江苏省盐城市高级实验中学2023届高三三模数学试题（含答案与解析）

盐城市高级实验中学2023届高三年级第三次模拟考试

数学试卷

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1集合4={印唱》<3},8={小=7^},则A八（）

A.{x|0<x<3}B.

C.{x[0<x44}D.1x|0<x<2|

2.命题“任意xw[l,2],f-aWO”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>4B.a<4C.a>5D.a<5

3.江南周庄、同里、用直、西塘、号镇、南温古镇，并称为江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具

代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴，清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴依软语民俗风情，在世

界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇

中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（）

21-34

A.-B.-C.-D.一

5245

4.我国古代数学家僧一行应用“九服号影算法''在《大衍历》中建立了辱影长/与太阳天顶距。（0°<。<90。）

的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表.根据三角学知识可知，唇影长度/等于表高力与太

阳天顶距。正切值的乘积，即/=〃lan6,对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为a、

B,若第一次的“辱影长”是“表高”的3倍，且tan（a-〃）=；,则第二次“辱影长”是“表高”的（）倍.

5.在,ABC中，角A&C所对的边分别为久友c,角A的角平分线交8。于点。，若

asinA=/?sin8+（c-b）sinC,且人。=6，b=3c,则。的值为（）

A.-B.生巨C.3D.2百

23

6.将正整数〃分解为两个正整数占、J的积，即〃=仁•右，当左、鱼两数差的绝对值最小时，我们称其

为最优分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即为20的最优分解，当仁、网是"的最优分解

时，定义/（〃）=|匕一与|,则数列｛/（5"）｝的前2023项的和为（）

A.51012B.5|0|2-1C.52023D.52023-1

7.已知直线4:x+my-3机-1=0与4：“优-，一3机+1=0相交于点〃，线段是圆

c：（x+i『+（y+i）2=4的一条动弦，且|A3|=2G，则的最小值为()

A.6-472B.3-A/2C.5+右D.J5-1

1n

8.设实数r>0,若不等式e2"-2+比无NO对x>o恒成立,则的取值范围为（）

t

-1

A.—,+ooB.一，+8

2ee

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于复数4、z2,下列说法正确的是（）

A.|马司=匕|忆|B.若㈤=%|,z：=z；

C.若|Z|+Z2|=|ZI一Z2|,则马/2=0D.zi+z2=z]+z2

10.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵现有

一如图所示的“暂堵”ABC-A4G，其中若BB]=AB=2,BC=1,则（）

A.该“堑堵”的体积为2

B.该“堑堵”外接球的表面积为9兀

C.若点P在该“堑堵”上运动，贝”PAI的最大值为2友

D.该“堑堵”上，AG与平面BBC。所成角的正切值为苧

11.让・巴普蒂斯・约瑟夫・傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家.他发现任何周期函数都可以用

正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数

/八（/-«、）=-71一一4COSX+cos3无+L+c—os^（2--n---l+）Lx,当xe[o,7i]r时，n有/（x）=x、,则（）.

2713

A.函数/（x）最小正周期为兀

B.点匕,•是函数“X）图象的对称中心

12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以

椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:5+V=1.后，工分别为椭圆的

左、右焦点，直线/的方程为x+啦y-3=0,M为椭圆C的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切

于A5两点，。为坐标原点，下列说法正确的是（）

A.椭圆C的蒙日圆方程为/+：/=3

B.记点A到直线/的距离为d,则d-|A鸟|的最小值为学

C.一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值6

D./QB的面积的最小值为最大值为也

32

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量J服从正态分布N（3,/）,且P（g<5）=6P（J<l）,则P（l<』<3）=.

/、5

14.--1的展开式中x的系数为

27

22

15.双曲线C:""=13>0力>0）的左、右焦点分别为6,巴，P为右支上一点，且|P用=3附|,

___9一

的内切圆圆心为/,与百鸟切于点A,直线P/交X轴于点。，若£Q=wA6,则双曲线的离心

率为•

16.柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它

们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面

体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体.如图，在一个棱长为4dm的正八面体（正八面体

是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面

平行），则这个圆柱的体积的最大值为dm3.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数〃x）=J^asinor+acos（ax+；）+/?（a>0）的值域为[-1,3].

（1）求“X）的单调递增区间：

（2）若/®x）®>0）在0,1上恰有一个零点，求”的取值范围.

18.如图，圆台。。2上底面半径为1,下底面半径为J5，为圆台下底面的一条直径，圆。2上点C满

足AC=8C,PQ是圆台上底面的一条半径，点P,C在平面ABO1的同侧，且PQ//8C.

（1）证明：QQ〃平面PAC；

（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面PBC所成的正弦值.

4L

条件①：三棱锥。—ABC的体积为§；条件②：A01与圆台底面的夹角的正切值为0.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数

q,&[>0,63=5，。2.2=a7.5-

01,2。1,3•••

°2,102,202.3021n

。3,103,2。3,3…03浦…

•・・•••・・・•••••••••

。4,1。4,2。4,3•••04,“•••

⑴设a=,求数列也｝的通项公式；

（2）设S“=4J+%J++4,j,是否存在实数/I,使“恒成立，若存在，求出X的所有值，若

不存在，请说明理由.

20.社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科.其基本内容包

括：人口作为社会变动的原始依据的探讨；将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因

素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有J个孩子（仅考虑不超过3个孩子家庭）的概率分布列

为：

1230

m

概率mm(l-p)〃2(1-P)2

P

其中m>0,0<，<1,每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为3且相互独立，记A表示事件“一个家

庭有i个孩子0=0,1,2,3）”，B表示事件“一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭只有一个孩子且恰为男

孩，则该家庭男孩多）”

（1）若，=；，求P（B）；

（2）参数P受到各种因素的影响（如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），通过改变参数P的值

来调控未来人口结构.若希望PC=2）增大，如何调控P的值？

参考公式：P（MN）=g*,P（M）=fP（MM）P（NJ

P（N）A-l

21.已知椭圆C:7+F=l(6z>Z?>0)左、右焦点分别为"，尸2，点A在。上，当轴时,

127r

|A用=/；当|A£|=2时，ZF,AF2=—.

(1)求C的方程；

(2)已知斜率为-1的直线/与椭圆C交于M,N两点,与直线x=l交于点Q,且点M,N在直线％=1的

两侧，点P(L/)(t>0).若|MP|“NQRMQ|・|NP|,是否存在到直线/的距离〃=血的P点？若存

在，求f的值；若不存在，请说明理由.

22.函数/(x)=e'+sinx-a的图像与直线2x-y=0相切.

(1)求实数”的值；

(2)当xe[0,+oo)时，f(x)>msin2x,求正实数型的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.集合人={刈。「<3},叼小=7^},则“吟)

A.{R0<X<3}B.1x|0<x<2|

C.{x[0<x〈4}D.{x[0<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合AcB.

【详解】因为A={x|log2X<3}={x[0<x<8},

8=卜y=Jx(4-x)}=卜y=(x_2j+4)={),|0<yK2},

因此，AnB=1x|0<x<21.

故选：D.

2.命题“任意xc[l,2],f一々wo”为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a>4B.a<4C.a>5D.a<5

【答案】C

【解析】

【分析】求出命题“任意xw[l,2],丁一。wo”为真命题的充要条件，然后可选出答案.

【详解】由V一〃<()可得

当xe[l,2]时，(V)、=4,所以a24,

2

所以命题“任意xe[l,2],x-a<0”为真命题的充要条件是a>4,

所以命题“任意/一〃go”为真命题的一个充分不必要条件是C,

故选：C

3.江南的周庄、同里、用直、西塘、号镇、南潺古镇，并称为江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具

代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴，清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴依软语民俗风情，在世

界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇

中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为()

2134

A.-B.T"C.-D.一

5245

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合组合数公式求得基本事件的总数为15种，再求得至少选一个苏州古镇的不同的选

择种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】由题意，暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，共有C；=15种不同的选择方式，

则至少选一个苏州古镇，有C；C；+C；=12种不同的选择方式，

124

所以至少选一个苏州古镇的概率为P=—=~.

故选：D.

4.我国古代数学家僧一行应用“九服唇影算法''在《大衍历》中建立了唇影长/与太阳天顶距6(0°<6<90°)

的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表.根据三角学知识可知，号影长度/等于表高人与太

阳天顶距。正切值的乘积，即/=/?tan。，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为。、

B，若第一次的“辱影长”是“表高”的3倍，且tan(a-〃)=；,则第二次“辱影长”是“表高”的()倍.

A.1B.—C.—D.一

322

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得1211。=3,121!(。—夕)=3,再根据1细4=1011]。-3一£)]结合两角差的正切公

式即可得解.

【详解】由题意可得tana=3,tan(a-/?)=-,

tana-tan(a-/3}__2

所以tan,=tan[a_(a—夕)]

I+tanatan(a-/)।+2xJ_

'2

即第二次的“辱影长''是“表高'’的1倍.

故选：A.

5.在中，角ARC所对的边分别为久友c,角A的角平分线交5c于点。，若

«sinA=/?sinB+(c-/?)sinC,且4。=石，0=3c,则4的值为()

A.-B.C.3D.2百

23

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理把题设等式化简为。2+。2_/=。。，利用余弦定理，求得COSA=L,得到

2

TT7T

4=彳，由角的平分线得到NBAD=ZDAC=—,结合C£>=33O,列出方程，求得仇c的值，进而利

36

用余弦定理，即可求解.

【详解】因为asinA%sinB+(c功)sinC,由正弦定理可得/=〃+/—庆，

b2+c2-a2_be_1

即)2+/一储=)c,所以cosA二

2bc2bc2

JT

又因为Ae(O,〃)，所以A=g,

jr

由角A的角平分线交3c于点。，可得NB4O=ND4C=一,

6

所以由余弦定理可得比)=JB+C?—2xGxcx*,CO=，3+〃—2XGX/?X*，

因为。=3c，所以CD=33。，即卜+/-2xy/5xbx^~=3卜+。2-2x6xcx^~，

4

整理可得c=—力=4,

3

由余弦定理可得a=J(1)2+42-2x|x4xi=平.

故选：B.

B

D

7c

6.将正整数〃分解为两个正整数人、网的积，即〃=人/2,当仁、&2两数差的绝对值最小时，我们称其

为最优分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即为20的最优分解，当仁、&2是〃的最优分解

时，定义/（〃）=%—&|,则数列｛/（5"）｝的前2023项的和为（）

A.51012B.5KH2—1C.52°23D,52023-1

【答案】B

【解析】

【分析】根据最优分解定义得到“为奇数和〃为偶数时，｛/（5"）｝的通项公式，进而求出数列｛/（5"）｝前

2023项和.

【详解】当〃=2电eN*）时，由于52J5'X5*，此时/，尸,与卜。，

当”=2%-1k€底）时，由于521=51x5k，此时f（521）=4—5&T|=5*—5&T,

所以数列｛/⑺｝的前2023项的和为

（5-1）+0+（52-5）+0+（53-52）+0++（5IOII-5,O,O）+O+（5,O,2-5'O1I）=51O12-1.

故选：B

7.已知直线4：%+,政一3m一1=0与4：〃a一y-3m+1=0相交于点M,线段AB是圆

C：（x+iy+（y+l）2=4的一条动弦，且|4却=26,则的最小值为（）

A.6-40B.3-忘C.5+6D.V5-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线所过定点和4可知用足"尸=0，由此可得点M轨迹是以G（2,2）为圆心，血为半

径的圆（不含点（3,3））,由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法可求得|。。,|同0|向,，结合向量数

量积的运算律可求得MA-MB的最小值.

【详解】由圆的方程知：圆心。（一1,一1）,半径r=2；

由4:x+my-31=0得：-3）=0,.M恒过定点E（l,3）；

由清：如一。-3m+1=0得:/n（x-3）+（l-y）=0,,恒过定点尸（3,1）；

由直线4,乙方程可知：m：.ME工MF，即尸=0，

设例（x,y）,则M£=（l-x,3-y）,MF=（3-x,l-y）,

—x）（3—x）+（3—y）（l-y）=0,整理可得：（x—Zj+（y—=2,

即点M的轨迹是以G（2,2）为圆心，V2为半径的圆，

又直线4斜率存在，点轨迹不包含（3,3）,（1,3）,（3,1）；

若点。为弦A6的中点，则MA+MB=2MQ，位置关系如图：

连接CD,

由|知：\CD\=,22-(可=1,

叫皿.=|MC|min-|CD|=|CG|-0-1=J(2+iy+(2+l)2-忘-1=20-1,

:.MAMB=^MD+DA)-^MD+DB^=MD2+^DA+DByMD+DADB

=M£>2-3>(2>/2-1)2-3=6-472(当M在(1,1)处取等号)，

即M4.M5的最小值为6-40.

故选：A.

8.设实数1>(),若不等式e2a」n2+Inx20对X>0恒成立,则.的取值范围为(

t

1

B.一，+8

e

1-

D.0,

2e

【答案】B

【解析】

【分析】对x>0恒成立,即以比?"22xln2x=瓜2达镇2、，令F(x)=xe"

t

(x>0),对/(力求导得出尸。)在(0,+oo)单调递增，故2/X./“2x,故此玲，问题转化为

V4人/max

【详解】e2'“一见空吧NO对》>0恒成立，即21n2x,即2及e2"N2xln2x=ln2x-em2x,令

t

F(x)=xex,(x>0),则尸'(1)=(*+l)e">0,故心(%)在(。,+°。)单调递增,故2观,.历2%,故

―,问题转化为—，令H(m)=----,则H(〃z)=---弓—,令"(加)>0,解得:

2xI2x)maxmm-

0<m<e,令H'(m)<0,解得:m>e,故”(加)在(0,e)递增，在(e,+8)递减，故〃(加)皿=令

(e)=—,故，2，.

ee

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于复数4、z2,下列说法正确的是()

A.|马司=匕|忆|B.若㈤=%|,z：=z；

C.若|Z|+Z2|=|ZI一Z2|,则马/2=0D.zi+z2=z]+z2

【答案】AD

【解析】

【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的运算法则结合共物

复数的定义可判断D选项.

【详解】设Z[=%+垢，z2=4+为(4,4,伪也wR).

对于A选项，z1-z2=(4+Z?li)-(a2+4i)=(q%-a劣)+(4伪+/伪)1，

所以，[Z1•z2|=—4劣)一+(qZx,+J=1a；a；+b;b；+a[优'+a；b「

=4。；+阳(。；+眩)=R|也2|，A对；

对于B选项，取Z]=l+i,z2=l-i,则㈤=区|=夜，

但z；=(l+i『=2i,z；=(l—i)2=—2i,则z"z；,B错:

对于选项，取则

Cz=l+i,z,=l-i,Z]+Z2=2,Z]-z2=2i,

此时，2]+Z2|=|Z]-Z2|=2,但Z/Z2=270,C错；

对于选项，

DZ[+z2=(q+e)+(4+4)i=(4+4)-(4+%)i=(q-4i)+(4-E)

对.

=zt+z2,D

故选：AD.

10.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵现有

一如图所示的“暂堵”ABC-44G，其中若BB[=AB=2,BC=1,则()

A.该“堑堵”的体积为2

B.该“堑堵”外接球的表面积为9兀

C.若点P在该“堑堵”上运动，贝『PAI的最大值为2c

D.该“堑堵”上，AG与平面BBC。所成角的正切值为当

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据棱柱的体积公式计算即可判断A；先求出外接球的半径，再根据球的表面积公示即可判断B；

当点P与G重合时，|PA|最大，求出|ACj即可判断C；证明平面BBCC，可得乙4GB即为AG

与平面BBC。所成角的平面角，解RtA8G即可判断D.

【详解】对于A,由题意匕BC-ABC=S.品-84=gxlx2x2=2,故A正确；

对于B,设该“堑堵”外接球的半径为R,

因为8用两两垂直，

,3

所以(2R)-=22+22+『=9,所以R=],

所以该“堑堵”外接球的表面积为4兀/?2=9n，故B正确；

对于C,当点P与C1重合时，|41皿=[4?||=3,故C错误；

对于D,连接BG，AG，

因为AB1BC,AB1BB[,BCcBBt=B,u平面BB©C,

所以平面

所以ZACtB即为AC,与平面BB£C所成角的平面角,

RtABG中，AB=2,BCi=>/5,

所以tanNAG3=义=述

垂>5

即AG与平面B用GC所成角的正切值为卓，故D正确.

故选：ABD.

H.让•巴普蒂斯•约瑟夫・傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家.他发现任何周期函数都可以用

正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数

cos3xTcos(2n-l)x

COSXH-----z—FLH-----------------/——FL,当xe[0,7i]时，有/(x)=x,则().

32(2«-1)2

A.函数/（X）的最小正周期为兀

（JT兀）

B.点匕,万是函数“X）图象的对称中心

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据函数/（X）的表达式结合余弦函数的最小正周期可判断A；由已知推出了（兀-x）+/（x）=7l

可判B；根据函数的周期性以及xe[0,对时，有=x可判断C；令x=0代入函数表达式求值，判断

D.

.、乂\兀4cos3xTCOS(2H-1)X

【详解】由于/(X)=7--COSXH-----3---l-LH-------------hL,

2兀［3-(2〃—1)-

且y=cosx的最小正周期为2兀，则2兀也是cos3x,cos5x,,cos(2〃-l)x的周期,

故/(%)的最小正周期为2兀，A错误：

cx714/、cos3(TI-X)COS(2/I-1)(K-X)

f(71-X)=-----COS(7T—x)d------------bFL+----------------HL

27c3(2〃-11

兀4cos3xcos(2n-l)x

=—I—COSX+——z—l-¥LH---------/——l-TL

27132(2〃-1)

故/(兀一x)+/(x)=兀，即点是函数/(x)图象的对称中心，B正确;

由题意知f(x)是偶函数，且当xe［0,可时，有/(x)=x,

cos3xTCOS(2H-1)XT

由于〃x)=gCOSXH----—l-LH---------/——l-L

27132(2〃—Ip

“.”小兀4八cosOcosO八

令x=0,则/(0)=彳一一cosO+-^-+LT+------^-+TL=0,

2兀3(2〃—1)

兀411r1_

即-----1+r+L+--------+LT=0,

2兀［32(2〃—I)：7

,11,1I兀2

所以1+千'+m+L+—~岸+L,D正确，

故选：BCD

12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以

2

椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:5+V=1.耳，鸟分别为椭圆的

左、右焦点，直线/的方程为x+/y-3=0,“为椭圆C的蒙日圆上一动点，M4,MB分别与椭圆相切

于A,B两点，。为坐标原点，下列说法正确的是()

A.椭圆。的蒙日圆方程为V+y2=3

B.记点A到直线/的距离为d，则1一|46|的最小值为半

C.一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6

D.4QB的面积的最小值为3,最大值为正

32

【答案】ACD

【解析】

【分析】当斜率不存在时可得M点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用△=（）

和垂直关系可构造等式求得M点轨迹；结合两种情况可知A正确;利用椭圆定义将4-|明|转化为

d+\AF]-242,由平面几何知识可知d+|A用最小值为点写到直线/的距离，结合点到直线距离公式可

求得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭

圆的切点弦直线方程为芳+为y=l,当，。=0时，可求得SAM的值；当为彳0时，将直线与椭圆方程

联立可得韦达定理的结论,结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到SAOB

结合二次函数最值的求法可求得结果，知D正确.

【详解】

对于A,当直线M4,即3—条斜率为0,另一条斜率不存在时•，则“卜0,士1卜

当直线M4,M8斜率均存在时，设"（公，儿），切线方程为：y=A（x—%）+为，

旷=心―%）+%

22

由*X9得:（1+2k2_4左（5-y0）x+2（Ax0—y0）-2-0,

—+V=1

I2

由A=0整理可得：（年—2快一-2工0为左+y；-1=0,《“左”J,=皆~~

%—2

丫2一1

又MA工MB,：.kMA-kMB=-l,即日~；=一1,.♦.片+y：=3,

/一2

M点轨迹为/+y2=3；

将检验，M（士近，土。满足V+y2=3,

・•・蒙日圆的方程为V+y2=3,A正确；

对于B,A为椭圆。上的点，.•[A6|+|A6|=2a=2&,

:.d-\AF^=d-（2y[2-\AF^=d+\AF\-2yf2.

d+\AF]的最小值为点月到直线/的距离，又耳（一1,0）,

,・,（"+A耳鼠=；/^=华，：•（"-“2fL=竽-2夜，B错误;

对于C,.矩形四条边均与。相切，，该矩形为蒙日圆的内接矩形，

设矩形的长为“，宽为〃，蒙日圆的半径r=JJ,.•.m2+〃2=（2百『，

22

m

...mn<=6（当且仅当加=〃=卡时取等号），

,此矩形面积最大值为6,C正确；

X

对于D,设A（%，X）位于椭圆上半部分，即y=Jl一'，一，一一;

k='=一工

・・・在A处的切线斜率J片2乂，.••切线方程为：丁一%=一x-xj,

2.1—

V2

即西方+2以旷=6+2）：=2,，在八处切线方程为芳+yy=l；

同理可得：当A（%,%）位于椭圆下半部分，即y=「1—上时•，切线方程为：W+yy=l；

22

，在点A处的切线方程为当+yy=l,同理可知：在点8处的切线方程为芳+y2y=1；

设"（4,九）,则<,可知AB坐标满足方程」」+%y=l,

彳2尤0L,12

-y+y2yo=

即切点弦AB所在直线方程为：竽+为y=l；

当为=0时，M（±V3,0）,此时A3所在直线方程为:x=上空,

3

1262百2

—x----x----

3

>0y=i

2

当先N0时，由;得:（2y；+Xg）x—4x0x+4—4芥=0,

X21

—+V=1

2"

由A知：x；+y；=3,（6—片）犬之—4XQX+4片—8=0,

4无；一8

设4（%,%）,3（孙％），则％+*2M二K

K|16（玉”3）（片一4）

.-.|AB|=

.2（6-尺）2

又原点O到直线AB的距离

河7气¥学牌=2高

1

令6-片=t,片e[0,3）,；.6—%2«3,6],贝ijfe

,1

•」y=-2/+f为开口方向向下，对称轴为t=w的抛物线，

⑷48⑻69

综上所述：qAOB的面积的最小值为］,最大值为也，D正确.

32

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下:

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；

②利用△>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；

④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范

围）.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量J服从正态分布N（3Q2）,且尸《<5）=6。（4<1）,则尸（1<g<3）=.

【答案】三

14

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性求解.

【详解】。N⑶S）,则P（4<1）=PC>5）,

所以由P（J<5）=6尸《<1）得1一P（J>5）=6PC>5）,PC>5）=L

尸（1<。<5）=1—2尸©〉5）=：,尸（1<。<3）=；「（1<。<5）=福.

故答案为：—.

14

14.的展开式中x的系数为.

【答案】g

2

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为1，求出参数的值，代入通项即可得解.

（丫、5-女/1、5必

5A

［详解］的展开式通项为2.（-1/=C*-x----（-1/（）1=0,1,2,,5）,

令5—%=1,可得％=4,所以，展开式中*的系数为l）4=g.

故答案为：—■.

2

15.双曲线CJ—力>0）的左、右焦点分别为耳，心，尸为右支上一点，且归耳|=3］刊讣

9

△尸耳鸟的内切圆圆心为/,与片瑞切于点人直线出交x轴于点Q,若=则双曲线的离心

率为.

【答案】3

【解析】

I9•

【分析】记C为双曲线半焦距，先求出XQ=,C,再利用双曲线的性质求出A的坐标，再结合6。=%4工

求解.

\F.Q\IPFI

【详解】记C为双曲线半焦距，由角平分线定理，得岗=肘=3,

设。&，%)，则|「片|一IPgl=2a,.」PC|+|C6|—|PB|—|BEI=2a,.1C6|—|BB|=2a，

IM|-1AF21=2a,AFi\-(2c-\AFl|)=2a,:]AFt\=a+c,:]FxO\+\OA\=a+c,

：.IOA\=a,:.A(a,O).

-9•c9

*.*F]Q=—AF2,.•・5+c=1(c—a),

解得e=£=3.

a

故答案：3.

16.柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它

们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面

体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体.如图，在一个棱长为4dm的正八面体(正八面体

是每个面都是正三角形的八面体)内有一个内切圆柱(圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面

平行)，则这个圆柱的体积的最大值为dm3.

【答案］日叵

27

【解析】

［分析］根据题意得到8=2,A£>=2百，然后利用勾股定理得到AC=20，在.ABC中根据相似列

2^2--

方程2=r，整理得/?=20（2-r）,然后根据圆柱的体积公式求体积，最后求导，根据单调性

解：如图，设该圆柱的底面半径为r=BE，高/i=2BC,

由题可知，CD=2,AD=2』，则AC=2j，.

„ABBE9

又---=---:.2J，/z=2V2（2-r）,

ACCD2V2-2

圆柱的体积V=〃/九=2亚»（2/一/）,口=20万（4八一3/）=2血万尸（4-3尸），

可知，当厂的制时，八0；当re（g,2,，9<0,所以当re（（）q）时，V=2岳（2/一一）

单调递增,当rw（*2）时,注=2岳（2产一产）单调递减,

464&乃

.•.当r=一时,

3max27

64/万

故答案为:

27

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/（无）=J5asinox+acos|"+；）+0（a>0）的值域为［-1,3］.

（1）求“X）的单调递增区间;

（2）若/（5）（0>0）在0,£上恰有一个零点，求。的取值范围.

3兀兀

【答案】（1）E—^~，"兀+三（ZwZ）

88

1119

(2)

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数/（力的解析式，利用函数/（X）的值域可得出关于a、6的方程

组，解出这两个量的值，可得出函数“X）的解析式，，利用正弦型函数的单调性可求得函数/（X）的递增区

间;

（2）由⑴可得出的表达式，由0.哈则528+%詈+%根据已知条件

可得出关于。的不等式，解之即可.

【小问1详解】