吉林省延边朝鲜族自治州汪清县2023年高考仿真模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

'x+y-2<0

2x-y+3》0

i.设实数”满足条件l贝！i'"+/的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

3.设，■为虚数单位，若复数z（l-i）=2+2i,则复数z等于（）

A.-2zB.2iC.-1+zD.0

4.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五

类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2

类元素相生的概率为（）

x(x+2),-2<x<0“八”、

5.已知函数，（x）满足：当工且—2,2）时，/（%）=，\二，且对任意xeR,都有〃x+4)=/(x),

log2x,0<x<2

则“2019)=(

I).log23

6.已知复数二满足z（l+i）=4-3i,其中i是虚数单位，则复数二在复平面中对应的点到原点的距离为（）

7.某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为

俯视图

4G

8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升（注：一斗为十升）.问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15（单

位：升），则输入的k的值为（）

［开始）

/输L/

A.45B.60C.75D.1（）0

9.若a<匕<0,则下列不等式不能成立的是（）

A.->-J-B.—C.\a\>\b\D.a2>b2

aba-ba

x2+x+ax<0

10.已知A,3是函数/（x）={'~图像上不同的两点，若曲线v=/（x）在点A,8处的切线重合，则

xlnx-a,x>0

实数。的最小值是（）

11

A.—1B.------C.一

22

H.二项式（土―3］展开式中，，项的系数为（）

12X）x

2835

D.-------

8

4九一y..2,

12.不等式《‘°的解集记为O,有下面四个命题:Pi:V(x,y)eD,2y-%,5；p:3(x,y)eD,2y-x..2；

、x+y,,32

P3：V(x,y)eD,2y-%,2；p&H(x,y)eO,2y-x..4淇中的真命题是()

A.P1，P2B.P2,PiC.P\,P3D.P2，P4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面向量〃，5，3满足|团=1,区1=2,a,5的夹角等于（，且（M3）・（5-E）=0,则|守|的取值

范围是.

14.已知函数小）=logJ》>1,则/（/（2））=——.

15.(31-2x-1?的展开式中，/的系数是.(用数字填写答案)

16.某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安

排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有种.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中

任选2所.

(D求甲、乙、丙三名同学都选。高校的概率；

(2)若已知甲同学特别喜欢A高校，他必选A校，另在5,C,Q,E四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没

有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所.

(0求甲同学选。高校且乙、丙都未选O高校的概率；

(«)记X为甲、乙、丙三名同学中选O高校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.

18.(12分)如图，四棱锥尸一ABC。的底面ABC。中，八钻。为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角

=120°,PC±BD,平面P8D,平面ABCD,M为必中点.

(1)求证：DM//平面P8C；

(2)若PD工PB,求二面角。一帖-3的余弦值大小.

19.(12分)己知ae(0闯，匹仁，兀)，cos0=-；,sin(a+/7)=1.

(1)求sina的值；

(2)求tan(a+f)的值.

20.（12分）如图，在三棱柱ABC-AB|G中，AC=3C=1,AB=0，4C=1，4C_L平面ABC.

A।

(1)证明：平面AACG，平面BCC4

(2)求二面角A-旦6-C的余弦值.

21.(12分)设椭圆C：》+*=l(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,已知椭圆离心率为,，过点尸且与》轴

垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设过点A的直线/与椭圆。交于点8(3不在X轴上)，垂直于/的直线与/交于点与)'轴交于点H,若

BFA.HF,且NMQ4WNM4O,求直线/斜率的取值范围.

，2

22.(10分)已知P(0,—2),点A,B分别为椭圆后：三+3=1(。>匕>0)的左、右顶点，直线秘交£于另一点

Q,AA8P为等腰直角三角形，且|PQ|：|0B|=3:2.

(I)求椭圆E的方程；

(II)设过点/，的直线/与椭圆E交于M,N两点，总使得NMON为锐角，求直线/斜率的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数,

z=x+y+lf即r=-x+z-/,z表示直线在y轴的截距加上1,

-1'

x《--,7

根据图像知，当x+y=2时，且3'J时，z=x+y+/有最大值为3.

故选：C

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

2.A

【解析】

19

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的孤例的值，当x=3,M=—>4,退出循环，输出结果.

【详解】

程序运行过程如下：

x-3,M=0；x=-|,M=-|；%=_；，用=：；

c019223

X=3,A/=；x=—fA/=；

636

1101919

x=-p；x=3,M=y>4,退出循环，输出结果为丁，

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.

3.B

【解析】

根据复数除法的运算法则，即可求解.

【详解】

z（l-z）=2+2z,z=Y^-=2Z.

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的代数运算，属于基础题.

4.A

【解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式

可得结果.

【详解】

金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为之==,故选A.

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有⑴枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；⑵树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（A，A），（4，员工...（4，4），

再（4,耳），（&,纥）..…（4,纥）依次（&,即（4，与）....（4,旦）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

5.C

【解析】

由题意可知/（2019）=/（-1）,代入函数表达式即可得解.

【详解】

由/(x+4)=/(x)可知函数/(x)是周期为4的函数，

/(2019)=/(-l+4x505)=/(-l)=-lx(-l+2)=-l.

故选：C.

【点睛】

本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.

6.B

【解析】

利用复数的除法运算化简Z,复数z在复平面中对应的点到原点的距离为Iz|,利用模长公式即得解.

【详解】

由题意知复数二在复平面中对应的点到原点的距离为IZI,

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.

7.C

【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为道，所以该几何体的体积

V=lxlx2x2x^-x^=l,故选C.

322

8.B

【解析】

根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算.

【详解】

123

由题意Sx—x—x—=15,S=60.

234

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键.

9.B

【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

选项A：由于即,沿＞0,b-a＞0,所以，一,=幺心＞0,所以!＞工，所以成立；

abahab

11〃八11

选项B：由于。＜人＜0,即Q—/?＜0,所以一-一一~~-＜0,所以一所以不成立；

a-baa(a-b)a-ba

选项C：由于a＜8＜0,所以—。＞一8＞0,所以|。|〉附I,所以成立；

选项D：由于。＜匕＜0,所以一。＞一匕＞0,所以|a|＞|",所以/＞从，所以成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等关系和不等式，属于基础题.

10.B

【解析】

先根据导数的几何意义写出/(x)在A,B两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树,

从而得出a=；(x；-02外)，令函数8口卜；*々?*)^^。)，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.

【详解】

解：当xWO时，/(x)=x2+x+a,则/'(x)=2x+l；当x＞()时，f(x)=x\nx-a

则尸(x)=lnx+l.设4(%,.”网)),3(々,〃工2))为函数图像上的两点，

当王＜々＜0或0＜玉＜彳2时，/'(xj5t/'(X2),不符合题意，故再＜0＜%2.

则/(X)在A处的切线方程为y—+玉+”)=(2演+1)(工一七)；

“X)在8处的切线方程为.V-WIn4+。=(lnx2+l)(x-x,).由两切线重合可知

整理得。专任-^^叫不妨设g(x)=；(x2_e2，)(x«o)

贝ijg(x)=x—e2，,g"(x)=i—2e2x,由g"(x)=O可得》=Jn；

则当x=_Lln，时,g'(x)的最大值为=-J<0.

22

贝雅(力=，尤2_62,在(7,0]上单调递减，则aNg(O)=-；.

故选:B.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的

难点是求出4和X的函数关系式.本题的易错点是计算.

11.D

【解析】

写出二项式的通项公式,再分析x的系数求解即可.

【详解】

二项式(AC!展开式的通项为(V)=C；W(―3)十",令7_2r=_1,得厂=4,故1项的系

数为(—3)4=等.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的运算，属于基础题.

12.A

【解析】

作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.

【详解】

作出可行域如图所示，当x=Ly=2时，(2y-x)max=3,即2〉-x的取值范围为(—8,3],所以

V(x,y)GD,2y-%,5,0为真命题；

3(%,y)eD,2y-x..2,p2为真命题；p3,p4为假命题.

故选：A

【点睛】

此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

77-73"+石

13.

22

【解析】

_£2+1

计算得到应+51="，c2-J71C\cosa-1,解得cosa="同•根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

【详解】

,___乃__

由—忑)=0可得c2=(<a+b^9c-a-b=\a^-h1*1c\cosa-\^2cos—=\a+h\9\c\cosa-1,“为万+5

与3的夹角.

再由(1+/?)=万'+力~+2日，6=l+4+2xlx2cos—=7可得+。|=，

c2+l

:.c2=y/7IC\cosa-1,解得cosa

Wi,

•••0W,...-IMosaWl,...方BP|c|2-V7|c|+l<0,解得'J£建\£RS

故答案为［书回吟^

【点睛】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

1

14.-

2

【解析】

先由解析式求得/(2),再求/(.f(2)).

【详解】

f(2)=%2=T,/(-1)=2-'=|,

所以(2))=/(-1)=：,

故答案为：—

2

【点睛】

本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”，属于容易题.

15.-25

【解析】

根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.

【详解】

由题可知：/项来源可以是：(1)取1个3f,4个—1

(2)取2个-2x,3个-1

%2的系数为：C；x3xC：(―1)4+C；(―2『C(―1)3=-25

故答案为：-25

【点睛】

本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合

的知识，属中档题.

16.156

【解析】

先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可

得到不同安排的方案数.

【详解】

安排6名老师到4个班则每班老师人数为1,1,2,2,共有C：C；C：C；=180种，

刘老师和王老师分配到一个班，共有C\C\A^=24种，

所以180—24=156种.

故答案为：156.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过“正难

则反”的思想进行分析.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8921

17.(1)—(2)(I)—(»)分布列见解析，E(X)=一

12510020

【解析】

(1)先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解；

(2)(i)分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；

(ii)X=0,1,2,3,利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.

【详解】

(1)甲从A5,C,O,E五所高校中任选2所，共有

BE,CD,CE,DE共10种情况,

甲、乙、丙同学都选。高校，共有AD,BD,CD,四种情况,

42

甲同学选D高校的概率为=

2

因此乙、丙两同学选。高校的概率为

因为每位同学彼此独立，

所以甲、乙、丙三名同学都选。高校的概率为[2]=3.

⑶125

(2)(0甲同学必选A校且选。高校的概率为!，乙未选。高校的概率为2=[,

4105

丙未选。高校的概率为右=(,因为每位同学彼此独立，

1339

所以甲同学选。高校且乙、丙都未选。高校的概率为？『分而.

(n)X=0,1,2,3,

E…“小33327…八133323c9

因此P(X=0)=—x-x-=,P(X=1)=—x-x-+—x—x-x2=一,

45510045545520

173132322_6

p(X=2)=-x—x二+—X—X—+—X—X

455455455-25

p(x=3)=-x-x-=—.

45525

即X的分布列为

X0123

27961

p

100202525

因此数学期望为

…、八27,9C6.121

E(X)=0x---F1x---P2x--F3x—=—

10020252520

【点睛】

本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的

能力，属于中档题.

18.(1)见解析；(2)叵

7

【解析】

(1)设AB中点为N,连接MN、DN,首先通过条件得出AB,加ON_LAB,可得DN//BC,进而可得

DN//平面PBC,再加上MN//平面P8C,可得平面DW?V//平面P8C,则DM//平面PBC；

(2)设8。中点为。，连接A。、CO,可得平面ABC。，加上8O_L平面PCO,则可如图建立直角坐标系

O-xyz,求出平面Z45的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【详解】

(D证明：设AB中点为N,连接MN、DN,

为等边三角形，

：.DN±AB,

•;DC=CB,NOC3=120。，

/.ZCBD=30°,

.-.ZABC=60°+30°=90°,即CBL43,

•;DNLAB,

：.DN//BC,

・.・BCu平面PBC,DNz平面PBC>

:.DN//平面PBC,

・•,MV为△P48的中位线，

:.MN//PB,

♦.•PBu平面P8C,用N<z平面P6C,

.•.加乂//平面尸8。，

■;MN、£W为平面OMN内二相交直线，

平面DMN//平面PBC,

•.•DWu平面DMN,

.•.。加//平面尸8。；

(2)设3。中点为。，连接A。、CO

•.•△ABD为等边三角形，△88是等腰三角形，且顶角N3CZ)=12()°

AO±BD,COYBD,

.•.A、C、。共线，

-.PCLBD,BD1CO,PCC\CO=C,PC,COu平面PC。

.♦.3O_L平面PCO.

•.POu平面PCO

:.BD±PO

•.・平面PBDJ>平面ABC。，交线为BD,POu平面PBD

.•.PO_L平面ABCD.

设AB=2,则AO=3

在△3C£>中，由余弦定理，得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD

又♦.♦BC=C。，

22=2BC2-2BC2-COS120°»

.rRrn2出

..Co=CLJ=-----»C(J=---->

33

PDCB,0为BD中点,

PO=-BD=\,

2

建立直角坐标系。-型（如图），则

c|-^,o,o\P(OQ1),A(疯0,0),3(0,1,0).

V3)

.•.丽=(6,-1,0),PA=(^,O,-1),

设平面QAB的法向量为〃=(x,y,z),贝！1,

n-BA—0-J3x-y=0

，一一CL，

n-PA=0y/3x—z=0

取x=l,则y=z=退，

=百)，

平面PAC的法向量为丽=(0,1,0),

c°“廊卜耦=与’

•••二面角C—P4—B为锐角，

二面角C—PA—B的余弦值大小为也.

7

【点睛】

本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.

19.(1)-(2)述

32

【解析】

(1)先利用同角的三角函数关系解得sin(3和cos(c+4)，再由sina=sin[(e+/?)一4],利用正弦的差角公式求解

即可；

(2)由(1)可得tana和tan尸,利用余弦的二倍角公式求得tan2,再由正切的和角公式求解即可.

2

【详解】

解：(1)因为尸乃),COS/?=-g,

所以sin,=Jl-cos，(5=

又ae，故a+Z?e

所以cos(a+£)=_Jl_sin2(a+夕)=

所以sina=sin[(a+4)一切=sin(a+。)cos°-cos(a+4)sin0

1](4420」

9I3)(9J33

(2)由⑴得,sina=g,ae(0,9，

所以cosa=Vl-sinl2«=^1-^"番'

的a,sinaV2

所以tana=----=---,

cosa4

nBcos?§-sin2g1-tan2g]

因为cos/?=cos2f-sin2f=-j-----专=-------吃且COS4=一；,

2cos24+sin241+tan嘴3

222

即=-\解得tai?§=2,

l+tan2y

因为所以所以tan^＞。，

所以tan/8

所以tan/a+与n\=--t-u-n-a--+--t-a-n2-^=工_^=芈cnz

I211-tanatan—1-2

22

【点睛】

本题考查已知三角函数值求值，考查三角函数的化简,考查和角公式，二倍角公式，同角的三角函数关系的应用，考查运算

能力.

20.(1)证明见解析(2)走

3

【解析】

(1)证明AC_L平面8CCM即平面4ACG，平面BCC4得证；⑵分别以所在直线为x轴，y轴.

轴，建立如图所示的空间直角坐标系。孙z,再利用向量方法求二面角A的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为耳C_L平面ABC,所以用C，AC

因为AC==1,A5=应.所以AC2+BC2=AB?.即AC±BC

又BC口与。=C.所以AC_L平面BCC.B,

因为4Cu平面4ACG•所以平面4ACGJ_平面BCCE

(2)解：由题可得BC，C4,CB两两垂直，所以分别以C4,CB,BC所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间

直角坐标系C-xyz,则A(1,O,O),C(0,0,0),8(0,1,0),。(0,0,1),所以函=(0,-1,1),丽=(一1,1,0)

设平面ABB｝的一个法向量为m=(x,y,z),

----------------f-y+z=0

由心BBi=0,mA8=0.得j、0

令x=l,得加=(1,1,1)

又CA,平面C8片,所以平面。?用的一个法向量为b=(1,0,0).

cos(m,CA)=-^==

所以二面角A-8/-C的余弦值为巫.

3

【点睛】

本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

21.(I)—+^=1(H)

43

【解析】

2b*c

(I)由题意可得二=3,e=2,a2=h2+c2,解得即可求出椭圆的C的方程；

aa

(D)由已知设直线/的方程为产左(x-2),(A#)),联立直线方程和椭圆方程，化为关于X的一元二次方程，利用根

与系数的关系求得8的坐标，再写出所在直线方程，求出”的坐标，由8几L//F,解得由方程组消去y,解

得龙，由ZMOA<NM4O,得到xM>1，转化为关于k的不等式，求得上的范围.

【详解】

(I)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3,

因为椭圆离心率e为!，所以£=二,

2a2

又。2=及+。2,

解得a=29c=l»b=5/3,

所以椭圆C的方程为三+汇=1