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文档简介
专题04:函数、导数及其应用-备战2021高考之2020新高考真题分项汇编
一、单选题
X,**若函数g(x)=/(x)-陷-2*(AeR)恰有4
1.(2020•天津高考真题)已知函数/(X)=<
个零点,则后的取值范围是()
11
A.—00,-----(20,+8)B.-00,-----(026)
22
C.(-oo,0)(0,20)D.(—00,0)(2^2,+00)
答案:D
解答:注意到g(o)=o,所以要使g(x)恰有4个零点,只需方程I丘-21=答恰有3个实根
|x|
即可,
令h(x)=,即y=1日—2I与/?(%)=瞥的图象有3个不同交点.
\x\|x|
因为心)常武x>Q
x<0
当k=0时,此时==2,如图1,y=2与加»=乎?有1个不同交点,不满足题意;
\x\
当上<0时,如图2,此时y=|幺2|与"尤)=智恒有3个不同交点,满足题意;
\x\
当左〉0时,如图3,当丁=近-2与y=X2相切时,联立方程得V—丘+2=0,
令A=0得左2—8=0,解得攵=20(负值舍去),所以4>20.
综上,%的取值范围为(—8,0)(272,+00).
故选:D.
V
V
2.(2020•海南高考真题)基本再生数生与世代间隔「是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感
染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数
模型:/(/)=e"描述累计感染病例数/(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与Ro,「近似满足Ro=1+”.
有学者基于已有数据估计出/?。=3.28,7=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要
的时间约为(ln2=0.69)()
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
答案:B
328—1
解答:因为&=3.28,7=6,+所以一=于0=0.38,所以/⑺=e"=*3即,
设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为6天,
则*38(,+4)=2eo.38,,所以0。3跖=2,所以0.3跖=In2,
In20.69
所以4a1.8天.
038~038
故选:B.
u/,
3.(2020•全国高考真题(理))#2+log2a=4+21og4Z?,则()
A.a>2bB.a<2hC.a>b2D.a<b2
答案:B
解答:设/(x)=2'+log2x,则/(x)为增函数,因为2"+log2a=4"+210g4匕=22"+log2b
2/,2626
所以/3)-fQb)=2"+log2a-(2+log22h)=2+log2b-(2+log22b)=log2g=—1<0,
所以/(a)</(2。),所以a<2>
222622/?
/(«)-f(b)=2“+log?a-(26+log,b)=2+log2b一(2扇+log2^)=2-2户-log2b,
当。=1时,/(。)一/(/)=2>0,此时/3)>/(/),有
当匕=2时,f(a)-f(b2)=-l<0,此时/(a)</(/),有°<从,所以c、D错误.
故选:B.
4.(2020•全国高考真题(理))函数/。)=/一2/的图像在点(1,/(I))处的切线方程为()
A.y=-2x-lB.y=-2x+l
C.y=2x-3D.y=2x+l
答案:B
解答:/"(同=/_2/,.・./'(力=4%3-6/,,〃1)=_1,r(l)=一2,
因此,所求切线的方程为y+l=-2(x—1),即y=-2x+L
故选:B.
5.(2020•全国高考真题(理))在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份
订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.己知该
超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成
50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()
A.10名B.18名C.24名D.32名
答案:B
解答:由题意,第二天新增订单数为500+1600-1200=900,设需要志愿者x名,
50x
-->0.95,x217.1,故需要志愿者18名.
900
故选:B
6.(2020•全国高考真题(理))若直线/与曲线片五和x2+y2=g都相切,贝lj/的方程为()
1111
A.y=2x+lB.y=2x+—C.y=—x+1D.y=—x+—
答案:D
解答:设直线/在曲线y=、G上的切点为(x(),H),则%>0,
L,1/1
函数y=J7的导数为丁=云1,则直线/的斜率女=2第
设直线/的方程为y—JW=77=(x—%)),即%-2后卜+%0=0,
,,151
由于直线/与圆f+y2=一相切,则1,=F,
-5V1+4xo,5
两边平方并整理得5片一4/一1=0,解得x0=l,x0=--(舍),
则直线/的方程为x-2y+l=0,即丁=,/」.
22
故选:D.
二、解答题
7.(2020•海南高考真题)已知函数/(x)=aei-lnx+lnQ.
(1)当。=6时・,求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若/(x)>1,求o的取值范围.
2
答案:(1)——(2)[1,+co)
e-1
解答:(1)Qf(x)=ex-\nx+l,/.fr(x)=ex--,k=fr(l)=e-l.
x
Q/⑴=e+l,・,•切点坐标为(1,1+e),
・・・函数f(x)在点(1/⑴处的切线方程为'-0-1=(6-1)。-1),即丁二(6—1)1+2,
•••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(三,0),
e-1
1-92
・・・所求三角形面积为-x2x|--|=--;
2e-1e-1
(2)解法-:Q/(x)=agi-Inx+lna,
「•/'(x)=ciex~x--,且〃>0.
x
设g(x)=7'(x),则g'(x)=ae'T+」>0,
X
・♦.g(x)在(0,+8)上单调递增,即fM在(0,+8)上单调递增,
当a=1时,八1)=0,/(力“必=/⑴=1,.:/(x)21成立.
1111-1
当时,-<1,•康一-I,.../'(一)/«)=〃(〃-l)(a-l)<0,
a••匕、1a
・♦•存在唯一%>0,使得/'(%)=。a一,一’=0,且当工£(。入)时八幻<0,当X£(%,+8)时
%0
G-l1
/'(无)>(),cie"=—,/.In<7+x0-1=-Inx(),
%
x
因此/(x)min=/(/)=ae°~'-Inxn+\na
—FInQ+Xg-1+lriQ221na-1+2/—•=2Ina+1>1,
/Vo
,:/(x)>l,.:/(x)21恒成立;
当0<a<1时、/(I)=a+Ina<a<1,二/(I)<1,/(%)>1不是恒成立.
综上所述,实数。的取值范围是[1,+8).
解法二:/(x)=aex~'-lnx+Ina=/+~一/nr+/”后1等价于
el"a+x~'+hta+jr—1>Inx+x=e/,u+Inx,
令g(x)=e*+x,上述不等式等价于g(/M+x-l)2g(//ir),
显然g(x)为单调增函数,,又等价于妨a+x-12/nx,^lna>lnx-x+\,
令〃(x)=/nx—x+1,则=_-
XX
在(0,1)上力例〉0向x)单调递增;在(1,+8)上“仞<0力仞单调递减,
二=,⑴=0,
Ina>0,即。之1,二。的取值范围是[1,+8).
8.(2020•全国高考真题(理))设函数/(幻=9+法+。,曲线y=/(x)在点(g,7(g))处的切线与y轴垂
直.
(1)求b.
(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:八幻所有零点的绝对值都不大于1.
3
答案:(1)b=——;(2)证明见解析
4
解答:(1)因为f'(x)=3x2+b,
由题意,/(-)=0,即+b=Q
3
!i!ij/?=--;
4
a3
(2)由(1)可得f(x)=x3——x+c,
4
31I
/(X)=3X2--=3(X+-)(X--),
令f(元)>。,得工>5或x<—2;令于(x)<0,得—
所以/(x)在(一g,g)上单调递减,在(F,-g),(;,+8)上单调递增,
且/(_I)=C_!"(M)=C+;/(3=C_;N)=C+?,
424244
若/(x)所有零点中存在一个绝对值大于1的零点/,则/(-I)>0或/⑴<0,
11
即c>一或c<——.
44
当c>!时,/(-l)=c-i>0,/(-^)=c+^->0,/(l)=c-^>0,/(l)=c+i>0.
4424244
又/(-4c)-—64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,
由零点存在性定理知/(x)在(-4c,-1)上存在唯一一个零点看,
即/(x)在(7,-1)上存在唯一-个零点,在(-1,+=。)上不存在零点,
此时/(X)不存在绝对•值不大于1的零点,与题设矛盾;
当c<_J时,/(—I)=£•_[<=c+J=<?一〈<0,/(D=c+]<0,
4424244
又/(—4c)=64c③+3c+c=4C(1-16C2)>0.
由零点存在性定理知fM在(l,-4c)上存在唯一一个零点七',
即/(X)在(1,-KO)上存在唯一一个零点,在(70,1)上不存在零点,
此时/(X)不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;
综上,f(X)所有零点的绝对值都不大于1.
9.(2020•全国高考真题(理))己知函数/(x)=siMxsin2x.
(1)讨论/(x)在区间(0,兀)的单调性;
(2)证明:|/(幻]4半;
、3〃
(3)设"WN*,证明:sin2xsin22xsin24x...sin22nx<—.
4〃
答案:(1)当0(时,/'(x)>0,/(x)单调递增,当时,尸(x)<0,/(x)单调递减,
当尤e[曰-,;rj时,/'(x)>O,/(x)单调递增.(2)证明见解析;(3)证明见解析.
解答:⑴由函数的解析式可得:/(x)=2sin3xcosx,则:
/'(x)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos?x-sin2x)
=2sin2X^4COS2X-1)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),
/'(x)=0在xw(0,%)上的根为:%=?,工2=日,
当时,/(x)>O,〃x)单调递增,
当xe序引时,尸(x)<OJ(x)单调递减,
当乃)时,/'(x)>o,/(x)单一调递增.
(2)注意到/(x+zr)=sin2(x+%)sin[2(x+zr)]=sin2xsin2x=/(%).
故函数是周期为万的函数,
结合⑴的结论,计算可得:/(0)=/(")=0,
(2吟fV3Y(百1
⑴[2)[2)8
据此可得:[〃<「詈,"⑼而尸蔓,
即|/(小
O
⑶结合(2)的结论有:
sin2xsin22xsin24xsin22nx
2
=[sin'xsin,2xsin34xsin32"x了
2
=[sinx(sin2A:sin2x)(sin22xsin4x)(sin22"Tjcsin2〃x)sin2
2
3
<sin.x^x^lxx速xsin22a
8
10.(2020•天津高考真题)已知函数/(x)=x3+&inx伙GR),/'(X)为f(x)的导函数.
(I)当R=6时,
(i)求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程;
9
(ii)求函数gQ)=f(x)—/"。)+一的单调区间和极值;
X
(II)当火…-3时,求证:对任意的%,x2e[l,+oo),且%>々,有/(/)+,(%)〉/(•¥)―/(4)
2百-x2
答案:(I)(i)y=9x-8:(ii)g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值;(H)证明见解析.
解答:(I)(i)当答6时,/(x)=x3+61nx,解(力=3/+1.可得"1)=1,尸⑴=9,
X
所以曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为〉-1=9(%-1),即y=9%-8.
3
(ii)依题意,^(x)=x3-3x24-61nx+—,XG(0,+oo).
从而可得g'(x)=3x2-6x+9—3,
XX
g⑴=g—l):(x+l)
整理可得:
X
令g'(x)=0,解得x=L
当X变化时,g'(X),g(X)的变化情况如下表:
X(。,1)X=1(L+?)
g'(x)—0+
g(x)单调递减极小值单调递增
所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8);
g(x)的极小值为g⑴二1,无极大值.
(II)证明:由/(x)=丁+Zlni,得/(工)=3%2+±
X
对任意的不,%2£口,+8),且%>工2,令立=,«>1),则
X?
(%-々)(/'(百)+/'(%))-2(/(%)-/(9))
(k(X
=(玉一4)3x;H---F3X;H——2d—x;+kln--
I%%2JIX2
/、
=x:-x;-3xfx2++k----―2kIn—
32
=^(?-3/+3z-l)+Z:|Z---21n/①
令"(x)=x-:-21nx,xe[l,+oo).
x
i?(1Y
当x>l时,/i(x)=l+———=1——>(),
xxyxJ
由此可得〃(x)在[1,+8)单调递增,所以当t>l时,〃(。>〃⑴,即-21n/>0.
因为々21,/_3r+3/—1=。—>o,k>-3,
所以只(一一3/+3f—l)+«-,21nf)..(f3—3f2+3…l)-3’一;—21n,
=/3-3/2+61nr+--l.②
t
3
由(I)(ii)可知,当f>l时,g(f)>g(l),即「一3『+61nf+[>l,
,,3
故「一3『+6hn+三一1>0③
由①@③可得(百一%2)(/'(不)+/'(工2))—2(/(3)一/(工2))>0.
所以,当我2—3时,任意的看,工2€[1,+°°),且玉>/,有
f(%)+/(*/(%)-/(%)
2xl-x2
11.(2020•北京高考真题)已知函数/(x)=12—f.
(I)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程;
(n)设曲线y=/(x)在点&/«))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(f),求5(0的最小值.
答案:(I)2x+y—13=(),(U)32.
解答:(I)因为/(x)=12-V,所以r(n)=一2%,
设切点为(天,12—%),则—2玉)=-2,即%=1,所以切点为(1,11),
由点斜式可得切线方程为:y-ll=-2(x-l),即2x+y—13=0.
(II)显然fa0,
因为y=/(x)在点2T2)处的切线方程为:>一(12-r)=-2r(x-r),
令x=0,得y=*+]2,令y=。,得元二」L£,
2t
所以s(/)=:x(尸+12)•索,
不妨设/>0。<0时,结果一样),
…/+24产+1441,3〜144、
则S(f)=------------------=—(「+24/+—),
V74/4t
所以5,⑺=;⑶-24一詈J入;,48)
_3(——4)(y+12)_3(f—2)«+2)(*+12)
—4?—4?
由S'(f)>0,得f>2,由S'(f)<0,得0<f<2,
所以S⑺在(0,2)上递减,在(2,+8)上递增,
所以,=2时,S。)取得极小值,
也是最小值为S(2)=笆普=32.
O
12.(2020•浙江高考真题)已知l<aK2,函数/(x)=e*-x-a,其中e=2.71828…为自然对数的底数.
(I)证明:函数y=/(x)在(0,+8)上有唯一零点;
(H)记X0为函数y=/(x)在(0,+8)上的零点,证明:
(i)yja—i<XQ<J2(a-1);
(ii)x0/(e^)>(e-l)(a-l)a.
答案:(I)证明见解析,(II)(i)证明见解析,(ii)证明见解析.
解答:(I)Qf'(x)=e*-1,Qx>0,e*>1,/.f'(x)>0,f(x)在(0,+oo)上单调递增,
Ql<a<2,.\/(2)=e2-2-a>e2-4>0,/(0)=l-a<0.
所以由零点存在定理得/(X)在((),+8)上有唯一零点;
o
(ID(i)Q/(xo)=0,.-./-x0-<z=0-
ci—14WJ2(a-1)c°__1<与一W2(e0——1)>
2
令g(x)=ex-x-\-x1(fi<x<2),/z(x)=-x-1-(0<x<2),
x
一方面:h\x)=e-\-x=/t](x\4'(x)=e'-1>0,
〃'(0)=0,「.h(x)在(0,2)单调递增,Jh(x)>/?(0)=0,
v,
*,cx—x—\——>0,2(e"—x—1)>%2,
另一方面:Ql<tz<2.\tz-l<l,
所以当与21时,J工工4不成立,
因此只需证明当0vx<l时g(x)=ex-x-1-x2<0,
因为g'(x)=e*-1-2x=g|(x),g;(x)=e*-2=0=>x=In2
当xe(0,ln2)时,g;(x)<0,当xe(ln2,l)时,g;(x)>0,
所以g'(x)<max{g'(0),g'⑴},Qg'(0)=0,g'(l)=e-3<(),/.g'(x)<0,
.•.8。)在((),1)单调递减,;.8(%)<8(0)=。,二6“一》一1</,
0
缥」二>e"—XQ—1<%0~W2(e-%—1),1a—1W尤。W12(a—1)■
Ha
(ii)«%)=Xof(e°)=x()f(xn+a)=x0[(e-l)x0+a(e-2)],
Qf'(x0)=2(e"—l)x()+a(e"-2)>0,yJa—l4/4J2(a-1),
.,/(x())>f(Ja-1)=Ja-l)e"-1)Vci—\+a(e"—2)]=(ea—l)(iz—1)+a1a-1(e"—2),因为]<a«2,
所以e">e,a>2(a-1),
r(x())2(e-l)(a1)+2(a—1)Ja-l(e"-2),
只需证明2(a一1)/T万(e"—2)2(e—l)(a—,
即只需证明4(ea-2)2>(e-l)2(a-l),
令s(a)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(l<a<2),
则sr(a)=8ea(ea-2)-(e-l)2>8e(e-2)-(e-l)2>0,
s(a)>.v(l)=4(e—2>>0,即4(e"-2)2>(e-l)2(a-l)成立,
x
因此x0/(e°)>(e-l)(«-l)a.
13.(2020•江苏高考真题)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与〃(x)=以+b(k,。eR)在区间D上恒有
f(x)>h(x)>g(x).
(1)若〃X)=£+2X,g(x)=-x2+2x,Z)=(-oo,4-oo),求h(x)的表达式;
(2)若/(彳)=%2-x+i,g(x)=AJnx,h(x)-kx-k,D-(0,+oo),求k的取值范围;
(3)若
/()=42,(),M)-(,)4||小,
。=[,]=卜^-],求证:n-m<V?.
答案:(1)〃(x)=2x;(2)Ze[0,3]:(3)证明详见解析
解答:(1)由题设有一乙+8〈/+2彳对任意的xeR恒成立.
令%=0,则0WAW0,所以匕=0.
因此依</+2兀即必+(2-攵)x20对任意的xeR恒成立,
所以八=(2—女)2«0,因此火=2.
故〃(x)=2x.
(2)令/(x,uMxbgGbMx-l-lnxXx〉。),F(1)=O.
又尸(x)=h?.
若k<0,则尸(x)在(0,1)上递增,在(L+?)上递减,则尸(x)K尸⑴=0,即〃(x)—g(x)V0,不符
合题意.
当左=0时,E(x)=〃(x)-g(x)=0M(x)=g(x),符合题意.
当4>0时,E(x)在(0,1)上递减,在(1,+?)上递增,则/(力2/1)=0,
即力(x)-g(x)N0,符合题意.
综上所述,k>Q.
2
由/(X)-/Z(X)=X2_*+]_(依-左)-x_(攵+1)1+(攵+1),0
当x=?<0,即4<—1时,y=f-(z+l)x+左+1在(0,+?)为增函数,
因为/(0)—〃(0)=左+1<0,
故存在%«0,+8),使“x)—〃(x)<0,不符合题意.
当》=等=0,即&=一1时,/(x)-〃(x)=f20,符合题意.
上+17
当x=W->0,即女>一1时,则需△=(攵+1)—4(2+1)<0,解得一1<左43.
综上所述,%的取值范围是建[0,3].
(3)因为X,-2%2>4(/一.卜-3〃+2广>4x2-8对任意xG[九九]u[―恒成立,
423
x-2x>4(r-Z)x-3?+2产对任意尤e[m,n]u[-在近]恒成立,
等价于(x—f)2卜2+2tx+3产-2)2。对任意工e[外〃]u[-&,>/2]恒成立.
故X2+2a+3/一2之()对任意xG[m,川u[—夜,应]恒成立.
令M(x)—x?+2tx+3广—2,
当0<〃<1,A=-8r+8>0,-1<-^<1,
此时〃—mw+,|v+1<jyt
当14/<2,A=-St2+8<0,
但4工2—8>4(/—,卜―3r+2/对任意的工£[加,川u[-夜,夜]恒成立.
等价于4x2-4(/一.)龙+(3尸+4)(J-2)4。对任意的xG[m,n]cz|-V2,\/2]恒成立.
4x2—4(/—f)工+(3广+4)(产-2)二。的两根为,
...I33J—2广—8
则X]+々=t-Z,Xj-x2=-----------,
所以n-m-|石一工21=J(玉+々)2-4中2=,广一5上+35+8-
令/=Z丸w[1,2].则|〃一向=〃3_5%+3几+8.
构造函数尸(丸)=才一5万+34+8(46[1,2]),户(4)=3万-104+3=(4—3)(327),
所以4«1,2]时,P⑷<0,P(4)递减,尸(43=尸(1)=7.
所以(〃一加),而=近,BPn-m<>/7.
14.(2020•江苏高考真题)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底。在水平
线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(。‘在AB上).经测量,左侧曲线A。上任一点。到MN的距离
%(米)与D到00'的距离a(米)之间满足关系式九二八右侧曲线BO上任一点F到MN的距离小(米)与
40
F到00'的距离b(米)之间满足关系式也=-工/+6乩已知点B到00,的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).
3
桥墩EF每米造价A(万元)、桥墩CD每米造价一人(万元也>0).问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最
2
低?
答案:(1)120米(2)O'E=20米
解答:(1)由题意得」-|O'A『=--Lx4()3+6x40.1O'A|=80
40800
O'A\+\O'B|=80+40=120米
(2)设总造价为/(x)万元,|O'O|=」-X8()2=160,设|O'E|=X,
40
/(x)=)(160+就/-6x)+11口60—京(80—X。],(0<x<40)
f(x)=)1(160+—x3-—x2),f\x)=k(—f-9©=o...x=20(0舍去)
8008080080
当0<x<20时,Ax)<0;当20cx<40时,//(x)>0,因此当%=20时,f(。取最小值,
答:当O'E=20米时,桥墩CD与EF的总造价最低.
15.(2020,全国高考真题(文))已知函数/(x)=d-依+42.
(1)讨论/(x)的单调性;
(2)若/(x)有三个零点,求上的取值范围.
4
答案:(1)详见解析;⑵(0,—).
27
解答:(1)由题,f\x)=3x2-k,
当A40时,f(x)»0恒成立,所以在(3,+8)上单调递增:
当4>0时,令f(x)=0,得x=±岛令f(x)<0,得-舟*哈
令f(x)>0,得x<—J|或x〉J1,所以f(x)在(-JI,J1)上单调递减,在
(一8,-go,(4,+8)上单调递增.
卜-(-)>0
(2)由(1)知,“X)有三个零点,则左〉0,且《12
)<0
k2+-k.^>0
3V34
即《'二,解得0V人<——,
,22,\k..27
k—kA一<0
3\3
4r-Ikr-
当。<Z<—时,yjk>J—»且f(y/k)=k2>0»
27V3
所以fM在G&)上有唯一一个零点,
同理一I<_告,f(-k―1)=_二_伏+1)2<0,
所以/(X)在(一左一1,一,1)上有唯一一个零点,
又73在(一"百上有唯一一个零点,所以f(x)有三个零点,
4
综上可知A的取值范围为(0,—).
27
16.(2020,全国高考真题(文))已知函数/(x)="-a(x+2).
(1)当1=1时,讨论了W的单调性;
(2)若/(x)有两个零点,求。的取值范围.
答案:(1)Ax)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+QO);(2)(L饮).
e
解答:(1)当a=l时,/(x)=e'-(x+2),/'(x)=eA-l,
令f(x)<0,解得x<0,令f(x)>0,解得x>0,
所以/(x)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+8);
(2)若有两个零点,即e'—a(x+2)=0有两个解,
从方程可知,x=-2不成立,即a=,一有两个解,
x+2
.,ex..-、ex(x+2)-exe"(x+l)
令h(x)=--(x*-2),n则l有〃z(幻=--~—s-=~~—r•
x+2(x+2y(x+2)-
令"(x)>0,解得了>一1,令〃'(x)<0,解得x<-2或一2<x<-l,
所以函数力(x)在(-℃,-2)和(一2,-1)上单调递减,在(一1,一)上单调递增,
且当无<一2时,A(x)<0.
而Xf-2+时,力(X)—>+8,当X——8时,〃(X)->+8,
x1
所以当a=—e—有两个解时,有a>〃(—1)=-,
x+2e
所以满足条件的a的取值范围是:(L+oo).
e
17.(2020•全国高考真题(理))已知函数/(x)=e'+a?—x.
(1)当a=l时,讨论/(x)的单调性;
(2)当xNO时,f(x)>-^-x3+l,求o的取值范围.
答案:(1)当工£(一8,0)时,尸(九)<0,〃%)单调递减,当工«0,48)时,/(X)>OJ(X)单调递增.
7-e2]
(2)--------,+oo
4J
解答:⑴当”=1时,/(x)=e'+x2-x,/'(x)=e*+2x—1,
由于/(尤)="+2>0,故于'(x)单调递增,注意到了'(0)=0,故:
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