五奈魁斯特稳定判据new

Monday,January22,20241第五节奈魁斯特稳定判据Monday,January22,20242

主要内容幅角定理奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性逆奈奎斯特稳定判据

奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。Monday,January22,20243一、幅角定理：

设负反馈系统的开环传递函数为：，其中： 为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：令：则开环传递函数为：……………(a)闭环传递函数为：……………(b)Monday,January22,20244

显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、极点。由(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：……………..(c)Monday,January22,20245

F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点都可以在F(s)平面上找到一个相应的点，称为在F(s)平面上的映射。

同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线（为的映射）。[例]辅助方程为：，则s平面上点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点为（0，-j1）,见下图：Monday,January22,20246同样我们还可以发现以下事实：s平面上曲线映射到F(s)平面的曲线为，如下图：

曲线是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线包围原点，且逆时针运动。再进一步试探，发现：若顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则不包围原点顺时针运动；若顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则包围原点且顺时针运动。

这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。示意图Monday,January22,20247柯西幅角定理

s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应的封闭曲线将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为： N=z-p若N为正，表示顺时针运动，包围原点；若N为0，表示顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示逆时针运动，包围原点。Monday,January22,20248二、奈魁斯特稳定判据：

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想：

如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：

N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数

=闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数Monday,January22,20249完成这个设想需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N。并将它和开环频率特性相联系？第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示，分为三部分：ⅠⅡⅢ①正虚轴：②右半平面上半径为无穷大的半圆：③负虚轴：Monday,January22,202410F(s)平面上的映射是这样得到的：②以s=R·ejq

代入F(s)，令R→∞，q:，得第二部分的映射；

得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算N=Z－P，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。

若已知P，并能确定N，可求出Z=N+P

。当Z=0时，系统稳定；否则不稳定。①以s=jw代入F(s)，令w从0→∞变化，得第一部分的映射；③以s=jw代入F(s)，令w从－∞→0

，得第三部分的映射。Monday,January22,202411②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当时，，即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅助方程为，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：Monday,January22,202412F(s)与的关系图。ⅠⅡⅢMonday,January22,202413

根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数在右半s平面上的极点数为，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当从变化到时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点圈。对于开环系统稳定的情况，，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：。Monday,January22,202414[例5-6]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。作为对比可求出闭环传递函数为：由劳斯—赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。Monday,January22,202415[例5-7]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环极点为-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j2)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：，所以闭环系统是不稳定的。Monday,January22,202416[例5-7’]设开环系统传递函数为：，试用奈氏稳定性判据确定闭环系统稳定时k的取值范围。[解]：与实轴的交点Monday,January22,202417当K=52时，开环极点为－1，－1±j2，都在s左半平面，所以P=0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(－1，j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：Z=N+P=2

，闭环系统是不稳定的。若要系统稳定，则即K<16时，奈氏图不围绕(－1，j0)点。Monday,January22,202418NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4-0.6-0.4-0.200.20.40.6NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis-1-0.500.511.522.53-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5当K<0

时，原极坐标图顺时针转过180°，此时与负实轴的交点为K/5，若要满足K/5>－1，则要求K>－5。于是系统稳定的条件为－5<K<16。Monday,January22,202419上述结论同样可由劳思—赫尔维茨判据得到。劳斯阵：要使系统稳定，则第一列都大于0于是得：－5<K<16。Monday,January22,202420[例5-8]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。-[解]：系统的频率特性如下：Monday,January22,202421[解]：开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在的圆。显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。由图中看出：当k>1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=-1，而，则闭环系统是稳定的。当K=1时，奈氏曲线通过(－1，j0)点，属临界稳定状态。当K<1时，奈氏曲线不包围(－1，j0)点，N=0，P=1，所以Z=N+P=1，闭环系统不稳定。Monday,January22,202422

上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。作业：5-6,5-7,5-8Monday,January22,202423三、奈魁斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：具有开环0值极点系统，其开环传递函数为：

可见，在原点有重0极点。也就是在s=0点，不解析，若取奈氏路径同上时（即通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：Monday,January22,202424④半径为无穷小的右半圆，下面讨论对于这种奈魁斯特路径的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常规的奈氏图，关于实轴对称；2、第Ⅱ部分：，。假设的分母阶数比分子阶数高；ⅠⅡⅢⅣ①正虚轴：②右半平面上半径为无穷大的半圆：③负虚轴：Monday,January22,202425(b)对于Ⅱ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的右半圆（顺时针）。3、第Ⅳ部分：（右半无穷小半圆）

(a)对于Ⅰ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：Monday,January22,202426[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。但零值极点不包括在右半开环极点的数目中。[例5-9]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，闭环系统是稳定的。Monday,January22,202427[例5-10]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。Monday,January22,202428[例]已知非最小相位系统开环传递函数为确定闭环系统稳定的K值范围。不稳定时求出闭环右极点数。[解]：Monday,January22,202429当K>0时，由题知P=1，图知N=1，Z=N+P=2，闭环系统不稳定。当K<0时，由题知P=1，图知N=0，Z=N+P=1，闭环系统不稳定。Monday,January22,202430[例]已知非最小相位系统开环传递函数为确定闭环系统稳定的K值范围。不稳定时求出闭环右极点数。[解]：Monday,January22,202431当K<0时，由题知P=1，图知N=1，Z=N+P=2，闭环系统不稳定。当K>0时，由题知P=1，图知N=0，Z=N+P=1，闭环系统不稳定。Monday,January22,202432奈奎斯特稳定判据的应用步骤⒈确定开环右极点数P；⒉画出开环系统奈奎斯特图（包括正负频率及s平面中特定路径在Gk(s)平面的映射）；⒊确定N；⒋计算Z=N+P，当Z=0时闭环系统稳定，当Z>0时闭环系统不稳定，当Z<0时计算有误。Monday,January22,202433[例]已知非最小相位系统开环传递函数为确定闭环系统稳定的K值范围。不稳定时求出闭环右极点数。[解]：Monday,January22,202434

当K<6时，奈氏曲线不包围(－1，j0)点，N=0，Z=N+P=2，系统不稳定。(－1，j0)(－1，j0)(－1，j0)

开环系统有2个右极点，P=2。

当6<K<8时，奈氏曲线逆时针包围(－1，j0)点2圈，N=－2，Z=N+P=0,系统稳定。

当K>8时，奈氏曲线逆时针包围(－1，j0)点1圈，N=－1，Z=N+P=1,系统不稳定。

只有当开环增益保持在一定范围内才稳定的系统称为条件稳定系统。Monday,January22,202435通常，只画出的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，0型系统包围(-1,j0)点，Ⅰ型系统和Ⅱ型系统对应的奈魁斯特路径分别为：Monday,January22,202436

频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的段的正穿越（这时随着的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。正穿越负穿越这时奈奎斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数Gk(s)在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当w从－∞→+∞时，频率特性曲线在实轴(－∞，－1)段的正、负穿越次数差为P。若只画正频率特性曲线，则正负穿越次数差为P/2。（正穿越次数多于负穿越次数）Monday,January22,202437四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：

开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。2、奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。

奈氏图频率特性曲线在上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上的范围内，当增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。Monday,January22,202438对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正

增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下：

设开环频率特性在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：，式中为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。Monday,January22,202439五、最小相位系统的奈氏判据：开环频率特性在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点。因为若N=0，且P=0，所以Z=0。奈氏图幅值和相角关系为：当时，当时，式中，分别称为相角、幅值穿越频率上述关系在对数坐标图上的对应关系:当时，当时，作业：5-9(a)(b),5-11(2)Monday,January22,202440非单位反馈系统有零极点对消时的奈氏判据这时，只有当由开环传递函数构成的单位反馈系统稳定且1/H(s)也稳定时，原非单位反馈闭环系统才稳定。

当开环传递函数中的前项通道传递函数与反馈传递函数有零极点对消时，可将结构图变换如下：阅读教材p186Monday,January22,202441[虚轴上有极点时的奈奎斯特判据]：若开环系统在虚轴上有极点，这时应将奈氏路径做相应的改变。【奈奎斯特路径的选取】以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆，使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保满足柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右半平面。映射情况见下例。Monday,January22,202442已知开环传递函数，用奈氏判据判稳。解：取奈氏路径如图Monday,January22,202443P=0，奈氏曲线顺时针包围(－1，j0)点2圈，N=2，Z=N+P=2，闭环系统不稳定。Monday,January22,202444六、应用于逆极坐标图上的奈氏稳定判据：令：则开环传递函数为：闭环传递函数为：将闭环特征式与开环零点多项式之比构成一个复变函数，得：Monday,January22,202445当奈奎斯特路径同前，可利用开环右零点数，1/Gk(s)的极坐标图对(－1，j0)点包围的次数，根据柯西辐角原理，确定闭环右极点的个数，从而判断闭环系统的稳定性。所画1/Gk(s)的极坐标图称为逆极坐标图。此时稳定判据称为逆奈奎斯特稳定判据[逆奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个零点，且开环逆极坐标图及其镜像(w从－∞→+∞)对(－1，j0)点包围的次数为N，(N>0顺时针，N<0逆时针)，则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=N+P。若Z=0

，则闭环系统稳定，否则不稳定。逆奈奎斯特稳定判据主要应用于虚轴上有开环极点的情况。Monday,January22,202446已知开环传递函数，用逆奈氏判据判稳。解：取ⅠⅡⅢMonday,January22,2024470125100-0.0089-0.0100.085.759800.0110.010-0.04-1.15-9.8

根据上面的分析可以画出奈氏路径第1、3部分的映射。

其次求与奈奎斯特路径中无穷大右半圆（路径第2部分）对应的奈奎斯特图，将代入，其中， 由顺时针变化到，得可见，当由顺时针变化到时，由变化到。Monday,January22,202448P=0，逆奈氏曲线顺时针包围(－1，j0)点2圈，N=2，Z=N+P=2，闭环系统不稳定。注意对应奈奎斯特路径中无穷大半圆弧的逆奈氏曲线也是无穷大圆弧。Monday,