辽宁省辽阳市石油化纤公司第二高级中学2021年高三数学理期末试题含解析

辽宁省辽阳市石油化纤公司第二高级中学2021年高三

数学理期末试题含解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共5（）分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.对于函数且awLxeAj,下列命题正确的是（）

A.函数f（x）的图象恒过点（1,1）B.九6R,使得

C.函数f（x）在R上单调递增D.函数f（x）在R上单调递减

参考答案：

A

2.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污

损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）

A.B.C.D.

甲乙

98|8|337

210|9I*9

参考答案:

C

略

/3

3.己知函数其中e是自然对数的底数，若直线与函数）=/（可

的的图象有三个交点，则实数口的取值范围是

A.（/2）B.S，2）c.（2e"，g）D.

。比做）

参考答案:

【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9

D解析：函数图象如下，

要使直线y=2与函数y=f(x)的图象有三个交点，只要ae?》2,解得a?2eZ

故选D.

【思路点拨】由题意，二次函数开口应该向上，并且a，》？，得到a22e7,得到选项.

33H

4.若cosa=-5,且ad(n,2),则tana=()

4433

A.-3B.3C.4D.-1

参考答案:

【考点】同角三角函数间的基本关系.

【专题】转化思想；三角函数的求值.

【分析】利用同角三角函数基本关系式即可得出.

337£

【解答】解：Vcosa=-5,且ae(n,2),

sina二--cos2a=-5,

r_sina4

tana=-----——-

二cosa=3.

故选：B.

【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题.

5.(2009江西卷理)(】+媪+"了展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,

不含尸的项的系数绝对值的和为32,贝产力力的值可能为

A.a=2力=-1.然=5ga=-2占=-1.%=6

Q&=­L»=2.片=6D.4=1»=2.力=5

参考答案:

D

解析：(1+^),=243=35,(I+«),=32=2s,则可取a=Lb=2,”=5,选D

6.执行如图的程序框图，如果输入的N=4,那么输出的S=()

s-s*r

ill

A.1+2+3+4

_1]

B.1+2+3X2+4X3X2

1111

C.1+2+3+4+5

1]

D.1+2+3X2+4X3X2+5X4X3X2

参考答案：

B

考点：程序框图.

专题：图表型.

分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用

T

S+吊的值代替S得到新的S,并用k+1代替k,直到条件不能满足时输出最后算出的S值,

由此即可得到本题答案.

解答：解：根据题意，可知该按以下步骤运行

第一次：S=l,

1

第二次：S=l+2,

1

第三次：S=l+2+3X2,

1]

第四次：S=l+2+3X2+4X3X2.

此时k=5时，符合k>N=4,输出S的值.

1L1

.\S=l+2+3X2+4X3X2

故选B.

/6.\/

点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型

循环结构，以及表格法的运用，属于基础题.

7.阅读如图的程序框图，运行相应的程序则输出的K和S值分别为（）

4_5_6J_

A.9,9B.11,11C.13,13D.15,15

参考答案：

B

考点：程序框图.

专题：图表型；算法和程序框图.

分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s,K的值，当K=ll时，满足条件K

5

>10,退出循环，输出K的值为11,s的值为II.

解答：解：模拟执行程序框图，可得

s=0,K=1

1

不满足条件K>10,s=3,K=3

6

不满足条件K>10,$=正，K=5

3

不满足条件K>10,s=1,K=7

4

不满足条件K>10,s=9,K=9

5

不满足条件K>10,s=ll,K=ll

5

满足条件K>10,退出循环，输出K的值为11,s的值为五.

故选：B.

点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s,K的值是

解题的关键，属于基本知识的考查.

...+9x-4（x2。）

/（X）=）

8.函数皿W“<0）的零点个数为（）.

A.0B.1C.2D.3

参考答案:

D

9.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足了(】-X)=-/(2-X),当o<x<i时,

/(lo7)

rgl

/(x)=2,则I的值

为

()

77a*7

A.4B.4c.

7

D.2

参考答案：

A

10.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB=(2,4),菽=(1,3),则丽等于

()

A.(2,4)B.(3,5)C.(-3,-5)D.(-2,-4)

参考答案：

C

考点：平面向量的坐标运算.

专题：平面向量及应用.

分析：利用平行四边形对边平行相等，结合向量的运算法则，求解即可.

....

解答：解：AD=BC=AC-AB,

/.BD=AD-AB=AC-2AB=(-3,-5)

故选：C.

点评：本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

3

11.己知OA|=1,OB|=m,/A0B=4H，点C在NAOB内且OA,O(j=O,若

0C=2入0A+入0B（入W0）,则m=

参考答案：

2近

【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义.

【分析】作CD〃OB,CE〃OA,根据向量加法的平行四边形法则即可得到丽=2入示，

而=入瓦，从而得到I友1=1而1=2入，|0El=mX,而aoCE为等腰直角三角形，从而

得到m入3・（2入），这样即可求出叽

【解答】解：如图，过C分别作CD〃OB,CE/70A,并分别交OA,0B于D,E,则：

OD=2^OA,0E=^0B；

A|0D|=|OC|=|EC|=2X,|OE|=mX.

△OCE为等腰直角三角形；

A|OE|=V2lOC|；

即m入=2加入，入户0；

ITF2V2.

参考答案:

3

3士小

令2*1=0,解得x=0,令/-3x70,解得’2,所以函数零点的个数为3,

13.已知抛物线y=2PHp>0）的焦点为尸（2,0），则P=,

过点收3,2）向其准线作垂线，记与抛物线的交点为£,则但Fi=____.

参考答案：

5

4；2

略

14.已知数列（勺）的通项公式为&=・2+”，其前”项的和为则当与

取最大值时，.

参考答案：

5

2

.y=彳+一人一

15.（文）设户是函数'x（x〉0）的图里咕意一点，过点P分别向直线

y二x和y轴作垂线，垂足分别为力、B,则百丽的值是.

参考答案：

设P（x#4）,贝J两上空=去，I屋l=x,

.刀刀=|根||尸，|（:<«135。=去X（-乎）=-1

16.经过曲线/㈤=丁-29+1上点Q/⑴J处的切线方程为

参考答案：

x+y-1=O

17.设平面向量"•与向量n互相垂直，且w-2»=QLT）,若|"»1=5,则

I"1=.

参考答案：

5

22

由平面向量5与向量;互相垂直可得＞10.所以（mYn?125,.-.m+4n125,又

M5.-Ini5,故答案为5.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

二3n2.n

18.（13分）（2016?荷泽一模）已知数列®｝的前n项和2.

（I）求数列｛bj的通项公式；

（II）设数列｛a„）的通项an=tbn+（-1）?•阴，求数列｛③｝的前n项和T..

参考答案：

【考点】数列的求和；数列递推式.

【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列.

【分析】（I）利用递推关系即可得出；

a=b+（-1nnnnn

（II）ntn）l*2=（3n-2）?2+（-1）?2.设数歹I」｛（3n-2）?2"｝的前n

项和为A0,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用等比数列的

前n项和公式即可得出.

3n2—n3-1

【解答】解：：（I）•.•数列｛%｝的前n项和“n-2一'b尸B尸2=1；

3n2—n3(n-1产-(n-1)

当n22时，b.=B0-B-=22=3n-2,当n=l时也成立.

bn=3n-2.

(II)/=0+(-1⑶_2)?2n+(-1)n?2n.

设数列｛(3n-2)?2n｝的前n项和为A”

贝!JA.=2+4X22+7X23+・一+(3n-2)?2n,

2A„=22+4X23+-+(3n-5)?2"+(3n-2)?2""’，

n

JX2X(2-l)

/.-A„=2+3(22+23+-+2n)-(3n-2)?2n，'=2-1-4-(3n-2)?2n，'=(5-

3n)?2nH-10,

/.A„=(3n-5)?2nt,+10.

-2[L(-2)nj2

数列｛(-1)"?2n｝的前n项和=1-(-2)L5[1-(-2)"].

-2.

数列｛aj的前n项和*(3n-5)?2%103[1-(-2)

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、”错位相减

法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

19.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，

方案一：每满200元减50元；

方案二：每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装

有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,

所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)

红球个数3210

实际付款半价7折8折原价

（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；

（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

参考答案：

人里

（1）1024（2）方案二更为划算

【分析】

（1）设事件/为“顾客获得半价”，可以求出汽冷，然后求出两位顾客都没有获得半价优

惠的概率，然后利用对立事件的概率公式，求出两位顾客至少一人获得半价的概率；

（2）先计算出方案一，顾客付款金额，再求出方案二付款金额*元的可能取值，求出

最后进行比较得出结论.

【详解】（1）设事件d为“顾客获得半价"，则"⑷一彳彳彳一五，

…田：里

所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：I.J1侬.

（2）若选择方案一，则付款金额为320-50=270.

若选择方案二，记付款金额为“元，则X可取的值为网=，区功.

政二】60）吗3

£r=160xA+224x—+256x11+320XA=240

32323232

所以方案二更为划算.

【点睛】本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数

学知识解决现实生活中实际问题的能力.

20.（本小题14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，PAVAB,PALBC,ABLBC,PA=AB=8C=2,D为线段AC

的中点，E为线段PC上一点.

（I）求证：PA±BD；

（II）求证：平面平面PAC；

（III）当PA〃平面8OE时，求三棱锥E-8CD的体积.

参考答案：

证明：（I）"PALAB,PA1.BC

平面4BC,BCu平面RJC,且—

“1JL平面4C,Mu平面

（ID\AB=BC,。是&的中点，

:RDLAC,

由（I）知E/工平面.「从匚平面R4C,

二平面PAC_L平面4C,

・.•平面R4Cn平面/BC=/C,

即U平面〃C,M_LdC,

一Ml平面24C,

一:BDu平面BDE,

二平面内1平面R4C,

（III）〃平面跳班，

又力赧=平面ADEfl平面B4C,

二-反（1平面？4。，

:PAUDE

•••O是ZC中点，

「6为PC的中点，「鹿二1

是ZC的中点，

=—x—x2x2=1

g2q22

/।xlxD£=lxlxl=1

333

21.（本小题满分12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强'语文阅读理解’训

练对提高'数学应用题'得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训

练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数

学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取

整数）如下表所示：

60分61〜71〜81〜91〜

以下70分80分90分100分

甲班（人

36111812

数）

乙班（人

48131510

数）

现规.定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.

（1）试分析估计两个班级的优秀率；

（2）由以上统计数据填写下面2X2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强'语文阅读

理解'训练对提高'数学应用题’得分率”有帮助.

优秀