3.1 函数的概念及表示（精讲）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

3.1函数的概念思维导图思维导图常见考法常见考法考点一区间的表示【例1】(2019·全国高一)一般区间的表示设，且，规定如下:定义名称符号数轴表示闭区间______开区间______半开半闭区间______半开半闭区间______【答案】【解析】(1).若,写成区间形式为(2).若,写成区间形式为(3).若,写成区间形式为(4).若,写成区间形式为故答案为:(1).(2).(3).(4).不等式改写成区间表达形式,注意边界情况不等式改写成区间表达形式,注意边界情况【举一反三】1．(2019·全国高一课时练习)已知区间，则的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，区间，则满足，解得，即的取值范围为．故答案为．2．(2019·全国高一课时练习)用区间表示下列集合：(1)______；(2)______；(3)______．【答案】【解析】(1)根据集合与区间的改写，可得．(2)由或．(3)由或．3．(2019·全国高一课时练习)用区间表示下列集合：______；______；______；______.【答案】【解析】集合表示大于的所有实数，可用开区间表示为；集合表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示小于或等于的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为.考点二函数的判断【例2-1】(2020·浙江高一开学考试)下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C．【例2-2】(2019·浙江湖州.高一期中)下列对应关系是从集合到集合的函数的是()A．，，：B．，，：C．，，：D．，，：【答案】D【解析】A.，，：不是函数关系，∵当x＝0时，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函数关系；B.，，：的定义域是，不是，当时，无意义，∴不是函数关系；C.，，：的定义域是，不是，当是负整数时，无意义，∴不是函数关系；D.，，：是函数关系.故选：D【举一反三】1．(2020·上海高一课时练习)如图所示，表示函数图像的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项B的图象满足这一点．故选：B．2．(2020·上海高一课时练习)下列各图中能作为函数图像的是()．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】A【解析】对①②，对于定义域内的任意一个，都有唯一的值与对应，则①②正确；对③，在内，此时一个有两个值与对应，则③错误；对④，在内，此时一个有两个值与对应，则④错误；故选：A3．(2020·全国高一课时练习)判断下列对应是否为函数：(1)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；(2)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；(3)x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.【答案】(1)不是；(2)是；(3)是【解析】(1)根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数；(2)根据函数概念，当时，，所以对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；(3)根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；考点三定义域【例3-1】(2020·上海高一开学考试)函数的定义域为()A． B．C． D．【答案】C【解析】由，解得x≥且x≠2．∴函数的定义域为．故选：C．【例3-2】(2020·全国高一)已知的定义域为，(1)求的定义域；(2)求的定义域【答案】(1)(3，5)；(2).【解析】(1)的定义域为，，则，即的定义域为；(2)的定义域为；由得，即的定义域为．抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.（3）对于抽象函数定义域的求解，（1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式.（4）若复合函数的定义域为，则函数的定义域为在上的值域.【举一反三】1．(2019·浙江高一期中)函数的定义域是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D2．(2019·内蒙古集宁一中高三月考)函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，所以函数的定义域为.故选A.3．(2020·浙江高一课时练习)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．【答案】【解析】由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函数f(2x＋1)的定义域为4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))设的定义域为，则函数的定义域是___________.【答案】【解析】∵函数的定义域为，∴函数满足，解不等式，得，即函数的定义域是，故选A5．(2020·全国高一)已知函数的定义域为，求的定义域.【答案】【解析】由题意，函数的定义域为，则函数满足，解得，即，即函数的定义域为.6(2020·全国高一)已知函数的定义域为[1，4]，求的定义域.【答案】∪.【解析】由，得，即或，解得x≤，或.∴函数的定义域为(-∞，]∪[，+∞).考点四解析式【例4】(2020·全国高一课时练习)根据下列条件，求f(x)的解析式.(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；(3).【答案】(1)f(x)＝x＋3；(2)f(x)＝x2＋2x－2；(3)【解析】(1)解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.(2)设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.(3)解，将原式中的x与互换，得.于是得关于f(x)的方程组解得.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)根据下列条件，求f(x)的解析式.(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；(2)f(2x＋1)＝6x＋5；(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.【答案】(1)或；(2)f(x)＝3x＋2；(3).【解析】(1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性质，得或∴所求函数解析式为或(2)设2x＋1＝t，则∴f(x)＝3x＋2.(3)将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，2．(2020·全国高一)(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式；(2)已知是二次函数，且满足，，求的解析式．【答案】(1)或；(2)．【解析】(1)设，则，又，所以，，解得或，因此，或；(2)，则，，即，即，所以，解得.因此，.3．(2019·山西高一月考)(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式．【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题意得：定义域为设，则(2)由…①得：…②①②联立消去得：考点五函数值【例5】(2020·浙江高一课时练习)若函数，那么()A．1 B．3 C．15 D．30【答案】C【解析】由于，当时，，故选C.【举一反三】1．(2020·浙江杭州高二期末)已知，则()A．15 B．21 C．3 D．0【答案】D【解析】根据的解析式，有.故选：D2．(2020·上海高一课时练习)已知，则_________．【答案】【解析】，，所以故答案为：3．(2020·全国高一课时练习)若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________.【答案】【解析】.故答案为：4．(2018·浙江下城.杭州高级中学高一期中)若函数，则______________．【答案】-1【解析】当时,故.故答案为：考点六相等函数【例6】(2019·内蒙古集宁一中高三月考)下列四组函数中,表示同一函数的是()A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A:，，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.故选A.根据定义域和对应关系是否同时相等来判断是否为同一函数根据定义域和对应关系是否同时相等来判断是否为同一函数【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).(1)y＝x－1和y＝；(2)y＝x0和y＝1；(3)f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝和g(x)＝.【答案】(4)【解析】(1)的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；(2)的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；(3)两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数；(4)因为两个函数的定义域均为，且，故两函数是同一个函数.故答案为：(4)2．(2020·全国高一课时练习)下列函数；；；与函数是同一函数的是________.【答案】【解析】定义域是，所以与函数不是同一函数；定义域是，所以与函数不是同一函数；，所以与函数是同一函数；，所以与函数不是同一函数.故答案为：3．(2020·全国高一课时练习)下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.①，；②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：③，；④，.【答案】②【解析】①，，存在对应两个的情况，所以不是A到B的函数；②符合函数的定义，是A到B的函数；③，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数；④，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数.故答案为：②考点七分段函数【例7-1】(2020·上海高一开学考试)已知函数，则的值为()A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】由题意得,,,,所以,故选：A.【例7-2】(2020·全国高一课时练习)设函数若f(a)＝4，则实数a＝()A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2【答案】B【解析】当时，，解得；当时，，解得，因为，所以，综上，或，故答案选【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)设，则等于()A．1 B．0 C．2 D．-1【答案】C【解析】,.故选:C.2．(2020·全国高一课时练习)已知