江苏苏州高新区2022年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线C:。—方=1（。>01>0）的左，右焦点分别为片，K，o为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的

点，直线尸o,分别交双曲线C的左，右支于另一点M,N,若归耳|=3归国，且NM6N=6（r,则双曲线的离

心率为（）

A.立B.3C.2D.立

22

2.已知M是函数/（x）=1nx图象上的一点，过"作圆f+Jo=0的两条切线，切点分别为4,5,则雨.砺

的最小值为（）

c/y

A.2A/2-3B--1C.0D.△--3

2

3.设非零向量万，b>C,满足|b|=2,I初=1,且x与日的夹角为凡则“|力」|=6"是2=。”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.定义在R上的奇函数“X）满足〃-3-力+/（%-3）=0,若/⑴=1,/（2）=-2,则

/⑴+〃2）+〃3）+...+/（2020）=（）

A.-1B.0C.1D.2

5.以A（3,-l）,8（-2,2）为直径的圆的方程是

A.x1+y2-x-y-8=0B.x1+y2-x-y-9=0

C.x2+y2+x+y-8=QD.x2+j2+x+y-9=0

2

6.定义："{/（力08（切表示不等式/（幻<8（幻的解集中的整数解之和.若/。）=|小2幻，g（x）=a（x-l）+2,

N{f（x）®gM}=6,则实数a的取值范围是

A.(—oo,—l]B.(log3-2,0)C.(2-log,6,0]

24

x+y-\<0

7.若X,)'满足约束条件x-y+3<0,则f+y2的最大值是)

x+2>0

9

A.C.13D.

2B考

8.若(1—2i)z=5i(i是虚数单位),则目的值为()

A.3B.5C.百D.V5

已知数列{4}满足%+44+7%+•••+(3〃-2)=4〃,

9.贝！ja2a3+a3a4d----\-a2Xa22=()

5355

A.-B.-C.1D.

8442

22

10.双曲线C1：xy=1(。>0,Z?>0)的一个焦点为尸(c,0)(c>0),且双曲线G的两条渐近线与圆

/一记

(x-c)2+y2=J均相切，则双曲线G的渐近线方程为()

4

Ax±\/3y=0B.>/3x±y=0C.\f5x±y=0D.x±V5y=0

11.已知集合4={%|-2<%<4},集合3={x|d-5x-6>0},则4集3=

A.{%|3<%<4}B.{x|x<4或x>6}

{x|-2<x<—1}D.{x|-l<x<4}

12.在正方体ABC。—4片&。中，点E,F,G分别为棱AR,»D,A百的中点，给出下列命题：①A£_LEG；

②GC//ED；③B7_L平面BGG；④族和成角为四.正确命题的个数是()

4

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=lnx+x2,则曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为.

14.已知AABC中，AB=BC,点。是边8C的中点，ZVU5C的面积为2,则线段AO的取值范围是.

15.已知同=2,网=g，a,5的夹角为30。，伍+28)〃(21+篇)，则(.+二)伞-5)=.

L2-Lx<（）

16.已知函数/（x）=6x+x+2'，若关于x的方程/*）+/（-x）=0在定义域上有四个不同的解，则实数a

lnx-x,x>0

的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远

镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年

代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）

是一定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉

冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.

（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？

（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.

18.（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和

国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，

为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比

较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光

照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：

（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说

出你的决策方案并说明理由；

（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；

若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间(每间1亩)，农场种植的该

蔬菜每年产出可次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同

的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；

(3)农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大

棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X,求X的分布列及期望.

19.(12分)已知直线/与抛物线C:f=4y交于M,N两点.

(1)当点的横坐标之和为4时，求直线/的斜率；

11

(2)已知点尸(L-2),直线/过点QQ1),记直线的斜率分别为勺，k2,当厂+厂取最大值时，求直线/

的方程.

20.(12分)已知矩形纸片ABC。中，AB=6,AD=i2,将矩形纸片的右下角沿线段MN折叠，使矩形的顶点8落

在矩形的边AO上，记该点为E,且折痕MN的两端点M,N分别在边AB,BC上.设NMNB=仇MN=I,AEMN的

面积为S.

(1)将/表示成〃的函数，并确定〃的取值范围；

(2)求/的最小值及此时sin6的值；

(3)问当，为何值时，AEMN的面积S取得最小值？并求出这个最小值.

21.(12分)随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的

普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而

得到表(单位：人)

经常网购偶尔或不用网购合计

男性50100

女性70100

合计

(1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3

人中至少有2人经常网购的概率;

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X,求随机变

量X的数学期望和方差.

参考公式:

(a+b)(c+d)(a+c)e+d)

P(K22K°)0.150.100.050.025().0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知函数/(x)=a(x+l)ln(x+l)-x2-ttx(a>0)是减函数.

(1)试确定a的值；

(2)已知数列{““}/=>(〃+1).=的2a3........求证：+

tr+12

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可.

【详解】

结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO,而6。=6。，结合四边形对角线平分，可得四边形「耳班为

平行四边形，结合NM&N=6()。，故/月加工=60°

对三角形片运用余弦定理，得到，FM2+FM2-F^

,2=2MFCMF2-COSZF}MF2

而结合归周=3忱周，可得附周=3a,£g=2c,代入上式子中，得到

/+9/一4C2=3/,结合离心率满足e=£,即可得出e=£=也，故选D.

aa2

【点睛】

本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难.

2.C

【解析】

先画出函数图像和圆，可知若设=贝"两卜|砺卜熹，所以

cos2^=2sin2^+-i--3,而要求何.丽的最小值，只要sinG取得最大值，若设圆

sine

f+V—2y=0的圆心为C,贝「皿9=隔，所以只要|MC|取得最小值，若设用(x,lnx),贝！|

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后构造函数g(x)=/+(in龙一1y,利用导数求其最小值即可.

【详解】

记圆x2+y2-2y=o的圆心为C,设NAMC=e,贝!]|⑻卜|画=+，sin6=p^,设

M(x,lnx\\MC|2=x2+(lnx-l)2,记g(x)=f+(lnx-l)2,贝(J

।2

g'(x)=2x+2(lnx-l)--=—(x2+lnx-l),令h(x)=x2+lnx-1,

xx

因为/2。)=/+]11%—1在(0,收)上单调递增，且〃(1)=0,所以当Ovxvl时，/z(x)</z(l)=0,/(x)<0；当了>1

时，h(X)>h(V)=09gXx)>09则g(x)在(0,1)上单调递减,在(Lm)上单调递增,所以g(X)min=g6=2,即

|VC|国5,0<sin9―,所以祝•丽=|丽512cos26=2sin2e+-47；—320(当sin6=农时等号成立).

112SHF62

故选：c

【点睛】

此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.

3.C

【解析】

利用数量积的定义可得。，即可判断出结论.

【详解】

解：\b—a\=V3>b2+a2-2d»h=3,22+1—2x2x1xcos0=3•

1JI

解得cos6=—,0e[O,乃],解得。=一，

23

二“|力一£|=8”是"。?”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

4.C

【解析】

首先判断出/(%)是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值.

【详解】

由已知“X)为奇函数，得/(一x)=—"X),

而止3-司+仆-3)=0,

所以/(%-3)=/。+3),

所以〃x)=/(%+6),即/(%)的周期为6.

由于/。)=1，/(2)=—2,40)=(),

所以"3)="—3)=—〃3)n/(3)=0,

"4)="-2)=-〃2)=2,

〃5)=〃-1)=-〃1)=-1，

"6)="0)=0.

所以〃1)+〃2)+/(3)+〃4)+/(5)+〃6)=0,

又2020=6x336+4,

所以/(1)+/(2)+〃3)+...+/(2020)=〃1)+八2)+〃3)+/(4)=1.

故选:c

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

5.A

【解析】

设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出。为",从而求出圆的方程.

【详解】

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-6)2=产，

由题意得圆心为A,8的中点,

一

根据中点坐标公式可得。=3=-2=:1,6=_1詈+2=：1,

2222

又一些=加+2)2七1一2)：二妞,所以圆的标准方程为：

222

1117

(x--)2+(y--)2=—,化简整理得f+J_x_8=0,

222

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.

6.D

【解析】

2

由题意得，N{/(x)0g(x)}=6表示不等式|log2x|＜«(A-1)+2的解集中整数解之和为6.

当。＞0时，数形结合(如图)得|1.22＜。(、-1)2+2的解集中的整数解有无数多个，|log2x|＜a(x-l)2+2解集中的

整数解之和一定大于6.

当"。时，g(x)=2,数形结合(如图)，由/⑶＜2解得标、＜4.在(%)内有3个整数解’为…’3,满足

N{f(x)0g(x)}=6,所以a=0符合题意.

当。＜0时，作出函数/(x)=|log2x|和g(x)=a(x-l)2+2的图象，如图所示.

若N{/(x)③g(x)}=6,即|小用<心-1>+2的整数解只有1,2,3.

⑶即|xr2*解得『“3所以

只需满足

[/(4)2g(4)

综上，当N{,f(x)<8)g(x)}=6时，实数。的取值范围是(强干,0].故选D.

7.C

【解析】

由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值.

【详解】

x+y-1=0

解：f+炉表示可行域内的点(X,),)到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由.

x+2=0

v=3

解得即A(一2,3)

点A(-2,3)到坐标原点(0,0)的距离最大，即(X2+/U=(-2)2+32=13.

故选：C.

【点睛】

本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题.

8.D

【解析】

直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.

【详解】

（1—2i）z=5i（i是虚数单位）

可得|。-2加|=恸

解得忖=石

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.

9.C

【解析】

利用（3〃-2）4的前〃项和求出数列｛（3〃-2）4｝的通项公式，可计算出勺,然后利用裂项法可求出

。2。3++…+a21a2）的值.

【详解】

・「4+4%+7%+・・・+（3〃-2）。“=4〃.

当〃=1时，4=4；

当刀22时,由q+4〃2+7%H----卜（3九一2）4=4〃,

可得%+4g+7/+•••+(3〃-5)•=4(〃—1),

两式相减，可得(3〃-2)4=4,故=，

3n-2

4

因为q=4也适合上式，所以%=------.

3n-2

1616f11)

依题意，“"+14+2-伽+1)(3〃+4)-T13〃+1-3n+4J，

1111115

故aa3+%%+,•,+—+—-----------1--------------------1-•••~|------------

777101013614

故选：C.

【点睛】

本题考查利用S“求％,同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

10.A

【解析】

be

根据题意得到d==j,化简得到/=3",得到答案.

【详解】

h,bec

根据题意知：焦点F(c,O)到渐近线y=-A-的距离为d=/,,=-,

ayla"+b~2

故6=3/,故渐近线为x±JJy=O.

故选：A-

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.

11.C

【解析】

由J-5x-6>0可得(》-6)(尤+1)>°,解得》<一1或x〉6,所以B={x[x<-l或%>6},

又A={x[—2<x<4},所以Ac8={x[—2<x<-l},故选C.

12.C

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A(2,0,0),q(0,2,2),G(2,l,2),

C(0,2,0),£(1,0,2),0(0,0,0)避(2,2,2),*0,0,1),8(2,2,0).

①，苑=(一2,2,2),函=(1,1,0),元•诙=-2+2+0=0,所以AG^EG,故①正确.

②，GC=(-2,1,-2),ED=(-1,0,-2),不存在实数4使充=之左方，故GC//ED不成立,故②错误.

③，评=(-2,-2,-1),而=(0,-1,2),嗨=(一2,0,2),“.而=0,斯•陶=2»0,故B/J•平面BG6不

成立，故③错误.

丽.豳

而=(T,0,-1),函=(0,0,2),设所和成角为。，贝ijcos6=由于

7F

所以。可，故④正确.

综上所述，正确的命题有2个.

故选：C

X

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3x—y一2=0

【解析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.

【详解】

因为f'(x)^-+2x,

X

所以左=r(i)=3,

又/⑴=i,

故切线方程为y—i=3(x—l),

整理为3x—y—2=(),

故答案为：2=()

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.

14.[x/^,+oo)

【解析】

设AB=BC=/,Ar>=〃7,利用正弦定理，根据，，侬=；^sin6=2,得到/sin8=4①，再利用余弦定理

5（5丫

得产cos夕=2产一加2②，①②平方相加得：〃=-t2-m2+16,转化为

44

9一一401/+16〃+256=0有解问题求解・

【详解】

设AB=BC=t,AD=m,

所以S"c=Sin6=2,即/sin夕=4①

由余弦定理得勿2=产+-2.t--COS,

⑵2

即t2cosB--t2-//②，

4

<5V

①0平方相加得：=-t2-m2+16,

（4）

即9#-401产+16相+256=0，

令，=x>0,设g（x）=9/_40勿2入+16加4+256,在（0,+8）上有解，

2

g、1（20//）（20//7Y220m24

所以g----=9-----40//rx-----F16勿+256<0，

\9J\QJR9

解得/429，即m>V3，

故答案为：［6,+8）

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.

15.1

【解析】

由,+2可//（2万+法）求出2,代入伍+4）•（万一可，进行数量积的运算即得.

【详解】

•.•（益+刀）//（26+焉）,.•.存在实数左，使得21+肪=入心+笏）.

2=k

,.,4,坂不共线，，<，・二％=4.

A=2k

•.•同=2,W=G,a,B的夹角为30°,

伍+45),(汗—5)=(5+45)•(汗一5)=J+3。石一4石

=4+3x2xV3xcos30-4x3=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.

16.

【解析】

由题意可/(x)+/(-X)=o在定义域上有四个不同的解等价于y=+0+_1关于原点对称的函数

6x2

y=—9/+^一!与函数/(^^^—^^(^的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析

6x2

单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.

【详解】

12Q

-x+—+-,x<0

已知定义在(9,0)5°，”)上的函数/(*)=<6x2

lnx-x,%>0

若/(x)+/(-x)=0在定义域上有四个不同的解

一与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点,

6x2

联立可得Inx-x+'x?一旦+=o有两个解，即〃=x\nx-x2+—x3+—x

6x262

o]]13

可设g(x)=^lnx-x2+—x3+—x,贝！Jg'(x)=lnx-2x+—x?+二，

6222

进而g"(x)=x+!-220且不恒为零，可得g'(x)在(0,+8)单调递增.

X

由g'(l)=O可得

0<x<l时，g'(x)<O,g(x)单调递减；

x>l时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

即g(x)在x=1处取得极小值且为

作出y=g(x)的图象，可得—!<a<0时，Inx-x+’Y一@+_L=o有两个解.

36x2

故答案为：(一1°]

【点睛】

本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)79颗；(2)5.5秒.

【解析】

(1)利用各小矩形的面积和为1可得。，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；

(2)平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.

【详解】

(1)第一到第六组的频率依次为

0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和为1

所以2a=1—(0.1+0.2+0.3+0.2+0.05),a=0,075,

所以，自转周期在2至10秒的大约有93x(1—0.15)=79.05*79(颗).

(2)新发现的脉冲星自转周期平均值为

0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5(秒)•

故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.

18.(1)见解析；(2)(i)该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；(ii)若采用降低夜间温

3

度的方法，预计每年的利润为424千元；(3)分布列见解析，E(X)=-.

【解析】

(1)估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.

(2)对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.

(3)估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X的可能取值有0,L2,3,再算出相

应的概率，写出分布列，再求期望.

【详解】

(1)第一组数据平均数为5.05x0.1+5.15x0.2+5.25x0.4+5.35x0.3=5.24千斤庙，

544232

第二组数据平均数为5.18x^-+5.20x—+5.22x—+5.24x—+5.26x^-+5.28x—=5.22千斤/亩，

202020202020

可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；(

(2)(i)对于采用延长光照时间的方法：

每亩平均产量为5.05x0.1+5.15x0.2+5.25x0.4+5.35x0.3=5.24千斤.

:.该农场一年的利润为(5.24x2x1-6-0.22)x100=426千元.

(ii)对于采用降低夜间温度的方法：

e位5.18x5+5.20x4+5.22x4+5.24x2+5.26x3+5.28x2=…▼广

每亩平均产量为........................---------------------------=5.22千斤，

20

.••该农场一年的利润为(5.22x2x1—6—0.2)x100=424千元.

因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利

润为424千元.

(3)由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，

X的可能取值有0,1.2,3,

「3Q1

p(x=o)=坪=2；

I)Co228

c~

P(x=g警啜

P(X=2)=笆=亲

do3"

P(X=3)=-^-=—.

,)4114

所以X的分布列为

X0123

913551

p

2287638H4

35513

所以E(X)=lx3+2x3+3x——=

')76381144

【点睛】

本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.

3

19.(1)1(2)y^-x+1

【解析】

(1)设M%,点，N%，手，根据直线的斜率公式即可求解;

(2)设直线/的方程为>=丘+1,N(X2，%)，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得罚+%2,髭々，

11

结合直线的斜率公式得到了+丁，换元后讨论/的符号，求最值可求解.

Kjk2

【详解】

(1)设MNX2,子),

因为玉+尤2=4,

22

须__X2

•k44_石+x?_j，

,,%MN

王一々4

即直线的斜率为1.

(2)显然直线/的斜率存在,

设直线/的方程为>=丘+1,M目,乂)，可知必).

y=Ax+1

联立方程组〈

x2=4y

可得Y—4履—4=0,

%+电=4攵，x]x2--4

则]+]_%—1+x2-l_2kxlx2+(3-k)(xl+x2)-6

kxk2H+3Ax2+3表2百%2+34(%+尤2)+9

-4k2+4k-61以一3

=-------------------------1--------------1

8A2+9216公+18

令8人一38则％=

_L4f14

则1+£―~2+t2+6t+8l-5+/+q+6

t

—1I—1=11---4--s11==4—=—1

当，>0时，Kk22/+q+6-22商+63；

t

Q1o

当且仅当£=一,即，=8左一3=9时，解得时，取小”号,

t2

当1=()时,一+一=——4------=—<—•

产+6,+81----23,

111今14「51、

当f<o时，k\k,2r2+6r+812_816,2J

11td----1-Ou'

t

3111

综上所述，当％='时，厂+厂取得最大值-一，

2k[h3

3

此时直线/的方程是y=1x+l.

【点睛】

本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.

3

20.(1)1=.n(2)sin6=Y3,/的最小值为速.(3)6=工时，面积S取最小值为8百

csimnO口ccosd?6ZJ1112QA!ccN

【解析】

(1)ZENM=/脑2=夕,/£加4=2。,利用三角函数定义分别表示凡比用民腔,4知，且AM+MB=6,即可得到

BN=——:----<12

sinGeos。

3

/关于。的解析式；BN<n,BM<6^]\BM=—T-<6，即可得到。的范围;

(2)由(1)，若求，的最小值即求sinOcos?。的最大值,即可求面2%054。的最大值,设为/(。)=豆112外0$4。,令

x=cos26,贝11/⑹=(1-X)/,即可设g(x)=(l-x)d,利用导函数判断函数的单调性，即可求得g(力的最大值，进而

求解;

(3)由题,S=-l2sin6>cos6,=-x-------....-f—464工］，贝！］S?=以x—~~—，设

22sinOcos，队124广4sin20cos60

t=cos2〃⑺=(17)户，利用导函数求得〃⑺的最大值，即可求得5的最小值.

【详解】

解：⑴ZENM=ZMNB=0,ZEMA=20,

故NB=/cos9,MB=ME=Isin仇AM=MEcos20=1sin6cos2。.

因为24^+〃3=6,所以/5抽8(：052。+入出8=6,,

63

所以/

sin6(cos20+1)sin6cos20'

3

BN=------------<12

sincos

BM=^-<6，所以Mwevf,

又BNW12,8M<6,则<

cos23124

7t

O<0<-

2

3

所以/=~<e<—

sin^cos2^^124>

(2)记/(e)=sinecos2e，A〈e«7,

则f2(e)=sin26cos,J,

、几，r12+73

，贝！1/2（。）=（1）/,

24

记g(x)=(1—x)x=贝!Ig'(x)=2x-3x2,

令g'(x)=O,则

一12-22+\/3

当xw2,3时，g")>°；当xw3；4时，g")<°，

所以g（x）在上单调递增，在今/I上单调递减,

乙DD'I

故当X=cos26=2时/取最小值，此时sin。@/的最小值为2叵.

332

1,9

(3)的面积Su式Vsinecos。=—X

22sin6cos3外1247

2+V3

811，设夕后《"制,则

所以群-----X--------------------------7--”32Lw

4sin-8cos84

设h(t)=(1一f)/，则/。)=3f2-4/，令/«)=o,/=《e；，葛

所以当rep1时,"(f)>0；当Wj柠8时，”⑺<0,

"1o-I42+C

所以在-,-上单调递增，在上单调递减,

故当，=2=cos2，，即6=工时，面积S取最小值为8G

46

【点睛】

本题考查三角函数定义的应用，考查利用导函数求最值，考查运算能力.

21.(I)详见解析；(II)①49?；②数学期望为6,方差为2.4.

60

【解析】

(1)完成列联表，由列联表，得烂8.333>6.635,由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民

网购与性别有关.

(2)①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10x—匕=7人，偶尔或不用网购的有10x二匕=3人，由此

100100

能选取的3人中至少有2人经常网购的概率.

②由2x2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：段12()=0.6,由题意X~8(10,0.6),由此能求出随机变量X的

数学期望七(X)和方差。(X).

【详解】

解：(D完成列联表(单位：人):

经常网购偶尔或不用网购合计

男性5050100

女性70