函数、导数及其应用-2021高考之2020新高考真题分项汇编（解析版）

专题04：函数、导数及其应用-备战2021高考之2020新高考真题分项汇编

一、单选题

X,**若函数g(x)=/(x)-陷-2*(AeR)恰有4

1.(2020•天津高考真题)已知函数/(X)=<

个零点，则后的取值范围是()

11

A.—00,-----(20,+8)B.-00,-----(026)

22

C.(-oo,0)(0,20)D.(—00,0)(2^2,+00)

答案：D

解答：注意到g(o)=o,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程I丘-21=答恰有3个实根

|x|

即可，

令h(x)=，即y=1日—2I与/?(%)=瞥的图象有3个不同交点.

\x\|x|

因为心)常武x>Q

x<0

当k=0时,此时==2,如图1,y=2与加»=乎?有1个不同交点,不满足题意;

\x\

当上<0时，如图2,此时y=|幺2|与"尤)=智恒有3个不同交点，满足题意;

\x\

当左〉0时，如图3,当丁=近-2与y=X2相切时，联立方程得V—丘+2=0,

令A=0得左2—8=0，解得攵=20(负值舍去)，所以4>20.

综上，%的取值范围为(—8,0)(272,+00).

故选：D.

V

V

2.(2020•海南高考真题)基本再生数生与世代间隔「是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感

染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数

模型：/(/)=e"描述累计感染病例数/(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与Ro,「近似满足Ro=1+”.

有学者基于已有数据估计出/?。=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要

的时间约为(ln2=0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

答案：B

328—1

解答：因为&=3.28,7=6,+所以一=于0=0.38,所以/⑺=e"=*3即，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为6天,

则*38（，+4）=2eo.38,,所以0。3跖=2,所以0.3跖=In2,

In20.69

所以4a1.8天.

038~038

故选：B.

u/,

3.（2020•全国高考真题（理））#2+log2a=4+21og4Z?,则（）

A.a>2bB.a<2hC.a>b2D.a<b2

答案：B

解答：设/(x)=2'+log2x,则/(x)为增函数，因为2"+log2a=4"+210g4匕=22"+log2b

2/,2626

所以/3)-fQb)=2"+log2a-(2+log22h)=2+log2b-(2+log22b)=log2g=—1<0,

所以/(a)</(2。)，所以a<2>

222622/?

/(«)-f(b)=2“+log?a-(26+log,b)=2+log2b一(2扇+log2^)=2-2户-log2b，

当。=1时，/(。)一/(/)=2>0,此时/3)>/(/),有

当匕=2时,f(a)-f(b2)=-l<0,此时/(a)</(/),有°<从,所以c、D错误.

故选：B.

4.(2020•全国高考真题(理))函数/。)=/一2/的图像在点(1,/(I))处的切线方程为()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

答案：B

解答：/"(同=/_2/,.・./'(力=4%3-6/,，〃1)=_1,r(l)=一2,

因此，所求切线的方程为y+l=-2(x—1),即y=-2x+L

故选：B.

5.(2020•全国高考真题(理))在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份

订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.己知该

超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成

50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()

A.10名B.18名C.24名D.32名

答案：B

解答：由题意，第二天新增订单数为500+1600-1200=900,设需要志愿者x名，

50x

-->0.95,x217.1,故需要志愿者18名.

900

故选：B

6.(2020•全国高考真题(理))若直线/与曲线片五和x2+y2=g都相切，贝lj/的方程为()

1111

A.y=2x+lB.y=2x+—C.y=—x+1D.y=—x+—

答案：D

解答：设直线/在曲线y=、G上的切点为(x()，H)，则%>0,

L，1/1

函数y=J7的导数为丁=云1，则直线/的斜率女=2第

设直线/的方程为y—JW=77=(x—%)),即％-2后卜+%0=0,

,,151

由于直线/与圆f+y2=一相切，则1，=F,

-5V1+4xo，5

两边平方并整理得5片一4/一1=0,解得x0=l,x0=--(舍),

则直线/的方程为x-2y+l=0,即丁=,/」.

22

故选：D.

二、解答题

7.(2020•海南高考真题)已知函数/(x)=aei-lnx+lnQ.

(1)当。=6时・，求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若/(x)>1,求o的取值范围.

2

答案：(1)——(2)[1,+co)

e-1

解答：(1)Qf(x)=ex-\nx+l,/.fr(x)=ex--,k=fr(l)=e-l.

x

Q/⑴=e+l,・,•切点坐标为(1,1+e),

・・・函数f(x)在点(1/⑴处的切线方程为'-0-1=(6-1)。-1),即丁二(6—1)1+2,

•••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(三,0),

e-1

1-92

・・・所求三角形面积为-x2x|--|=--；

2e-1e-1

(2)解法-：Q/(x)=agi-Inx+lna,

「•/'(x)=ciex~x--,且〃>0.

x

设g(x)=7'(x),则g'(x)=ae'T+」>0,

X

・♦.g(x)在(0,+8)上单调递增，即fM在(0,+8)上单调递增，

当a=1时，八1)=0,/(力“必=/⑴=1,.：/(x)21成立.

1111-1

当时，-<1，•康一-I，.../'(一)/«)=〃(〃-l)(a-l)<0,

a••匕、1a

・♦•存在唯一%>0,使得/'(%)=。a一,一’=0,且当工£(。入)时八幻<0,当X£(%,+8)时

%0

G-l1

/'(无)>(),cie"=—,/.In<7+x0-1=-Inx(),

%

x

因此/(x)min=/(/)=ae°~'-Inxn+\na

—FInQ+Xg-1+lriQ221na-1+2/—•=2Ina+1>1,

/Vo

,：/(x)>l,.：/(x)21恒成立；

当0<a<1时、/(I)=a+Ina<a<1,二/(I)<1,/(%)>1不是恒成立.

综上所述，实数。的取值范围是［1,+8).

解法二：/(x)=aex~'-lnx+Ina=/+~一/nr+/”后1等价于

el"a+x~'+hta+jr—1>Inx+x=e/,u+Inx，

令g(x)=e*+x,上述不等式等价于g(/M+x-l)2g(//ir),

显然g(x)为单调增函数，，又等价于妨a+x-12/nx,^lna>lnx-x+\,

令〃(x)=/nx—x+1,则=_-

XX

在(0,1)上力例〉0向x)单调递增；在(1,+8)上“仞<0力仞单调递减，

二=，⑴=0,

Ina>0,即。之1,二。的取值范围是［1,+8).

8.(2020•全国高考真题(理))设函数/(幻=9+法+。，曲线y=/(x)在点(g,7(g))处的切线与y轴垂

直.

(1)求b.

(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：八幻所有零点的绝对值都不大于1.

3

答案：(1)b=——；(2)证明见解析

4

解答：(1)因为f'(x)=3x2+b,

由题意，/(-)=0,即+b=Q

3

!i!ij/?=--；

4

a3

(2)由(1)可得f(x)=x3——x+c,

4

31I

/(X)=3X2--=3(X+-)(X--),

令f(元)>。,得工>5或x<—2；令于(x)<0,得—

所以/(x)在(一g,g)上单调递减，在(F,-g),(；,+8)上单调递增，

且/(_I)=C_!"(M)=C+；/(3=C_；N)=C+?，

424244

若/(x)所有零点中存在一个绝对值大于1的零点/,则/(-I)>0或/⑴<0,

11

即c>一或c<——.

44

当c>!时，/(-l)=c-i>0,/(-^)=c+^->0,/(l)=c-^>0,/(l)=c+i>0.

4424244

又/(-4c)-—64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零点存在性定理知/(x)在(-4c,-1)上存在唯一一个零点看,

即/(x)在(7,-1)上存在唯一-个零点,在(-1,+=。)上不存在零点，

此时/(X)不存在绝对•值不大于1的零点，与题设矛盾；

当c<_J时，/(—I)=£•_[<=c+J=<?一〈<0,/(D=c+]<0,

4424244

又/(—4c)=64c③+3c+c=4C(1-16C2)>0.

由零点存在性定理知fM在(l,-4c)上存在唯一一个零点七',

即/(X)在(1,-KO)上存在唯一一个零点，在(70,1)上不存在零点,

此时/(X)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，f(X)所有零点的绝对值都不大于1.

9.(2020•全国高考真题(理))己知函数/(x)=siMxsin2x.

(1)讨论/(x)在区间(0,兀)的单调性；

(2)证明：|/(幻]4半；

、3〃

(3)设"WN*,证明：sin2xsin22xsin24x...sin22nx<—.

4〃

答案：(1)当0(时，/'(x)>0,/(x)单调递增，当时，尸(x)<0,/(x)单调递减,

当尤e[曰-,;rj时，/'(x)>O,/(x)单调递增.(2)证明见解析；(3)证明见解析.

解答：⑴由函数的解析式可得：/(x)=2sin3xcosx,则：

/'(x)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos?x-sin2x)

=2sin2X^4COS2X-1)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

/'(x)=0在xw(0,%)上的根为：%=?,工2=日，

当时，/(x)>O,〃x)单调递增，

当xe序引时，尸(x)<OJ(x)单调递减，

当乃)时，/'(x)>o,/(x)单一调递增.

(2)注意到/(x+zr)=sin2(x+%)sin[2(x+zr)]=sin2xsin2x=/(%).

故函数是周期为万的函数，

结合⑴的结论，计算可得：/(0)=/(")=0,

(2吟fV3Y(百1

⑴[2)[2)8

据此可得：[〃<「詈，"⑼而尸蔓，

即|/(小

O

⑶结合(2)的结论有：

sin2xsin22xsin24xsin22nx

2

=[sin'xsin，2xsin34xsin32"x了

2

=[sinx(sin2A:sin2x)(sin22xsin4x)(sin22"Tjcsin2〃x)sin2

2

3

<sin.x^x^lxx速xsin22a

8

10.(2020•天津高考真题)已知函数/(x)=x3+&inx伙GR),/'(X)为f(x)的导函数.

(I)当R=6时，

(i)求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

9

(ii)求函数gQ)=f(x)—/"。)+一的单调区间和极值；

X

(II)当火…-3时，求证：对任意的％,x2e[l,+oo),且%＞々，有/(/)+，(%)〉/(•¥)―/(4)

2百-x2

答案：(I)(i)y=9x-8：(ii)g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值；(H)证明见解析.

解答：(I)(i)当答6时,/(x)=x3+61nx,解(力=3/+1.可得"1)=1,尸⑴=9,

X

所以曲线y=/(x)在点(1，/⑴)处的切线方程为〉-1=9(%-1),即y=9%-8.

3

(ii)依题意，^(x)=x3-3x24-61nx+—,XG(0,+oo).

从而可得g'(x)=3x2-6x+9—3，

XX

g⑴=g—l)：(x+l)

整理可得:

X

令g'(x)=0,解得x=L

当X变化时,g'(X),g(X)的变化情况如下表:

X(。,1)X=1(L+?)

g'(x)—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8)；

g(x)的极小值为g⑴二1,无极大值.

(II)证明：由/(x)=丁+Zlni,得/(工)=3%2+±

X

对任意的不，%2£口，+8)，且%>工2，令立=，«>1),则

X?

(%-々)(/'(百)+/'(%))-2(/(%)-/(9))

(k(X

=(玉一4)3x；H---F3X；H——2d—x；+kln--

I%%2JIX2

/、

=x：-x；-3xfx2++k----―2kIn—

32

=^(?-3/+3z-l)+Z:|Z---21n/①

令"(x)=x-：-21nx,xe[l,+oo).

x

i?(1Y

当x>l时，/i(x)=l+———=1——>(),

xxyxJ

由此可得〃(x)在[1,+8)单调递增，所以当t>l时，〃(。>〃⑴，即-21n/>0.

因为々21，/_3r+3/—1=。—>o,k>-3,

所以只(一一3/+3f—l)+«-，21nf)..(f3—3f2+3…l)-3’一；—21n,

=/3-3/2+61nr+--l.②

t

3

由(I)(ii)可知，当f>l时，g(f)>g(l),即「一3『+61nf+[>l,

,,3

故「一3『+6hn+三一1>0③

由①@③可得（百一%2）（/'（不）+/'（工2））—2（/（3）一/（工2））>0.

所以，当我2—3时，任意的看,工2€[1，+°°），且玉>/，有

f(%)+/(*/(%)-/(%)

2xl-x2

11.(2020•北京高考真题)已知函数/(x)=12—f.

(I)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程；

(n)设曲线y=/(x)在点&/«))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(f),求5(0的最小值.

答案：(I)2x+y—13=(),(U)32.

解答：(I)因为/(x)=12-V,所以r(n)=一2%，

设切点为(天,12—%),则—2玉)=-2,即%=1,所以切点为(1,11),

由点斜式可得切线方程为：y-ll=-2(x-l),即2x+y—13=0.

(II)显然fa0,

因为y=/(x)在点2T2)处的切线方程为：>一(12-r)=-2r(x-r),

令x=0,得y=*+]2,令y=。，得元二」L£,

2t

所以s(/)=：x(尸+12)•索,

不妨设/>0。<0时，结果一样)，

…/+24产+1441,3〜144、

则S(f)=------------------=—(「+24/+—),

V74/4t

所以5,⑺=；⑶-24一詈J入;,48)

_3(——4)(y+12)_3(f—2)«+2)(*+12)

—4?—4?

由S'(f)>0,得f>2,由S'(f)<0,得0<f<2,

所以S⑺在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，

所以，=2时，S。)取得极小值，

也是最小值为S(2)=笆普=32.

O

12.(2020•浙江高考真题)已知l<aK2,函数/(x)=e*-x-a,其中e=2.71828…为自然对数的底数.

(I)证明：函数y=/(x)在(0,+8)上有唯一零点；

(H)记X0为函数y=/(x)在(0，+8)上的零点，证明：

(i)yja—i<XQ<J2(a-1)；

(ii)x0/(e^)>(e-l)(a-l)a.

答案：(I)证明见解析，(II)(i)证明见解析，(ii)证明见解析.

解答:(I)Qf'(x)=e*-1,Qx>0,e*>1,/.f'(x)>0,f(x)在(0,+oo)上单调递增,

Ql<a<2,.\/(2)=e2-2-a>e2-4>0,/(0)=l-a<0.

所以由零点存在定理得/(X)在((),+8)上有唯一零点；

o

(ID(i)Q/(xo)=0,.-./-x0-<z=0-

ci—14WJ2(a-1)c°__1<与一W2(e0——1)>

2

令g(x)=ex-x-\-x1(fi<x<2),/z(x)=-x-1-(0<x<2),

x

一方面：h\x)=e-\-x=/t](x\4'(x)=e'-1>0，

〃'(0)=0,「.h(x)在(0,2)单调递增，Jh(x)>/?(0)=0,

v,

*,cx—x—\——>0,2(e"—x—1)>%2,

另一方面：Ql<tz<2.\tz-l<l,

所以当与21时，J工工4不成立，

因此只需证明当0vx<l时g(x)=ex-x-1-x2<0,

因为g'(x)=e*-1-2x=g|(x),g；(x)=e*-2=0=>x=In2

当xe(0,ln2)时，g；(x)<0，当xe(ln2,l)时，g；(x)>0，

所以g'(x)<max{g'(0),g'⑴},Qg'(0)=0,g'(l)=e-3<(),/.g'(x)<0,

.•.8。)在((),1)单调递减，；.8(%)<8(0)=。，二6“一》一1</，

0

缥」二>e"—XQ—1<%0~W2(e-%—1),1a—1W尤。W12(a—1)■

Ha

(ii)«%)=Xof(e°)=x()f(xn+a)=x0[(e-l)x0+a(e-2)]，

Qf'(x0)=2(e"—l)x()+a(e"-2)>0,yJa—l4/4J2(a-1),

.,/(x())>f(Ja-1)=Ja-l)e"-1)Vci—\+a(e"—2)]=(ea—l)(iz—1)+a1a-1(e"—2),因为]<a«2,

所以e">e,a>2(a-1),

r(x())2(e-l)(a1)+2(a—1)Ja-l(e"-2),

只需证明2(a一1)/T万(e"—2)2(e—l)(a—，

即只需证明4(ea-2)2>(e-l)2(a-l),

令s(a)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(l<a<2),

则sr(a)=8ea(ea-2)-(e-l)2>8e(e-2)-(e-l)2>0,

s(a)>.v(l)=4(e—2>>0,即4(e"-2)2>(e-l)2(a-l)成立，

x

因此x0/(e°)>(e-l)(«-l)a.

13.(2020•江苏高考真题)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与〃(x)=以+b(k,。eR)在区间D上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)若〃X)=£+2X,g(x)=-x2+2x,Z)=(-oo,4-oo),求h(x)的表达式；

(2)若/(彳)=%2-x+i,g(x)=AJnx,h(x)-kx-k,D-(0,+oo),求k的取值范围；

(3)若

/()=42，()，M)-(,)4||小，

。=[,]=卜^-],求证：n-m<V?.

答案：(1)〃(x)=2x；(2)Ze[0,3]：(3)证明详见解析

解答：(1)由题设有一乙+8〈/+2彳对任意的xeR恒成立.

令％=0,则0WAW0,所以匕=0.

因此依</+2兀即必+(2-攵)x20对任意的xeR恒成立，

所以八=(2—女)2«0,因此火=2.

故〃(x)=2x.

(2)令/(x,uMxbgGbMx-l-lnxXx〉。)，F(1)=O.

又尸(x)=h?.

若k<0,则尸(x)在(0,1)上递增，在(L+?)上递减,则尸(x)K尸⑴=0,即〃(x)—g(x)V0,不符

合题意.

当左=0时,E(x)=〃(x)-g(x)=0M(x)=g(x),符合题意.

当4>0时，E(x)在(0,1)上递减，在(1,+?)上递增，则/(力2/1)=0,

即力(x)-g(x)N0,符合题意.

综上所述，k>Q.

2

由/(X)-/Z(X)=X2_*+]_(依-左)-x_(攵+1)1+(攵+1),0

当x=?<0,即4<—1时，y=f-(z+l)x+左+1在(0,+?)为增函数，

因为/(0)—〃(0)=左+1<0，

故存在%«0,+8),使“x)—〃(x)<0,不符合题意.

当》=等=0,即&=一1时，/(x)-〃(x)=f20,符合题意.

上+17

当x=W->0,即女>一1时，则需△=(攵+1)—4(2+1)<0,解得一1<左43.

综上所述，％的取值范围是建[0,3].

(3)因为X，-2%2>4(/一.卜-3〃+2广>4x2-8对任意xG[九九]u[―恒成立,

423

x-2x>4(r-Z)x-3?+2产对任意尤e[m,n]u[-在近]恒成立，

等价于(x—f)2卜2+2tx+3产-2)2。对任意工e[外〃]u[-&,>/2]恒成立.

故X2+2a+3/一2之()对任意xG[m,川u[—夜,应]恒成立.

令M(x)—x?+2tx+3广—2,

当0<〃<1,A=-8r+8>0,-1<-^<1,

此时〃—mw+，|v+1<jyt

当14/<2，A=-St2+8<0,

但4工2—8>4（/—，卜―3r+2/对任意的工£［加,川u［-夜,夜］恒成立.

等价于4x2-4（/一.）龙+（3尸+4）（J-2）4。对任意的xG［m,n］cz|-V2,\/2］恒成立.

4x2—4（/—f）工+（3广+4）（产-2）二。的两根为，

...I33J—2广—8

则X]+々=t-Z,Xj-x2=-----------，

所以n-m-|石一工21=J(玉+々)2-4中2=,广一5上+35+8-

令/=Z丸w[1,2].则|〃一向=〃3_5%+3几+8.

构造函数尸(丸)=才一5万+34+8(46[1,2]),户(4)=3万-104+3=(4—3)(327),

所以4«1,2］时，P⑷<0,P（4）递减,尸（43=尸（1）=7.

所以（〃一加）,而=近，BPn-m<>/7.

14.（2020•江苏高考真题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平

线MN上,桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（。‘在AB上）.经测量，左侧曲线A。上任一点。到MN的距离

%（米）与D到00'的距离a（米）之间满足关系式九二八右侧曲线BO上任一点F到MN的距离小（米）与

40

F到00'的距离b（米）之间满足关系式也=-工/+6乩已知点B到00,的距离为40米.

（1）求桥AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为80米，其中C,E在AB上（不包括端点）.

3

桥墩EF每米造价A（万元）、桥墩CD每米造价一人（万元也>0）.问O'E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最

2

低？

答案：（1）120米（2）O'E=20米

解答：（1）由题意得」-|O'A『=--Lx4（）3+6x40.1O'A|=80

40800

O'A\+\O'B|=80+40=120米

(2)设总造价为/(x)万元，|O'O|=」-X8()2=160,设|O'E|=X,

40

/(x)=)(160+就/-6x)+11口60—京(80—X。］,(0<x<40)

f(x)=)1(160+—x3-—x2),f\x)=k(—f-9©=o...x=20(0舍去)

8008080080

当0<x<20时,Ax)<0；当20cx<40时,//(x)>0,因此当％=20时,f(。取最小值,

答：当O'E=20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.

15.(2020,全国高考真题(文))已知函数/(x)=d-依+42.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)有三个零点，求上的取值范围.

4

答案：(1)详见解析；⑵(0,—).

27

解答：(1)由题，f\x)=3x2-k,

当A40时，f(x)»0恒成立，所以在(3,+8)上单调递增：

当4>0时，令f(x)=0,得x=±岛令f(x)<0,得-舟*哈

令f(x)>0,得x<—J|或x〉J1,所以f(x)在(-JI,J1)上单调递减，在

(一8,-go,(4,+8)上单调递增.

卜-(-)>0

(2)由(1)知，“X)有三个零点，则左〉0,且《12

)<0

k2+-k.^>0

3V34

即《'二，解得0V人<——，

,22,\k..27

k—kA一<0

3\3

4r-Ikr-

当。<Z<—时，yjk>J—»且f(y/k)=k2>0»

27V3

所以fM在G&)上有唯一一个零点，

同理一I<_告,f(-k―1)=_二_伏+1)2<0,

所以/(X)在(一左一1,一，1)上有唯一一个零点，

又73在(一"百上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点，

4

综上可知A的取值范围为(0,—).

27

16.(2020,全国高考真题(文))已知函数/(x)="-a(x+2).

(1)当1=1时,讨论了W的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

答案：(1)Ax)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+QO)；(2)(L饮).

e

解答：(1)当a=l时，/(x)=e'-(x+2),/'(x)=eA-l,

令f(x)<0,解得x<0,令f(x)>0,解得x>0,

所以/(x)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+8);

(2)若有两个零点，即e'—a(x+2)=0有两个解，

从方程可知，x=-2不成立，即a=，一有两个解，

x+2

.,ex..-、ex(x+2)-exe"(x+l)

令h(x)=--(x*-2),n则l有〃z(幻=--~—s-=~~—r•

x+2(x+2y(x+2)-

令"(x)>0,解得了>一1,令〃'(x)<0,解得x<-2或一2<x<-l,

所以函数力(x)在(-℃,-2)和(一2,-1)上单调递减，在(一1,一)上单调递增,

且当无<一2时，A(x)<0.

而Xf-2+时，力(X)—>+8,当X——8时，〃(X)->+8,

x1

所以当a=—e—有两个解时，有a>〃(—1)=-,

x+2e

所以满足条件的a的取值范围是：(L+oo).

e

17.(2020•全国高考真题(理))已知函数/(x)=e'+a?—x.

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当xNO时，f(x)>-^-x3+l,求o的取值范围.

答案：(1)当工£(一8,0)时，尸(九)<0,〃％)单调递减，当工«0,48)时，/(X)>OJ(X)单调递增.

7-e2]

(2)--------,+oo

4J

解答：⑴当”=1时，/(x)=e'+x2-x,/'(x)=e*+2x—1,

由于/(尤)="+2>0,故于'(x)单调递增,注意到了'(0)=0,故: