五章节四章节时

第五章三角函数第四课时两角和与差、二倍角的三角函数公式考纲要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.知识梳理一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________(简记为：S(α±β))cos(α±β)＝________(简记为：C(α±β))tan(α±β)＝________(简记为：T(α±β))二、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝________(简记为：S2α)cos2α＝________＝________＝________(简记为：C2α)tan2α＝________(简记为：T2α)三、二倍角余弦公式的变式四、辅助角公式asin

x＋bcos

x＝sin(其中

角所在的象限由a,b的符号确定，

角的值由tan

＝确定)．答案：基础自测1．(2010年广州一模)已知sinα＝，则cos2α的值为(

)2．(2010年全国卷Ⅱ)已知sinα＝，则cos(π－2α)＝(

)C3．(2010年全国卷Ⅰ)已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝______________.4．(2011年珠海斗门区检测)cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．2．解析：答案：B3．解析：因为α为第二象限的角，且sinα＝，所以cos

α＝－，tanα＝＝－，所tan2α＝＝－.答案：4．－已知sinα＝，α∈，(1)求sin，cos

，tan的值；(2)求sin2α，cos2α，tan2α的值．思路分析：由题设，需先求出cos

α的值，再运用和、差角、二倍角公式．解析：变式探究1．(2010年梅州中学月考)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(

)2．(2010年桂林模拟)下列各式中，值为的是(

)A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°1．解析：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin215°＋cos215°＝1.答案：D2．解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝.答案：B已知0<β<<α<π，且cos

＝－，Sin＝，求cos(α＋β)的值．思路分析：(1)和、差、倍角公式及平方关系的正用、逆用．

(2)角的变换．解析：点评：在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是配角与拆角，如2α＝＋，2β＝－，2α＋β＝2－β，2α－β＝2＋β，α＝－β，α＝＋β，β＝－α，β＝－＋α等．变角主要是将所求角转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；注意角的范围对函数值的影响．变式探究3．(2010年海口模拟)若cos

＝，cos(α＋β)＝－，<α＋β<2π，<α－β<π，则sin2β＝________.4．(2010年银川模拟)已知α为第二象限的角，sinα＝，β为第一象限的角，cos

β＝.则tan(2α－β)的值________．5．(2010年广州二模)已知sinα＝，α∈，tanβ＝.(1)求tanα的值；(2)求tan(α＋2β)的值．3．解析：答案：04．解析：α为第二象限的角，β为第一象限的角，所以答案：5．解析：计算：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°.思路分析：注意将公式变形来用．如将公式变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tan

β)来用．解析：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40°＝.点评：不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉．6．(2010年广大附中月考)已知α，β∈(0，π)，tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值是________．7．(1＋tan25°)(1＋tan20°)的值是(

)A．－2B．2C．1D．－1解析：(1＋tan25°)(1＋tan20°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan25°tan20°＝1＋tan(25°＋20°)(1－tan25°tan20°)＋tan25°tan20°＝1＋1－tan25°tan20°＋tan25°tan20°＝2.答案：B变式探究

(2010年三明模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcos

x(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的单调递增区间．思路分析：本题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力．解析：点评：在(1)的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强．值得强调的是：辅助角公式asin

α＋bcos

α＝在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．变式探究8．(2010年杭州检测)已知函数f(x)＝sinx＋sin，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值和最小值及相应的x的集合；(3)若f(α)＝，求sin的值．解析：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的关系2．两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数是高考的重点内容之一，同时也是三角部分中后继学习的基础，是多数考生得分的主要得分点之一．在复习两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式时应注意以下几点：(1)不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；(2)善于拆角、配角，如α＝－β，2α＝＋，2α＋β＝＋α等；(3)注意倍角的相对性；(4)要时时注意角的范围；(5)熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等．3．三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．基本的技巧有：(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，(2)三角函数名互化(切弦互化)．(3)公式变形使用(如将

变形为tanα±tanβ＝

来使用)．(4)三角函数次数的降升4．辅助角公式：asin

x＋bcos

x＝sin(其中

角所在的象限由a，b的符号确定，角的值由tan

＝确定)在求最值、化简时起着重要作用．1．(2010年福建卷)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的值等于(

)解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝，故选A.答案：A解析：∵α为第三象限的角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，∴4kπ＋2π＜2