“杨辉三角”中的一些秘密赵

“杨辉三角”中的一些秘密二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．杨辉《详解九章算法》中记载的表1.杨辉三角第5行 1551第0行

12.杨辉三角与二项系数第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 141第6行 161561第n-1行11第n行11………………………………

1520101064见书P353.杨辉三角基本性质第5行 1551第0行

1第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 141第6行 161561第n-1行11第n行11………………………………

1520101064再探杨辉三角中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？4.横看杨辉三角中各行数字

第1行1＋1＝

第2行1＋2＋1＝4＝第3行1＋3＋3＋1＝8＝第4行1＋4＋6＋4＋1＝16＝第5行1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝．．．第n行性质1222232425(1)第n行数字的和为2n．(2)前n行(含第0行)所有数的和为2n+1

–14.横看杨辉三角中各行数字二看：2,4,8,…各行数字有何特点？一看：1，3，7，15…各行数字有何特点？三看：2，3，5，7，11…各行数字有何特点？1、第1，3，7，15，…这些行即2k-1（k是正整数）行的各个数字均为2k行除两端的1之外都是2、当行数P是质数（素数），除去两端的数字1以外，行数P整除其余所有的数。性质2奇数偶数5.斜看杨辉三角中各行数字的和从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数.5.斜看杨辉三角中各行数字的和一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第

m+1

条斜线上的第

n

个数．性质3第6行 1615201561第4行 14641第5行 15101051第3行 1331

125第7行172135352171第1行 11第0行 1第2行 121……138132134第8行182856705628815.斜看杨辉三角中各数的和1，1，2，3，5，8，13，21，34，…此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列．性质4中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．6.杨辉三角与“纵横路线图”

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？

AB

由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系707.杨辉三角与弹子游戏

在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？8.成果展示1、杨辉三角的第n行数字的和为2n。前n行（含第0行）所有和为2n-1，它恰好比第n行的和2n小1；2、杨辉三角的第1，3，7，15，…行，即第2K-1（k是正整数）行的各个数字均为奇数。3、当行数P是质数（素数），除去两端的数字1以外，行数P整除其余所有的数。4、一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第

m+1

条斜线上的第

n

个数．5、数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列．9.方法总结1、运用了联系、类比的观点看问题；2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；3、学会从多角度看问题:“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”；4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。课外研究性作业：除了以上性质（蕴含的）数字之外，还有哪些好的性质？第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……

……

……1、（04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2：33410.链接高考第1行