某中学2021-2021高一年级上册数学期中考试参考答案

高2023届高一(上)期中考试参考答案

数学

一、单项选择题

12345678

ACADDBCA

1.【解析】选A。C°B={1,3},故AnC°B={l}。

2.【解析】选C。全称量词命题的否定形式，只否定量词和结论。

3.【解析】选A。法1：令x+l=3nx=2,所以/(3)=22—2=2；

法2：令x+1=z=x=f-1,则1)2—2,所以/(3)=(3-1)2-2=2。

4.【解析】选D。因为«+121=>0<7缶41,所以/(x)的值域为(0,1]。

5.【解析】选D。首先/(忖)表示将/(X)的图象关于y轴作翻折变换，即“去左保右翻右”；

其次-/(卜|)表示将/(忖)的图象关于％轴作对称变换。

6.【解析】选Bo设方程的两根为XI,X2,则：

/△=4_4。>0

工+%=。>0=。>4o

|।2

]xx=a>0

l12

7.【解析】选C。(1+0.0201)30=[(1.01)2『=[(101)30『-142=1.96。

3232，-1

8.【解析】选A。由题：/1(x)=x---在R上单调递增，令函数g(x)=/*)+i=x-阳~p，

2'+12X+1

则函数g(x)为奇函数，且在R上单调递增，故/(a)+f®+2<0=g(a)<g(-b)oa<—b

二、多项选择题

9101112

BCCDABABC

9.【解析】A选项化简为y=k|(xH0),故定义域不相同;

B选项化简为y=|x|,定义域为R,故为相同函数；

C选项化简为y=|x|,定义域为R,故为相同函数；

D选项化简为y=x,(x>0),故定义域和解析式均不相同。

10.【解析】A选项中加<1时，判别式A=4—4/w>0,则方程Y+2x+〃?=0有两个不等根，故函数

/(X)的定义域应该在两根之外，定义域不为Ro

B选项中若m=0,则/(x)=ln(x2+2x)的定义域为(—8,—2)u(0,+oo),值域为R,没有最小值。

C选项中由于函数y=ln(x2+机一1)为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移一

22

个单位即可得到函数/(x)=ln(x+2x+m)-ln[(x+l)+m-l]的图象，此时对称轴为x=-1o

D选项中41时，判别式△=4-4机20,函数y=£+2x+"?能够取遍(0,+°°)上的每一个实

数，故函数的值域为Ro

11.【解析】A选项中马/(尤1)+&/(々)>为/(尤2)+“2/(司)化简为(花一工2)(/(%|)-/(%2))>0，故函

数在R上是增函数；

B选项中〃匹)二/*2)〉_]OI7(X])+XJ-[/(工2)+々]>0,故函数y=/(X)+X在R上是增

-x2x]-x2

函数；

C选项中，令/(x)=[x],[幻表示不超过龙的最大的整数，满足/(》+1)>/(尤)，但/(龙)在R上

不是增函数；

D选项中，令/(x)=g(x)=x,但函数y=/(x)•g(x)=/在R上不单调。

12.【解析】A选项中，ab<aa<ba,所以正确；

b(人、J

B选项中，由于一>1为一。>0,故—>1=>相">血/，，所以正确；

a\a)

C选项中，由于0<1-a<1,0<4V6V1nOg(j)a>log(l-a)力，9监(1一“)<%(1一办又

b<l=>log/?(l-&)>log/?(l—(7),所以正确；

D选项中，取4=1，匕=_,则1。8“(1+/=10813=]081匹1080+。)=1081(^

939333*39

2茫610、ilog(1+/?)=log4<log(l+a)=log10

又口丁§，故“13biy,所以不正确。

三、填空题

13141516

5(2,+¥)4［—1,1］或［0,1］或［-1,0］,14「<2

13.【解析】答案5。二次函数的对称轴为X=1€[0,3],且实数3离对称轴远，故最大值为/(3)=5。

14.【解析】答案(2,+8)。函数/(x)=In，—4)的定义域为(一叫―2)u(2,+8),函数y=/—4在

(-00,-2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增，又函数y=ln/单调递增，所以根据口诀“同增异

减”，函数/(x)=ln(x2-4)在(-8,-2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增。

15.【解析】答案4。由题：2(lna+In/>)=ln(a+2b)=>\n(ab)2=ln(a+2b)=>(ab)2=a+2b,

(a+2b}2、(a+2/?)4

a>0,b>0,又a-2b&\)2K-------------

464

故a+2b«(°钟尸=+2b)3>64=>a+2b>4,当且仅当a=2b=2时取等号。

64

16.【解析】⑴由题，令N=xnx=0,x=l,x=-1,所以或[0,1]或中任意一个均可；

123

(2)函数/(X)=2J7TT-Z在x1[T,+¥)上单调递增，若存在共鸣区间，则方程2471-%=X，

分离参数即为方程Z=2j7il-X在xf[T，+¥)上至少有两个不等实根，令g(x)=2而万-X，

利用换元法，令/=而？30口8=产-1,则y=+2f+1(73。)，结合函数图象，欲使直线

了=%与函数丁=-产+2»+1的图象有两个不同的交点，贝打4%<2。

四、解答题

17.【答案】(1)Ac(C8)=(-1,」]51,5);(2)0<〃?<4

R2

【解析】

由题，A=(—1,5),8=(=1,1),C=[m-l,m+1]

2

(1)由于C8=1x4-1时211，所以Ac(C8)=(-1,—..................................5分

R<।鼻卜R2

m—1〉一1

(2)由AUC=A得CqA,则有<=>0<m<4............................5分

m+1<5

18.【答案】(1)3;(2)-3

【解析】

(1)原式=3-坨^)^®+坨4lg3x31g2+lglO=3-l+l=3

6分

4^-

lg2逅

⑵原式=樽+严一(24。2力—)+(-8+2=—3.....................6分

19.【答案】(1)。=—1；(2)-24“<1

【解析】

⑴由奇函数的定义可知：/(-x)=-/(%),即皿巫显:-皿丝士之二,工土？，

-x+2x+2ax+2

则：ax+2=x+2Q4-x2=4-a2x2CJa=±1,

-x+2ax+2

又当。=1时，/(元)恒为0,矛盾，所以。=-1。.....................................5分

(2)・.•g(x)=«/a)在41(0，1)上单调凰%

在xT(0,l)上恒成立，且g(x)="t2=a+"2^在xT(0,l)上单调递减,

x+2x+2x+2

.♦•,(幻二8⑴二：2"且2-2a>0,解得：-2<a<l..........................7分

20.【答案】(1)/(。)=2：(2)略；(3)(定义法或复合函数法都可说明函数的单调性，均不扣分)

4

【解析】

⑴取4=6=0,有：/(0)=2..................................................2分

(2)设占，々€A且用>%,a=xt-x2,b=x2,则有：/(Xj)=/(xt-x2)+/(x2)-2

即：f(x})-f(x2)=f(x-x2)-2,由于再一々>0,则〃再一电)>2,

即：/(XI)-/(X2)=/(XI-X2)-2>0,由增函数的定义可知/(x)是R上的增函数。......4分

(3)不等式/0x47)+/(l-27)>4等价于，(fx47+1-2一、)>2=/(0),由⑵可知/(%)

是R上的增函数，故/x4-x+]_2-x>0CJf>-4x+2x在R上恒成立，下面求函数，=一4'+2'

的最大值：令m=2X,y=-m2+m,其对称轴为侬=1,故有：

2

-1C

当xI(-¥,-1)口机v_时，函数〃2=2人递增，函数y=-帆。+〃2递增，故函数y=-4"+2"递

2

增，当xI(-1,+¥)口机〉L时，函数加=2”递增，函数了=-//+加递减，故函数

2

y=-4、+2X递减，

因此，函数y=-4，+2、在x=-l时有最大值J,即所求范围为/>2...................6分

44

21.【答案】(1)/(月=*2+%+1(2)。=2或-3

【解析】

(1)用一X替换X有：/(-x)+2/(x)=3f+x+3,又/(%)+2/(-x)=3/-x+3,

联立方程可得：f(x)=x2+x+l.....................................................4分

t%2+2x+1-6T,x3a

(2)由(1)可知g(x)=\,则：

fx2+1+67,X<a

①当々3。时：

<i>当13。，函数y=/+2x+l-Q的对称轴X=-1<0£Q,所以g(x)在工7口,+¥)上递增，

其最小值为g(a)=a2+a+1；

vii>当x<a,函数y=x2+1+a的对称轴x=0£a,所以g(x)在xI(-¥,〃)上的最小值

为g(0)=a+l；

综合vi>、Vii>以及6f2+4Z+13a+1可知：尤IR时，gmin(%)=g(0)=0+1=3口4=2

②当-1vavO时：

<i>当天3。，函数y=X?+2x+1-a的对称轴x=-1<a,所以g(x)在xI[〃,+¥)上递增，

其最小值为g(a)=/+a+1；

<打>当不<。,函数y=x2+l+a的对称轴X=O>Q,所以g(x)在xI(-¥,〃)上递减，

无最小值，且g(x)>g(。)=CT+4+1在XI(-¥,a)上恒成立；

综合vi＞、＜ii＞可知：xi/?时，&而(％)=g(a)=标+。+1=3口a=-2或1,故无解

③当“£-1时：

＜i＞当函数y=/+2x+1-a的对称轴x=-134,所以g(x)在xT[a,+¥)的最小值

为g(-l)=-a；

＜ii＞当xva,函数y=》2+1+a的对称轴o＞a,所以g(x)在xI(-¥,a)上递减，无最小值

且g(x)＞g(a)=/+a+1在xI(-¥,a)上恒成立;

综合＜i＞、＜ii＞以及a2+a+\3-a可知：xIR时，gmin(x)=g(0)=-a=3Pa=-3,

综合①②③可知：a=2或-3..............................................................................................8分

22.【答案】(l)〃z=l；(2)1；(3)〃z31(定义法或复合函数法都可说明函数的单调性，均不扣分)

【解析】

1

(1)由/(1)=1得：4""=1,令k=2-™＞0,则一=1Q2k2-k-1=0

221-™+12k+15

所以上=1或％=-1(舍)，则加=1..................................................................................3分

2

(2)由(1)知函数/(x)=4--1+[=2"।[_]

2，"+12，”+1

令t=2\"+1＞1,y=r±।-2(/＞1),则：

t

-1_

当xIR时r=2*T+1递增，函数y=r+_-2在fI(1,+¥)上递增，所以函数/'(x)在R上递增,

t

-14

则当xl[,]时，/W=1乎.

I?-八广।一万’

另一方面，函数g(x)=1L)产的图象关于x=1对称，且先增后减，

2

…14

则当无“_,J时，g(X)=1五，

23扁82T

所以，当且仅当x=[时，/%)的最小值为〃；+g(1)=11.............................................4分

22

AX-m1

(3)法1：与问题(2)同理，易知函数/(九)=/____=(2(-,n+1)+-'--2在R上单增，

2"'"+1T-'n+1

f(x)x[1,)4'-">g(x)BA

,,六fV口V话M,r----------、八-a的值域为B,贝ljI,

故在I+¥上1的l值域为A=[,,+¥)，设

2'""+1

①当加£0时，当xT[0,l]时，函数g(x)=(l)xr"在xT[0,l]上递减，故8

22''"'2'm

4-11J_

设函阳(x)==(2+1)+-2)令“=2』+1>1，y=u+M-2(M>1),则:

2-+12|(+1"

.在〃1(1,+¥)上递增，所以函数7(%)在R上递减,

当xlR时，〃=2"+1递减，函数y=〃+-2

u

41m4111m

故当加£0时，_7(加)3)(0),即-------3>3()-，不满足BiA;

2bm+1322

②当0<〃z£1时，g(幻=(1)产网的图象关于x=m对称，且在[0,m)递增，在[加,1]上递减，

22

故gmax(X)=g(M=l，又”m3m,故g而/x)=g(l)=击，B=[^,1]

由情况①知L/(加)3/(立即4""32(6I)>遮=/)2-3(不满足3以；

22hm+1222

③当L〃，£l时，g(x)=的图象关于尤=机对称，且在[0,〃。递增，在的』】上递减，

22

故gmax(*)=gS)=1，又1-〃?<机，故gmiB。)=g(0)=J/§=g,l]，

，

1341m3

由8IA有：—2，,„，+1m1,所以此时m=l；

④当机>1时，当xT[0,l],函数g(x)=(5"T在上递增，故B=J。,