高考数学文北师大版大一轮复习课件教师版十一章概率份打包

§11.3

几何概型基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.几何概型知识梳理2.几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是

之比或

之比.向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1

G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝

，则称这种模型为几何概型.体积长度3.借助

可以估计随机事件发生的概率.模拟方法判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(

)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.(

)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(

)思考辨析√√√(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(

)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(

)√××

考点自测1.(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为答案解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，

2.(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤≤1”发生的概率为答案解析∴由几何概型的概率计算公式得所求概率

3.(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是答案解析∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B).

4.(2017·济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是答案解析屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________.答案解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，题型分类深度剖析

题型一与长度、角度有关的几何概型例1

(1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为答案解析答案解析解答因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.引申探究

解答2.本例(3)中，若将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率.

解答求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).思维升华

跟踪训练1

(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是答案解析如图所示，画出时间轴.答案解析

命题点1与平面图形面积有关的问题例2

(2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为答案解析题型二与面积有关的几何概型由题意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，命题点2与线性规划知识交汇命题的问题答案解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，

跟踪训练2

(1)(2016·昌平模拟)设不等式组

表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是答案解析作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域.当点在△AEF区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.△PBC内的概率是________.答案解析连接DE，EF，FD.即P是△DEF的重心，此时，△PDE，△PEF，△PDF的面积相等，则△PDE的面积是△PBC的面积的20倍，△PEF的面积是△PAC的面积的15倍，△PDF的面积是△PAB的面积的12倍，

题型三与体积有关的几何概型例4

(1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为答案解析

当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，答案解析求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求.思维升华跟踪训练3

(2016·哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于

的概率是________.答案解析

几何概型中的“测度”现场纠错系列12(1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能.(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.典例

(1)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________.错解展示现场纠错纠错心得解析

(1)因为∠C＝90°，∠CAM＝30°，答案

返回解析

(1)因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“测度”是长度.设直角边长为a，(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1，且0≤y≤1.答案

返回课时作业1.(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为A.16.32 B.15.32

C.8.68 D.7.68答案解析12345678910111213故S＝16.32.√123456789101112132.(2016·南平模拟)设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为答案解析√方程有实数根，则Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)，答案解析√123456789101112134.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为答案解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形，12345678910111213√5.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是答案解析12345678910111213√12345678910111213设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.所以整体图形中空白部分面积S2＝2.所以阴影部分面积为S3＝π－2.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好答案解析12345678910111213落入孔中的概率是________.7.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率12345678910111213为________.答案解析如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，答案解析12345678910111213答案解析半圆区域如图所示.设A表示事件1234567891011121310.(2016·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________.12345678910111213答案解析11.已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；

解答将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，12345678910111213(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率.

解答12345678910111213若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，满足a·b