四边形复习课件

平行四边形复习课彭阳县第四中学王文荣1.什么叫做平行四边形？2.平行四边形有哪些性质？3.平行四边形有哪些判定方法？活动一ABCDO（边、角、对角线）特殊的平行四边形活动二矩形菱形正方形活动三一般平行四边形与特殊平行四边形的关系（从定义观察）正方形矩形菱形平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角活动三平行四边形、矩形、菱形、正方形四者关系平行四边形矩形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的对称性如何？挑战自我1.下列命题正确的是（）

A.对角线互相平分的四边形是菱形

B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.对角线互相平分B.四条边都相等

C.四个角都是直角D.对角线相等DB已知菱形ABCD中∠A=72°请你设计两种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个等腰三角形。（画出分割线，标出能够说明分法的三角形内角度数。）D

甲乙丙丁四位同学到木工厂参观时，他们各自做了如下检测：

A.甲量得窗框两组对边分别相等

B.乙量得窗框一组邻边相等

C.丙量得窗框的两条对角线长相等

D.丁量得窗框的两组对边相等且两条对角线也相等检测后，他们都说窗框是矩形你认为最有说服力的是（）D已知：如图矩形ABCD中DE⊥AC与E，AE：EC=3：1若DC=6cm，则AC的长为_______cmABCDE12O1、已知菱形ABCD的周长为20cm。∠A：∠ABC=1：2，则对角线BD的长等于__________cm。2、正方形的两条对角线的和为8cm，它的面积为______平方厘米532题目：如图正方形ABCD边长为对角线交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转在旋转的过程中.探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN试判断线段AM于BN之间的关系.探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM与BN之间的关系是否还成立？探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。探究四：如图有两个大小不等的两个正方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？特殊平行四边形与梯形一、复习目标

矩形、菱形、正方形

①了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系a

②掌握矩形、菱形、正方形的概念b

③探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质c④探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件c

⑤知道任意一个三角形、四边形或正方形可以镶嵌平面，并运用这几种图形进行简单的镶嵌设计 b平行四边形四边形矩形菱形正方形有一个内角是直角对角线相等有一组邻边相等对角线互相垂直四条边都相等有三个角是直角有一组邻边相等对角线互相垂直有一个内角是直角对角线相等二、知识概要性质判定边两组对边分别平行两组对边分别相等有一个角是直角的平行四边形是矩形角矩形的四个角都是直角有三个角是直角的四边形是矩形对角线矩形的两条对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形(矩形)二、知识概要性质判定边菱形的四条边都相等.①一组邻边相等的平行四边形是菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.角①对角相等.②邻角互补.对角线菱形的两条对角线互相垂直；并且每条对角线平分一组对角.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(菱形)二、知识概要性质判定边正方形的四条边都相等.有一组邻边相等的矩形是正方形.角正方形的四个角都是直角.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线正方形的两条对角线相等.并且互相垂直平分.每条对角线平分一组对角.①对角线相等的菱形是正方形.②对角线互相垂直的矩形是正方形.(正方形)三、基本练习

(填空题)1.如图，根据四边形的不稳定性制作边长为16cm的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=16

cm，则∠1=_____度。2.已知，矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于________。1206π

三、基本练习

(填空题)3.如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=________度。30三、基本练习

(选择题)1.如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D’处，那么tan∠BAD′等于（）(A)1

(B) (C)(D)2

2.矩形ABCD的顶点A，B，C，D按照顺时针方向排列，若在平面直角坐标系中，B，D两点对应的坐标分别是（2，0），（0，0），且A，C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（）

(A)(1,1) (B)(1,-1) (C)(1,-2) (D)(,-)

BB(选择题)

3.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）

(A)4

(B)6 (C)8

(D)10C三、基本练习例1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，使AB=CD，EF=GH.例1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（2）摆成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是

，根据的数学道理：

。平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形例1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（3）将直角尺靠紧窗框的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是

形，根据的数学道理是

。矩有一个角是直角的平行四边形是矩形还有什么方法可以说明这个铝合金窗框是合格的?想一想ABCDABCDAC=BD∠A=∠B=∠C=90°ABCDo60若这个铝合金窗框ABCD两条对角线的夹角∠

AOB为60°，△

AOB的周长为3m。（1）求窗框对角线AC长；ABCDo60若这个铝合金窗框ABCD两条对角线的夹角∠

AOB为60°，△

AOB的周长为3m。（2）求窗框ABCD的面积。例2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由。FE例3.将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你会发现这是一个菱形。你能解释其中的道理吗？若展开后的菱形纸片ABCD中，两条对角线AC=，BD=4。（1）求菱形ABCD的面积；（3）

求∠ADC的度数。

（2）求菱形ABCD的周长；如果想得到一个正方形，该怎么剪？并解释你这样做的道理。想一想例4.已知正方形ABCDABCD（1）若一条对角线BD长为2cm，求这个正方形的周长、面积。例4.已知正方形ABCDABCD（2）若E为对角线上一点，连接EA、EC。EA=EC吗？说说你的理由。E例4.已知正方形ABCD（3）若AB=BE，求∠

AED的大小。ABCDE例5.顺次连接任意四边形各边的中点，所构成的四边形以下简称为“中点四边形”。试判断中点四边形EFGH的形状，并说明理由。（1）添加一个条件，使四边形EFGH为菱形；AC⊥BDAC=BDAC=BD且AC⊥BD（2）添加一个条件，使四边形EFGH为矩形；（3）添加一个条件，使四边形EFGH为正方形；1.矩形的“中点四边形”是

形；2.菱形的“中点四边形”是

形；3.正方形的“中点四边形”是

形。矩菱正方那么，特殊平行四边形的“中点四边形”会是怎样的图形呢？中考链接1.（河北省2005）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。若AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为（）346D.8B.中考链接2.（陕西省2005）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）3：45：89：16D.1：2B.3.已知正方形ABCD，ME⊥BD，MF⊥AC，垂足分别为E、F（1）M是AD上的点，若对角线AC=12cm，求ME+MF的长。ABCDOMFE（2）若M是AD上的一个动点，ME+MF的长度是否发生改变？（3）当M点运动到何处时，四边形MFOE的面积最大？1.如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点分别在正方形MNPQ的4条边的小方格的顶点上。（1）设正方形MNPQ网格中

每个小方格的边长为1，求：

①△ABQ,△BCM,△CDN,

△ADP的面积

②正方形ABCD的面积（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程。四、训练题2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线DE交BC于点D,交AB于点E，F在DE的延长线上，并且AF=CE.（1）证明：四边形ACEF是平行四边形.（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.（3）四边ACEF有可能是正方形吗？请证明你的结论。3.探究下列问题：（1）如图①，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证:AC2-BC2=AP2-BP2；（2）如图②，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为P，猜一猜AB,BC,CD,DA之间有何数量关系，用式子表示出来（不必说明理由）；（3）如图③，在矩形ABCD中，P为内部任意一点，请猜想出AP,BP,CP,DP之间的数量关系，并证明之。4.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E，求折痕CG所在直线的解析式。4.（2）如图②，在OC上任取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E’。①求折痕AD所在直线的解析式；②再作E’F//AB，交AD于点F，若抛物线过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数。4.（3）如图③，在OC，OA上选取适当的点D’，G’，使纸片沿D’G’翻折后，点O落在BC边上，记为E’’。请你猜想：折痕D’G’所在直线与②中的抛物线会用什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。5.正方形通过剪切可以拼成三角形（如图①）。方法如下：仿上例用图示的方法，解答下列问题：操作设计：（1）如图②，对直角三角形，设计一种

方案，将它分成若干块，再拼成一个

与原三角形等面积的矩形。（2）如图③，对任意三角形，设计一种

方案，将它分成若干块，再拼成一个

与原三角形等面积的矩形。（3）对于任意四边形，能否通过恰当的分割和重新组合拼接，使其成为一个与四边形等面积的矩形。梯形复习⒈梯形定义：

只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

⒉等腰梯形定义：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

⒊直角梯形定义：

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

CBDACBDACBDA一、知识梳理二、知识概要性质判定边两底平行,两腰相等两腰相等的梯形是等腰梯形角同一底上的两个角相等同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线两条对角线相等两条对角线相等的梯形是等腰梯形等腰梯形是轴对称图形，对称轴是一底的中垂线数学是思维的体操!勇于尝试,我们就能成就更多，学到更多!——与同学们共勉达标训练：1、抢答题判断正误：（1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形.（2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形.（3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形.（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形.（5）对角互补的梯形一定是等腰梯形.2.有两个内角是70度的梯形一定是等腰梯形.()一起做一做3、下列说法中，错误的是（）

A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形

B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形

C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形

D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形C4、如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边的中点所得的四边形是

。5、如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（）A、互相垂直B、互相平分C、相等D、相等且平分选择题下列命题中，真命题有（）个(A)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形(B)等腰梯形的对角线不能互相垂直(C)直角梯形可以有两边相等(D)等腰梯形的两个底角相等若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（）

(A)21 (B)29 (C)21或29 (D)21或22或29CB3、一个等腰梯形的周长是80cm,且它的中位线长与腰长相等，它的高长12cm这个梯形的面积是：（）A.60cm2B.120cm2C.240cm2D.300cm2

各显身手C1.四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C:∠D=2:2:1:3,

则四边形的形状是

。直角梯形巩固练E2.等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角【】A.60°B.120°C.135°D.150°

3.等腰梯形中，上底:腰:下底=1：2：3，则下底角的度数是

°4.直角梯形的一底与一腰的夹角是30°,并且这腰长6cm,

则另一腰长为

cm

。ABCDEA603ABCD常用技巧5、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC-AD=3cm，∠B=∠C=450，梯形的面积为19.5cm2，求梯形两底的长。ABCDEF开启智慧怎样识别等腰梯形?6、如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,DE∥BC交AB于点E,且DE=AD.(1)请问此时ABCD为等腰梯形吗?说明你的理由;(2)若∠B=60°,DC=4,AB=10,求梯形ABCD的周长.ABDCE1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC+AD，H是CD中点，试说明：BH⊥AHHE延长AH，交BC延长线于点E例讲2、如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD=BA，M为BC中点，MN//AD交AB于N。求证：DN=BC。ABCDMN

3、梯形ABCD中AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，试问：梯形ABCD是等腰梯形ABFCDE4、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C.

当AB=4,DC=1,BC=4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在，求出线段BP的长；如果不存在，请说明理由；设AB=a，DC=b，那么当a，b，c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P使AP⊥PD?6、如图，ΔABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是BC边上的高，问四边形DFEH是什么四边形？并说明理由。7、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AE⊥DC于E，AE=12,BD=15,AC=20,求梯形的面积。EDCBA智力大冲浪如图，梯形ABCD中，AD∥BC,中位线分别交对角线BD、AC于点M、N，若AD=4cm,BC=8cm,求：MN的长NMFEBCAD

变式：如图，梯形ABCD中，AD∥BC,M、N分别为对角线BD、AC的中点，若AD=4cm,BC=8cm,求：MN的长智力大冲浪GNMBACD感悟与收获这堂课你收获了什么？常用技巧1.延长两腰交于一点作用：使梯形问题转化为三角形问题，若是等腰梯形则得到等腰三角形。ABDCE2.平移一腰作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。CE等于上、下底的差ABDCE3.作高作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。ABDCEF5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长与一个底的延长线相交。作用：可得△ADE≌△FCE,BF等于上、下底的和.CBFEDA4.平移一条对角线作用：得到平行四边形ACED，使CE=AD，BE等于上、下底的和.A

B

C

D

E

常用技巧CBFEDAG6.当有一腰中点时，过中点作另一腰的平行线。作用：可得到平行四边形和全等三角形.练习1九年级数学(上)第三章证明(三)2.特殊的平行四边形(1)

矩形的性质及判定学好几何标志是会“证明”证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.

回顾与思考1平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等.′证明后的结论,以后可以直接运用.

BDCA∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD,BC=DA.定理:平行四边形的对角相等.∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠A=∠C,∠B=∠D.定理:平行四边形的对角线互相平分.∵四边形ABCD是平行四边形.∴CO=AO,BO=DO.BDCAO定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.BDCAMNPQ回顾思考平行四边形的判定′定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾思考∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.BDCABDCAO∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.定理:等腰梯形的两条对角线相等.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴AC=DB..在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴∠A=∠D,∠B=∠C.BDCABDCA证明后的结论,以后可以直接运用.

回顾思考等腰梯形的判定定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵∠A=∠D或∠B=∠C,∴AB=DC.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.BDCABDCA证明后的结论,以后可以直接运用.

回顾思考三角形中位线的性质′定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.回顾思考∵DE是△ABC的中位,DEBCA∴DE∥BC,ABCHDEFG四边形之间的关系

我思,我进步1四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间呢？还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形矩形的性质定理:矩形的四个角都是直角.

我思,我进步2已知:如图,四边形ABCD是矩形.分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形.∴∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900,∠D=1800-∠A=900.求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.∴∠A=∠B=∠C=∠D=900DBCA想一想:正方形的四个角都是直角吗?矩形的性质

我思,我进步3定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证:AC=BD.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCA∵BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.直角三角形的性质

我思,我进步4议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?为什么?DBCAE由此可得推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.BE等于AC的一半.∵AC=BD,BE=DE,矩形性质的应用

例题欣赏4已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).∴AC=BD,且∵∠DAB=900,DBCAO∵∠AOD=1200,∴∠ODA=∠OAD=你认为例1还可以怎么去解？矩形的判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.

我思,我进步2已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=900.分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵∠A=∠B=∠C=900,∴∠A+∠B=1800,∠B+∠C=1800.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.DBCA∴四边形ABCD是矩形.矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.

我思,我进步2已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.DBCA分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC+∠DCB=1800.∴∠ABC=900.∴四边形ABCD是矩形.直角三角形的判定

我思,我进步4定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.求证:△ABC是直角三角形已知:CD是△ABC边AB上的中线,且EABCD分析:要证明△ABC是直角三角形,可以点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.∴四边形ACBE是平行四边形.∵AB=2CD,CE=2CD,∴CE=AB.∴四边形ACBE是矩形.∵AD=BD,CD=ED,∴∠ACB=900.∴△ABC是直角三角形.矩形的性质,推论定理:矩形的四个角都是直角.定理:矩形的两条对角线相等.推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.回顾思考∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.DBCADBCA∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.∴AC=BD.在△ABC中,∠ACB=900,∵AD=BD,ABCD矩形的判定,直角三角形的判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.回顾思考∵∠A=∠B=∠C=900,∴四边形ABCD是矩形.DBCADBCA∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB.∴四边形ABCD是矩形.ABCD∴∠ACB=900.在△ABC中,∵AD=BD=CD,知识的升华独立作业P88习题3.41,2,3题.祝你成功！P88习题3.43题.独立作业已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别分别平分∠DAB和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q.(1).求证:AP⊥PB;(2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少?△APB的面积是多少?ABCDPQ结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!

再见特殊平行四边形（一）初二数学主讲教师：邓兰萍

矩形：一．课内知识的回顾：

1．矩形的特征：边：对边平行且相等；

AB//DC,AB

DC，AD//BC

，AD

BC．角：四个角相等，都等于90°；∠A

∠B

∠C

∠D

90°对角线：对角线互相平分且相等；

AO

CO，BO

DO，AC

BD．对称性：既是轴对称又是中心对称图形．ODCBAABCD2．矩形的识别方法：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．3个条件1个条件2个条件3．与矩形相关的三角形：注意：当边AB等于对角线AC一半时，矩形中出现的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等边三角形、含120°角的等腰三角形）．ABCDOABCOBCOBA

利用矩形对角线的特征，可以得到下面结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图：△ABC中，∠ABC

90°，点O是AC的中点， 则BO

AC．OACB二．矩形知识的应用举例：[例1]

在矩形ABCD中，直线DE是△DCE与△DFE的对称轴,若矩形与四边形ECDF的周长差是4，且四边形ECDF的周长是8，(1)求矩形ABCD的周长与面积;(2)直线FE与矩形ABCD有什么关系？分析:

要想由条件得到图形中E、F分别是BC、AD中点，先判断出△DCE与△DFE是等腰直角三角形是解决问题的关键；矩形与四边形ECDF的周长差实际就是AF与BE的和；EF垂直平分AD可发现直线EF是矩形的一条对称轴．FEACBD213解：∵矩形ABCD中，

ADC

C

90

，AB

DC，ADBC又

DCE与DFE关于直线DE对称∴1

2

3，四边形ECDF中，∵CD

CE,

周长为8，EC

CD

DF

FE

2

DFE

90

∴AD

FD

BC

EC

即AF

BE矩形ABCD的周长四边形ECDF的周长AF

BE

4∴AF

BE

2∴矩形ABCD中，AD

4，AB

2∴矩形ABCD周长2(AD

AB)12矩形ABCD面积AD

AB

4

2

8FEACBD213[例2]

已知：如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，∠BDE＝15°。求：∠BOC、∠AOE的度数．

分析：由矩形的特征及条件不难发现△OAD是等边三角形，△ADE是等腰直角三角形，利用这两个特殊三角形的特征就可以使问题得以解决．ABCDEO解∵矩形ABCD∴AC

BD

AO

OD

ADC

90

∵DE平分ADC

BDE

15

∵ADO

ADE

BDE

45

15

60

∴OAD为等边，

BOC

AOD

60

AD

AO

DAO

60

又DAE

90

∴ADE为等腰Rt

AE

AD∴OAE

90

60

30

AO

AE

ABCDEO[例3]

已知：如图，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥AC于E，EB的延长线交DF于F点．请猜测：BF与AC的数量关系，并说明理由．

分析：由于矩形ABCD中，AC

BD，BF与AC的数量关系实质就是BF与BD的数量关系,由位置可通过角的关系得到．让我们先来分析一组图形：

ABCDEFo325610QBABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BF

AC由位置关系可知应通过角的关系得到。与之相关的Rt

ABC三角形中有斜边上高和中线，Rt

ADC中有中线和角平分线.[例4]

在矩形ABCD中，AB

6，BC4，E是AB上一点，CE5，DF⊥CE于F．求DF．

分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、DF可以看作是

DEC的底和高，因为可求，所以EC边上的高可求。FEDCBA解答：连DE∵矩形ABCD，且AB

6，BC

4∴S矩形

6

4

24又∵AB//DC∴∵DF

EC于F∴∵EC

5∴FEDCBA[例5]

有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）

分析：由于矩形对角线交点就是它的对称中心，因此经过对称中心的任意一直线都会将矩形分成两部分仍是关于中心对称的图形，所以面积相等，因此有：只要将图形化为两个矩形的和或差，作出经过两个图形对称中心的直线即可。[例6]

如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，P是AD上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若AB3㎝，AD4㎝，BD5㎝。求：PE

PF的值．当点P在AD上移动时，其它条件不变，PE

PF的值会改变吗？OPFEDCBAQ分析：分别求PE、PF困难。由已知得矩形面积，而可知。由于

AOD是等腰

，联想“等腰

底边上任意一点到两腰距离和等于腰上的高”这一性质，由于对角线已知，即等腰

可知，由面积就可求出腰的高。问题得解。解：过D点作DQ

AC于Q∵矩形ABCD中，AB

3，AD

4∴S矩

3

4

12

又∵AC与BD互相平分OPFEDCBAQ由在其它条件不变的情况下,由于不论P点在AD上如何移动，它到等腰

AOD两腰的距离之和永远等于OA上的高，因此PE

PF的值不会改变。∵连OP∴DQ

PE

PF

∵AC

BD

5

OPFEDCBAQ[例7]

如图，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论？FENMOCBA

分析与解答：（1）由于CE、CF分别是角平分线，因此有

ECF为直角，又由于MN//BC，因此

OEC与OFC均为等腰

，即OE

OC，OF

OC，故O是EF中点。（2）由于

ECF为90

，只要四边形AECF为平行四边形，则四边形AECF就为矩形。而（1）已知O是EF中点，只需O是AC中点即可，故点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。FENMOCBA菱形一．课内知识的回顾：1．菱形的特征：边：对边平行且四条边相等；

AB//DC,AD//BC

，AB

DC

AD

BC．角：对角相等，邻角互补；∠A

∠C，∠B

∠D∠A

∠B

180°，……对角线：对角线互相垂直平分；AO

CO，BO

DO，

AC⊥BD．每条对角线平分一组对角∠ADB

∠CDB,……对称性：既是轴对称又是中心对称图形．BDACDACOB2．菱形的识别方法：四条边相等的的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2个条件1个条件3个条件3．与菱形相关的三角形：注意：当边AB等于对角线BD时，菱形中出现的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等边三角形、含120°角的等腰三角形）．BCCADDDOABOCAD利用菱形对角线的特征，可以得到菱形面积的另一种求法：如图

l1

、l2分别是菱形的两条对角线，有S

菱形=l1l2l2l1二．菱形知识的应用举例：[例1]

已知:菱形两条对角线的差等于3.2cm，它们的比为1:2.求:菱形的面积．

[例2]

已知：如图，正△AMN与菱形ABCD有一个公共点A，且边长相等，M、N在BC、CD上，求∠BAD的度数．分析：抓住菱形和正

都是轴对称图形且边长相等这一特征，可得

ABM为等腰

，利用底角与顶点及菱形相邻两角的数量关系可将问题得以解决。ABCDMN 解：∵菱形ABCD及等边

AMN关于AC对称 ∴

BAM

DAN

又∵菱形和等边

边长相等 ∴在

ABM中有AB

AM，设

BAM为x

，则

BAD

2x

60

∵AD//BC∴

即 解得x

20

∴

BAD

2x

60

100

ABCDMN[例3]

已知：如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AB

AE，∠EAD

2∠BAE．求证：BE

AF．分析：线段BE和AF在位置上没有特殊关系，应考虑等量代换，因此应从角的关系入手找到BF和AF的中间量ABCDEF解答：

∵菱形ABCD∴AD//BC∴

EAD

AEB ∵AB

AE∴

ABE

AEB

又∵

EAD

2

BAE

又BD平分

ABC

即

ABF

EBF ∴

BAE

ABF∴AF

BF ∵

BFE

BAF

ABF

2

BAE ∴

BFE

BEF∴BF

BE∴BE

AFABCDEF[例4]

已知：如图，△ABC中，∠BAC

90°，AG、BD分别是高线和角平分线，且交于E，FD⊥BC于F，连EF．求证：四边形AEFD为菱形．ABCDGEF

分析：若要判断四边形AEFD为菱形，可先证明四边形AEFD为平行四边形.

由于AG是

ABC的高，DF

BC，故AE//DF，只需再寻找一个条件。ABCDGEF[例5]

已知：如图，分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边△ABE、等边△CBD和等边△ACF，连结DE、DF．问：当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形、菱形．FEDCBA

分析与解答：从图形中可分析出：

EBD与

ABC是绕B点旋转对称的图形，有ED

AC

AF，同理AE

DF，因此四边形AFDE为平行四边形，

ABC的形状对这个四边形有影响，当

EAF

90

时，AFDE为矩形，此时

BAC

360

90

2

60

150

，即

ABC中

BAC

150

时，当AE

AF时AFDE为菱形，此时AB

AE

AF

AC，即

ABC中AB

AC时，四边形DEAF为矩形、菱形．FEDCBA小结：1．矩形、菱形都是特殊的平行四边形，在学习这部分知识时可以通过类比的方法来研究图形的特征及识别方法；2．既然矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此要注意到它们与一般平行四边形比较，特殊在什么地方；3．矩形、菱形在我们日常生活中都会经常遇到，学习这些知识也是为了更好的解决实际问题；4．在这部分内容的学习中，要注意提高说理的水平，真正做到出言有据．特殊四边形复习课四边形平行四边形矩形

菱形一角为90°正方形两组对边分别平行一角为直角且一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等一角为90°知识网络1．概念一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等有一个角是直角等腰梯形直角梯形平行四边形矩形菱形2．四边形的从属关系边形梯形等腰梯形直角梯形正方形3．几种特殊四边形的性质平行四边形矩形菱形正方形边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边都相等对边平行，四条边都相等角对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角对称性中心对称图形

轴对称图形、中心对称图形

轴对称图形、中心对称图形

轴对称图形、中心对称图形等腰梯形一组对边平行，另一组对边相等同一底上两角相等

轴对称图形对角线相等4．特殊四边形的常用判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．矩形（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线相等的平行四边形是矩形．菱