画图.

(1)画出△ABC的重心P.

(2)在已知网格中找出所有格点。，使点。与△ABC的其中两个顶点构成的三角形的

面积与aABC的面积相等.

22.已知R/AABC中，ZACB=90°,NC48=30。(如图).以线段4?为边向外作

等边三角形AM,点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AO于点尸.

(1)求证：四边形8CFD为平行四边形;

(2)连接CO,交AB于点M.

①若AB=6,求的长；

111

②作垂足为N,求证:-------1-------=-------

BCADMN

23.二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(1,3).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值.

24.当抛物线y=ad+0x+c(a、b、c为常数，cWO)与x轴交于A,B两点时，以AB

为边作矩形A8CZ),使点C、点。落在直线)，=c上，我们把这样的矩形ABC。叫做该抛

物线的“相约矩形”.

(1)①抛物线y=f—2x—3的“相约矩形”的周长为.

②当抛物线y=f—2x+c(c为常数)不存在“相约矩形”，则c的取值范围是

(2)已知抛物线,=必2+法+3经过点(2,0),当该抛物线的“相约矩形”是正方形

时，求出该抛物线所对应的函数表达式.

(3)对于函数y=or?-2x+2a(a为常数).

①当该函数的图象与x轴只有一个交点时，求出交点的坐标；

②我们把平面直角坐标系中横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，当抛物线

y=a?—2x+2a(“为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”

时，直接写出。的取值范围.

25.如图，已知A(3,0),B(0,«)(-3<a<0),以A8为一边在AB上方作正方形

ABCD,点E与点A关于)，轴对称，直线EC交)，轴于点F,连接。£

(1)求直线E尸所对应的函数表达式；

(2)判断CE与DF的数量关系并说明理由.

参考答案

1.A

【解析】

【分析】

由条件可证明ADEFs/kBAF,结合面积比可求得相似比，可求得答案.

【详解】

•••四边形ABCD为平行四边形，

，DE〃AB,

.,.△DEF^ABAF,

.S——DE24

SMBFAB25

/.-D-E-—2,

AB5

故选：A.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题

的关键.

2.C

【解析】

【分析】

A.pAQ2DG2

如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：—=——=「；=二，根据AC=18,

ACAD3DG3

求出AF即可解决问题.

【详解】

♦.♦G是△ABC的重心，

；.AG=2DG,AD=3DG；

•；EF〃BC,

.AFAGIDG2

"~AC~^D~3DG-35

VAC=18,

.\AF=12.

故选C.

【点睛】

该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；

牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

3.D

【分析】

根据相似三角形的性质与判定即可求出答案.

【详解】

解：•.•。是AB中点，E是AC中点，

是△ABC的中位线，

：.DE=-BC,DE//BC,

2

.$战DE=（三）2=1

s故BCBC4'

••8c=4S△4。E=12,

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的面积问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

4.A

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根

据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】

解：①由抛物线可知：a>0,c<0,

对称轴x—--V0,

2a

Ab>0,

/.abc<0,故①正确；

②由对称轴可知：----=-1,

2a

；・b=2a,

•.・x=l时，y=a+b+c=O,

，c+3a=0,

.*.c+2a=-3a+2a=-a<0,故②正确；

③(1,0)关于x=-1的对称点为(-3,0),

.•.x=-3时，y=9a-3b+c=0,故③正确；

④当x=-1时，y的最小值为a-b+c,

・'・x=m时，y=am2+bm+c,

am2+bm+c>a-b+c,

EPa-b<m(am+b),故④错误;

⑤抛物线与x轴有两个交点，

・・・△>(),

即b2-4ac>0,

4ac-b2<0,故⑤正确；

故选A.

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二

次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

5.A

【分析】

作AFLBC,根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、

CD的长度，得到△"）石中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.

【详解】

解：过点A作AFLBC,

VAB=AC,

ABF=—BC=2,

2

在Rt△ABR,AF=yjAB2-BF2=^32-22=，

•••D是边BC的两个“黄金分割”点，

.CDy/5—1anCDy/i—1

.•----=--------即-----=--------,

BC242

解得CD=2指一2，

同理BE=26—2，

VCE=BC-BE=4-(2A/5-2)=6-275，

7.DE=CD-CE=4>/5-8.

ASAABC=^x£)£'xAF=^x^475-8^x75=10-475，

故选：A.

【点睛】

本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公

式，求出DE和AF的长是解题的关键。

6.1

【分析】

根据题意，该四边形的对角线互相垂直平分且相等.

【详解】

解：因为四边形绕着它的对角线的交点旋转90°,能够与它本身重合，说明对角线互相垂

直平分且相等，

在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，满足条件的只有正方形，

故答案为：L

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质及与特殊四边形的关系，属基础题.解题时要根据旋转的性质

解答.

7.20

【分析】

设过点B的直线与AC交于点D,则4ABD与ABCD都是等腰三角形，根据等腰三角形的性

质，得出NADB=NABD=40。，ZC=ZDBC,根据三角形外角的性质即可求得NC=20。.

【详解】

解：如图，设过点8的直线与AC交于点则△A3。与△38都是等腰三角形，

VZA=100°,

・・・N4O8=NA8O=40。，

•:CD=BD,

：・NC=NDBC,

•・・ZADB=ZC+ZDBC=2ZC,

A2ZC=40°,

AZC=20o,

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性

质并灵活运用是解题的关键.

8.①②④

【分析】

①根据系数即可判断；②由尸如42Q.依+?Q2=4（了_左）2+%2即可判断；③将两点代入

JJJD

即可判断大小；④由顶点坐标即可求得.

【详解】

4cxQ4

CD,**y=—x2——kx+—k~a=1>0,・'.开口向上，故①正确；

42O4

②丫:1/一^"+彳公=—（x—左）2+公，顶点坐标为（k,k2）,k2>0,纵坐标始终不可能

小于0,.•.顶点不可能在第三，四象限，故②正确；

44

③将M,N两点分别代入解析式，y,=-（k+m-k）2+k2--m2+k2,

44

=

y2—{k—m++k~~—m~+k~,X=为,故③错误；

④抛物线顶点坐标为（k,k?）,.♦.左取任意实数，顶点所在的曲线为y=f,故④正确；

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查抛物线图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，难度适中，熟练掌握二

次函数图象的性质是解题的关键.

1m,

9.1,臧小

【解析】

【分析】

先分别计算自变量为0时的函数值和函数值为0所对应的自变量的值，然后根据一次函数的

性质回答增减性.

【详解】

当x=0时，y=l-5x=l；

当y=0时，1一5%=0,解得了=!，

所以一次函数y=l—5X经过点（0,1）和点

因为％=—5<0，

所以y随x的增大而减小.

故答案为：1,—>减小.

【点睛】

本题考查了一次函数的性质：k>o,y随工的增大而增大，函数从左到右上升；k<o,y

随》的增大而减小，函数从左到右下降.由于产乙与y轴交于（0,》），当z?>o时，（0,。）

在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当6<o时，（0,》）在y轴的负半轴上，直线与

y轴交于负半轴.

10.42.

【详解】

..AD2.AD22

VDE/7BC,.".△ADE^AABC,

,~DB~3'"AB-3+2-5

S'OE_(AOy8__4_

••SAABC=50,

SA^C_AB'"SMBC~25

四边形BDEC的面积=SAABC£ADE=50-8=42.

考点：相似三角形的判定与性质.

11.y=_；(x-2)2+3或y=g(x_2『_3

【解析】

【分析】

因为对称轴是直线x=2,与x轴的两个交点距离为6,所以x轴的两个交点的坐标为(-1,0),

(5,0),

因为顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,可得顶点的纵坐标为±3,得顶点坐标为

(2,3)或(2,-3),

所以利用顶点式求的抛物线的解析式即可.

【详解】

根据题意得，抛物线与x轴的两个交点的坐标为(-1,0),(5,0),顶点坐标为(2,3)或

(2,-3),设函数解析式为。-2)2+3或y=a(x-2)2-3，

.1

把点(一1,0)代入y=a(x-2)-+3得Q二一耳，

把点(5,0)代入丁=。(了一2)2-3得。=^，

...满足全部上述条件的一条抛物线的解析式为y=--(X-2)2+3或y=--(x-2)2-3.

【点睛】

本题主要考查抛物线的性质，理解题意是解题的关键.

12.x=-2.

【分析】

根据己知条件知，该抛物线经过的点(-6,5),(2,5)的纵坐标相同，所以这两点关于对

称轴对称.

【详解】

解：•••某抛物线经过点(-6,5),(2,5),

...这两点关于对称轴对称，

-6+2

x=---------=-2,

2

即x=-2；

故答案是：x=-2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.抛物线y=ax2+bx+c(a/))的对称轴方程是

13.3.

【分析】

分别作AOLx轴于点£>,轴于点E,设A(a,b),求得"的值，通过平行线分线段

成比例性质，求得3点的坐标，再运用待定系数法求得k的值.

【详解】

分别作轴于点，8^，》轴于点£,如图，

则BE//AD,

设A(a,b),则A£>=-OD-a,

12

•.•点A在双曲线广——(x>0)上，

x

ab--12,

S«OAD=；x|OZ>AO|=^x\-ab\=6,

•••△CMC的面积为4,

,OC_4_2

贝lj0C=2CD,

'OD~6~3

,JBE//AD,BC=—AC,

2

.BECEBC

"AD~CD~AC~2'

：.BE=-AD=--b,CE=-CD,

222

13

OE=OC-CE=2CD——CD=-CD,

22

3

DE=CE+CD=-CD,

2

：.OE=DE=-CD=­a,

22

B(­a,--b),

22

k

•.•点3在双曲线产一(&¥0,x>0)上,

x

:.k=_ci,—b=—cib=3.

2I2J4

故答案为：3.

【点睛】

本题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了反比例函数的性质，待定系数法，平行线的

分线段成比例定理，体现了数形结合的思想.

14.y=2（x-5『+3

【分析】

按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.

【详解】

由题意得

平移后所得的新抛物线的表达式是y=2（x-5）2+3.

故答案为：y=2（x-5『+3.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是:将二次函数解析式转化成顶点式y="（x/）2+k（a,

b,c为常数，存0）,确定其顶点坐标（〃，k）,在原有函数的基础上“〃值正右移，负左移；k

值正上移，负下移”.

475

15.

15

【分析】

取BE的中点G,连接DG,利用勾股定理以及面积法分别求得AD、CF、DF、AF的长，根

据三角形中位线定理得到DG〃CE,DG=-CE,EF=x,由△ADG~^AFE,利用相似三

2

角形的性质列式计算即可求解.

【详解】

如图，取BE的中点G,连接DG,

*/AO是△ABC的中线，

.♦.CD」BC=1,

2

AD^y]AC2+CD2=>/22+12

•JCEA.AD,

：.-CDxAC=-ADxCF,

22

.“CDxAC2小

••Cr=-------------=-------,

AD5

,点D、G分别是BC、BE的中点,

1

；.DG〃CE,DG=-CE,

2

设砂=x,

DG=-(CF+EF)=-(+X),

225

：DG〃CE,

•・.△ADG〜AAFE,

DGAD逐5if275

•••EE一Ab—4蓬—4，即2(5')_5^

5x4

解得：x=士叵，

15

，-475

故答案为：

15

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理的应用，构建辅助线，

证明AADG~Z\AFE是关键.

16.3：2

【解析】

【分析】

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算.

【详解】

VAABC^ADEF,相似比为3：2,

3

.•.对应面积的比为(一)2=9：4,

2

故答案为9:4.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

17.1:9

【解析】

【分析】

根据等高的两三角形的面积之比等于对应边之比得出喘=(,求出*=；，根据相似三

角形的判定得出AADEsaABC,根据相似三角形的性质得出即可.

【详解】

解：•••△ADE的面积是ZkBDE面积的

2

.AD1

,.---=—,

BD2

.AD1

••---=一，

AB3

VDE/7BC,

.,.△ADE^AABC,

.=(A。)2=(1)2=1

''SMBC~AB—3-9，

故答案为1：9.

【点睛】

本题考查了三角形的面积，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用性质进行推理和计

算是解此题的关键，注意：①等高的两三角形的面积之比等于对应边之比，②相似三角形的

面积之比等于相似比的平方.

18.50°

【分析】

根据平移的性质得出/,///2,进而得出N2的度数.

【详解】

解：•••将直线4沿着AB的方向平移得到直线4，

Z,///2,

•.•/1=50。，

.•.N2的度数是50°.

故答案为：50°.

【点睛】

本题考查了平移的基本性质及平行线性质.平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和

大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

1

19.-

9

【解析】

分析：根据题意得到四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为L根据相似三角形的

3

性质计算即可.

详解：•••点A和它的对应点A'的坐标分别为(2,3),(6,9),

，四边形ABCD以原点0为位似中心扩大3倍，得到四边形A'B'C'D',

即四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为!，

3

.四边形ABCD的面积1

"四边形A'B'C'D'的面积=9'

故答案为：一.

9

点睛：本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似图形的

性质是解题的关键.

10143

20.(1)—；(2)——

324

【分析】

(1)直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案；

(2)根据对称轴为x=4,可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，代入即可求解.

【详解】

(1)由题意可得：当x>0时，抛物线解析式为：y=a(x-4)2+6,

把(10,0)代入得0=a(10-4)2+6

解得：a=-，，

6

故抛物线解析式为：y=--(x-4)2+6；

6

令x=0,解得y二号

故这个装饰物的高度为与m；

(2)•.,当x>0时，抛物线的对称轴为x=4

由题意可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，

,一143

当x=4.5时，y=——

24

答：直线型喷水头最高喷射高度为二14二3米.

24

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键.

21.(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)重心是三角形的中线的交点，作△A8CO的中线CE,8F交于点P,点尸即为所求;

(2)根据等高模型解决问题即可.

【详解】

解：(1)如图【中，点P即为所求，

图2

【点睛】

本题考查了重心，等高模型，掌握重心的定义和画图方法是解题关键.

22.(1)证明见解析；(2)①BM=2:②证明见解析.

【分析】

(1)先根据等边三角形的性质可得44。=//血＞=/。=60°,再根据直角三角形的性

质、等边三角形的判定与性质可得NC£3=NCBE=NABC=60°,然后根据平行线的判

定可得CF//BD,BC//FD,最后根据平行四边形的判定即可得证：

(2)①先根据相似三角形的判定与性质可得处"=生，再根据(1)已求

AMAD

BC=-AB=-AD,从而可得也=生=’,然后根据线段的和差即可得;

22AMAD2

②先根据平行线的判定可得,再根据相似三角形的判定与性质可得

g=四，四=里,从而可得出+”^网+0=1,由此即可得证.

BCACDACABCDAACCA

【详解】

(1);八钻。是等边三角形

：•AD=AB=BD，ZBAD=ZABD=ZD=60°

在R/AABC中，ZC4B=30°

/.ZABC=60°

•••点E是线段A3的中点

:.CE=BE=AE=-AB

2

.•.△BCE是等边三角形

ZCEB=ZCBE=ZABC=60。，BC=CE

二ZABD=NCEB=60°

：.CFUBD

NCBD+ND=ZCBE+ZABD+ZD=60°+60°+60°=180°

BC//FD

四边形BCFD为平行四边形；

(2)①如图，连接CO，交AB于点M

BC//FD

:.4cM~^ADM

.BMBC

"AM~AD

VBC=CE^-AB,AB=AD

2

.BMBC

"AM~AD~2

*/AB=BM+AM=6

：.BM=-AB=2；

3

②如图，作MN_LAC,垂足为N

VZACB=90°.ZCAD=ABAC+ZBAD=300+60°=90°,MNA.AC

，BC//MN//DA

•*.4AMN~AABC，ACA/TV~AC£X4

.MN_ANMN_CN

"BC~AC,DA~CA

•MN।MN——AN।CN——_A_N___+_C__N_——AC——J,

,BCDAACCAACAC

•__1__।___1_=___1_

"BCADMN'

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形的性质、相似三角形

的判定与性质等知识点，较难的是题(2)②，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关

键.

23.(1)y=--(x-3)2+5；(2)开口向下，对称轴为直线x=3,当x=3时函数的最大值

2

为5；

【分析】

(1)设顶点式y=a(x-3)2+5,然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；

(2)根据二次函数解析式，即可得到开口方向，对称轴、顶点坐标和最值.

【详解】

(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+5,

将A(1,3)代入上式得3=a(1-3)2+5

，解得a=-,

2

二抛物线的解析式为y=--(x-3)2+5,

2

(2)根据y=-：(x-3)2+5,可得抛物线开口向下，对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,

5),当x=3时函数的最大值为5.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根

据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物

线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点

或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设

其解析式为交点式来求解.

32133

24.(1)①14；②c—1或c=0；(2)y=—x?------1+3或3?=-----x2H—x+3；(3)①(0,

101022

[88

0),(y/2,0)或(-，0)；②—<aW—.

8333

【分析】

(1)①设抛物线y=x2-2x-3与无轴的交点横坐标分别为幻、X2,解一元二次方程根即可

求出|XLX2|,即“相约矩形”的长，即可求出周长；②抛物线存在“相约矩形”，必须满

足两个条件：I.抛物线与x轴有两个交点，II.抛物线不经过原点：

(2)由抛物线的“相约矩形”是正方形，可知：抛物线与x轴的另一个交点为(5,0)或

(-1,0),分别代入即可求出抛物线解析式；

(3)①函数2a("为常数)的图象与x轴只有一个交点，分两种情况：a=0,

“#0；分别求出交点坐标；

②分四种情形，分别画出图形，构建不等式组解决问题即可.

【详解】

解：(1)①设抛物线y=/-2x-3与x轴的交点横坐标分别为朴及，则xi=3、x2=-l

.'.XI-X2=3-(-1)=4

y=x2-2x-3与y轴的交点(0,・3)

.・・周长=4+4+3+3=14

故答案为：14.

②：抛物线y=9-2x+c(c为常数)不存在“相约矩形”，

二抛物线y=/-2x+c(c为常数)与x轴没有两个交点，或经过原点

...A=(-2)2-4C40,解得：c》l；

当经过原点时c=0

或c-O.

故答案为：或片0.

(2)•.•抛物线丁=℃2+法+3经过点(2,0),旦抛物线的“相约矩形”是正方形,

抛物线^=62+必+3与》轴的另一个交点为(5,0)或(一1,0).

将(2,0),(5,0)或(2,0),(-1,0)分别代入,=℃2+瓜+3得

33

CI---a=—

'4。+2。+3=04a+2b+3=0102

或，，解得.或《

25。+5。+3=0伍-"3=0,2173

h=----b=—

1012

32133

.••该抛物线所对应的函数表达式为：y=—?一一x+33或丁=一2/+—x+3.

■101022

(3)①•••函数y=ax2-2x+2a(a为常数)的图象与x轴只有一个交点,

二可以分两种情况：

当。=0时，函数产一2%与x轴只有一个交点：(0,0).

当aWO时，△=(一2)2—4〃•2。=0,解得％=2^.,%=一2^.

当a=时，y=^^x2-2x+V2，令)=0,得多立^x之一2x+后=0，解得％=马=V2，

222

此时，抛物线与x轴的交点为(、巧，0)；

当°=一①时，y=_也/_2%_拒，令尸0,得一立/一2尤一夜=(),解得

222

%=%=~\[2，

此时，抛物线与x轴的交点为(-0,0).

综上所述，当函数^=如2一2》+2。3为常数)的图象与1轴只有一个交点时，交点的坐标

为(0,0)，(0，0