黑龙江省龙东地区（农垦森工）2021年中考数学真题试卷(答案+解析)

黑龙江省龙东地区（农垦森工）2021年中考数学试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.下列运算中，计算正确的是（）

A.m24-m3=2msB.（—2a2）3=-6a6

C.（a—b）2=a2—b2D.V6-r-V2=V3

2,下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

3.如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（）

Bafi，由

4.一组数据：3,4,4,4,5,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

5.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染

的人数是（）

A.14B.11C.10D.9

6.已知关于x的分式方程整=1的解为非负数，则m的取值范围是（）

A.m>—4B.m>—4且m大一3C.m>—4D.m>—4且znK—3

7.为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买

甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10

元，则购买方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边ADly轴，垂足为E,顶点A在第二象限，顶点B在y

轴正半轴上，反比例函数y=；（k彳0,x>0）的图象同时经过顶点C、D.若点C的横坐标为5,

BE=2DE,则k的值为（）

9.如图，平行四边形ABFC的对角线xG（1,e）相交于点E,点。为2C的中点，连接B0并延长,

交FC的延长线于点D,交AF于点G,连接AD.0E,若平行四边形ABFC的面积为48,则

SAE0C的面积为（）

A.4B.5C.2D.3

10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，点E在BC的延长线上，连接DE,点

F是DE的中点，连接OF交CD于点G,连接CF,若CE=4,OF=6.则下列结论：①

GF=2；（2）0D=V20G;③tan^CDF=1；（4）Z0DF=ZOCF=90°;⑤点D到CF的距离

为笫.其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤

二、填空题（共10题；共11分）

11.截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二.将数据14.14万用科

学记数法表示为.

12.在函数丫=々中，自变量x的取值范围是______

x-s

13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一

个条件，使矩形ABCD是正方形.

14.一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小

球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概

率是.

15.关于x的一元一次不等式组3”一有解，则a的取值范围是

3%—4<5

16.如图，在。。中，AB是直径，弦AC的长为5cm,点D在圆上，且ZADC=30°,则O。的

半径为.

17.若一个圆锥的底面半径为1cm,它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为

cm.

18.如图，在RtAAOB中，408=90。，OA=4,OB=6,以点。为圆心，3为半径的。

。，与OB交于点C,过点C作CD1OB交AB于点D,点P是边04上的顶点，则PC+PD的最

小值为.

19.在矩形ABCD中，AB=2cm,将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD

交于点E,且。E=3cm,则矩形ABCD的面积为cm2.

20.如图，菱形4BCD中，ZABC=120°,4B=1,延长CD至4,使DAr=CD,以&C

为一边，在BC的延长线上作菱形&CGD1,连接AAi,得到AADAr；再延长G5至4，使

。遇2=，以42cl为一边，在CC］的延长线上作菱形42cle2。2，连接必力2，得到

44”遇2……按此规律，得到44202。。202。42021，记AADA1的面积为S1,44中送2的面积为

52.....^^2020^2020^2021的面积为52021,则52021=-

D,

三、解答题(共8题；共97分)

21.先化简，再求值：(a-+4，其中a=2tan45°+1.

'a+l7a2-l

22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，AABO的三个

顶点分别为y1(-1,3),5(-4,3),0(0,0).

(1)画出AABO关于x轴对称的AAXBXO,并写出点名的坐标；

(2)画出AABO绕点。顺时针旋转90°后得到的AA2B2O,并写出点B2的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长(结果保留n).

23.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a0)与x轴交于点4(1,0)和点8(-3,0),与y轴交于点C,连接

BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求ABOC的面积.

24.为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛,

现随机抽取部分学生的成绩分成A、8、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计

图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查中共抽取学生；

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和8等级的学生共有多少名？

25.一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀

速行驶.已知轿车比货车每小时多行驶20km.两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶.两车之间的

距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示的折线AB-BC-CD-DE,结合图象回

答下列问题：

(2)求两车的速度分别是多少km/h?

(3)求线段CD的函数关系式.直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km?

26.在等腰ZL4DE中，AE^DE,AABC是直角三角形，ZCAB=90°,ZABC=\^AED,连

接CD、BD,点F是BD的中点，连接EF.

(2)当ZEAD=45°，把AABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当

ZEAD=60°,点8在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量

关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

27."中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔

资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农

机具和3件乙种农机具共需3万元.

(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万

元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

28.如图，在平面直角坐标系中，AAOB的边04在x轴上，CM=48,且线段04的长是方程%2-

4x-5=0的根，过点B作BE，x轴，垂足为E,tan/BAE=g,动点M以每秒1个单位长度的速

度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止.过点M作x轴的垂线，垂足为D,以MD为

边作正方形MDCF,点C在线段0A上，设正方形MDCF与AAOB重叠部分的面积为S,点M的运

动时间为＞0)秒.

(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P,使以4、0、P为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】D

【考点】完全平方公式及运用，二次根式的乘除法，合并同类项法则及应用，积的乘方

【解析】【解答】解：A、m2与m3不是同类项，所以不能合并，故不符合题意；

B、(-2a2)3=-8a6,故不符合题意；

C、(a—/?)2=a2—2ab+b2,故不符合题意；

D、石+夜=旧，故符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据合并同类项法则，幕的乘方，积的乘方，完全平方公式，二次根式的除法法则计算求解即

可。

2.【答案】D

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；

D、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；

故答案为：D.

【分析】在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180。,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形

叫做中心对称图形。在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的

图形叫做轴对称图形。根据中心对称图形和轴对称图形的定义对每个选项一一判断求解即可。

3.【答案】C

【考点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得：

该几何体的主视图是

故答案为：C.

【分析】根据几何体和主视图的定义对每个选项一一判断求解即可。

4.【答案】D

【考点】分析数据的集中趋势

【解析】【解答】解：由题意得：

原中位数为4,原众数为4,原平均数为父=一=4,原方差为52=

[(3-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)2]2

-------------------------------------------------------------；

55

去掉一个数据4后的中位数为个=4,众数为4,平均数为元=勺比=4,方差为2

24S=

[(3-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)211

4―2'

•••统计量发生变化的是方差；

故答案为：D.

【分析】根据众数，中位数，平均数和方差的定义计算求解即可。

5.【答案】B

【考点】一元二次方程的实际应用-传染问题

【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：

1+x+x(l+x)=144,

解得：%!=11,%2=-13(舍去)，

故答案为：B.

【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。

6.【答案】B

【考点】分式方程的解及检验，解分式方程

【解析】【解答】解：由关于x的分式方程片=1可得：*=巴/，且X：1

ZX-1N2

方程的解为非负数，

等20,且等大:，

解得：m2-4且zn#-3,

故答案为：B.

【分析】先求出％=等，且，再计算求解即可。

7.【答案】A

【考点】二元一次方程的应用

【解析】【解答】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：

15x+10y=180,

3

y=18-二,

*.e%>0,y>0,且X、y都为正整数，

.,•当％=2时，则y=15；

当％=4时，贝！Jy=12；

当％=6时，则y=9；

当％=8时，贝！Jy=6；

当％=10时，则y=3；

二购买方案有5种；

故答案为：A.

【分析】先求出15%+10y=180,再根据》〉0,y〉0,且x、y都为正整数,计算求解即可。

8.【答案】A

【考点】勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：.二四边形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,AD“BC,

ADly轴，

•••/DEB=ZAEB=90°,

/DEB=ZCBO=90°,

•・•点C的横坐标为5,

.•.点C（5,$,AB=BC=CD=AD=5,

BE=2DE,

设DE=x,BE=2x,则AE=5—x,

在RtAAEB中，由勾股定理得：（5一x）2+4/=25,

解得：刈=2,X2=0（舍去），

DE=2,BE=4,

.•.点。（25+4）,

•••2X岑+4）=k,

解得：k=y;

故答案为：A.

【分析】先求出NDEB=NCB。=90°,再利用勾股定理求出与=2,小=。（舍去），最后计算求解

即可。

9.【答案】C

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：..•四边形ABFC是平行四边形，

AB=FC,AB//FC,AE=EF,S^AFC=\saABFC,

••,平行四边形ABFC的面积为48,

•'SAAFC=3s“ABFC=24,

•点。为AC的中点，

OEi/CFi/AB,OE=^CF=^AB,

A0EGs△BAG,△AOEACF,

.c_1c_jEG_°E_1

一AAO£-—，AG~AB~2,

EG=-AE,

3

•・,&OEG和Zk/OE同高不同底，

S^OEG=3sMOE=2,

故答案为：c.

【分析】先求出SfFC=3S58FC=24，再求出△OEGs^BAG,i^AOE^LACF,最后求解即可。

10.【答案】C

【考点】正方形的性质，四边形的综合

【解析】【解答】解：:四边形ABCD是正方形，

BC=CD,BO=0D=0A=OC,/BDC=45°,/BCD=ZDCE=90°,AC1BD,

,点尸是。E的中点，

OF=3BE,OF“BE,

OF=6,CE=4,

BE=12,贝ijCD=BC=8,

OFIIBE,

△DGFs△DCE,

.DG_GF_1

•・CD~CE~2'

GF=2,故①符合题意；

点G是8的中点，

OG±CD,

ZODC=45",

DOC是等腰直角三角形，

•1.OD=V20G,故②符合题意；

；CE=4,CD=8,ZDCE=90°,

：.tanzfCDE=g=i,故③符合题意；

tanDE=-^1,

2

・•・NCDEH450，

ZODF90°,故④不符合题意；

过点。作DH_LCF,交CF的延长线于点H,如图所示：

••・点F是CD的中点,

CF=DF,

，ZCDE=4DCF,

1

tanDE=tan/DCF=-,

设DH=x,则C4=2x,

在RtZiDMC中，%2+4x2=64,

解得：x=士殁，

A£>H=W,故⑤符合题意；

・•.正确的结论是①②③⑤；

故答案为：C.

【分析】利用正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，结合图形，对每个结论一一判断求解即可。

二、填空题

1L【答案】1.414x105

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：由题意得：14.14万=141400,

将数据14.14万用科学记数法表示为1.414x105；

故答案为1.414x105.

【分析】将一个数表示成axion的形式，其中14间<10,n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学

记数法的定义计算求解即可。

12.【答案】

【考点】分式有意义的条件

【解析】【解答】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为。的条

件，要使太在实数范围内有意义，必须x—5。0=**5♦

【分析】根据分式分母不为0的条件，可得：x-5。o，进而得到x的取值范围.

13.【答案】AC±BD（答案不唯一）

【考点】正方形的判定

【解析】【解答】解：.；四边形ABCD是矩形，

•••根据”一组邻边相等的矩形是正方形"可添加：AB=4。或4B=CB或BC=CD或AD=CD,

根据"对角线互相垂直的矩形是正方形"可添加：AC±BD,

故答案为AC_L8D（答案不唯一）.

【分析】根据正方形的判定求解即可。

14.【答案】；

【考点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：由题意得：

两次摸出小球教不之和

两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是p=g;

故答案为g.

【分析】先画树状图，再求出两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是p=l即可。

15.【答案】a<6

【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：由关于X的一元一次不等式组—可得：S<x<3,

不等式组有解，

]<3,

解得：a<6；

故答案为a<6.

【分析】先求出1<x<3,再求出三<3,最后计算求解即可。

16.【答案】5cm

【考点】含30。角的直角三角形，圆周角定理

【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：

C

ZADC=30°,

•••/ABC=NADC=30°，

•••AB是直径，

ZACB=90°,

AC~5cm)

AB—2AC—10cm,

---Oo的半径为5cm；

故答案为5cm.

【分析】先求出4CB=90°，再求出AB=24C=10cm，最后计算求解即可。

17.【答案】4

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：设母线长为R，由题意得：

»nnnR

I=2nr=—

180

90nR

27r=

180

解得：R=4,

.,・这个圆锥的母线长为4cm,

故答案为4.

【分析】先求出2兀=鬻，再求出R=4,最后作答即可。

loU

18.【答案】2VIU

【考点】相似三角形的判定与性质，圆-动点问题

【解析】【解答】解：延长C。，交。。于一点E,连接PE,如图所示:

05=6,以点。为圆心，3为半径的。。，

0C=BC=0E=3,

NA0B=90°，CDL0B,

■■■/BCD=ZAOB=90°,

CDifOA,CP=PE,

△BCDBOA,

.CD_BC_1

•・OA~OB~2f

•/0A=4f

・•.CD=2,

*/CP=PE,

・•.PC+PD=PE+PD,

则要使PC+PD的值为最小，即PE+P。的值为最小，

・•・当。、P、E三点共线时最小，即PE+PD=DE,如图所示：

丁.在RSDCE中，DE=VCD2+CF2=2^10,

PC+PD的最小值为2国;

故答案为2VIU.

【分析】先证明ABC。,再求出PC+PC=PE+PD,最后利用勾股定理计算求解即可。

19.【答案】6+2A/5或6—2>/5

【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：..•四边形ABCD是矩形，

4=90°,

①当点E在线段AD上时，如图所示：

F

A

由折叠的性质可得/=4=90°,AE=EF,AB=DF=2cm

DE—3cm,

22

•••在RtADFE中，EF=y/DE-DF=V5cm，

AD=4E+DE=(3+V5)cm,

矩形2

SABCD=AB-AD=(6+2V5)cm；

②当点E在线段AD外时，如图所示：

由轴对称的性质可得BE=DE=3cm,

22

在RtAEAB中，AE=>JBE-AB=V5cm,

AD=DE-AE=（3-V5）cm,

S2

^ABCD=AB-AD={6-2V5）cm；

综上所述：矩形ABCD的面积为（6+2通）cm?或（6-2花）；

故答案为6+2遍或6-2石.

【分析】先求出4=90°,再分类讨论，利用勾股定理和矩形的面积公式计算求解即可。

20.【答案】24038-V3

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：：四边形ABCD是菱形，

AB=AD=CD=1,AD“BC,AB“CD,

•••4BC=120",

•••/BCD=60°,

ZADAr=/BCD=60°,

DAr=CD,

DA1=AD,

•••^ADAr为等边三角形，

同理可得•……/42。2。。2。2。4021都为等边三角形，

过点B作BEJ_CD于点E,如图所示：

BE=BC-smZBCD=—，

2

2

Si=-BE=—AXD=叵,

N44

2222

同理可得：S2=^A2D1=yx2=V3,S3=^A3D2=X4=4V3.....

2n4

,由此规律可得：Sn=V3-2~,

•••S2021=bX22X2021-4=2仞38.6.

故答案为2钝38.V3.

【分析】先求出为等边三角形，再利用三角形的面积公式，找出规律，计算求解即可。

三、解答题

21.【答案】解：原式=马巴竺*老二,

a+1a2a

丁a=2tan450+1,

•*-a=2xl+l=3,

代入得：原式=当=I.

【考点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】先化简分式，再将a=3代入计算求解即可。

22.【答案】(1)解：如图所示:

由图象可得为(-4,-3):

(2)解:如图所示:

由图象可得

B2(3,4);

(3)解：由(2)的图象可得：点B旋转到点B2所经过的路径为圆弧,

,OB=V32+42=5,

•・•点B旋转到点B所经过的路径长为［=黑=管=芋

2lol)loUN

【考点】弧长的计算，作图-轴对称

【解析】【分析】(1)先作图，再根据平面直角坐标系求点的坐标即可；

(2)根据旋转的性质先作图，再求点的坐标即可；

(3)先利用勾股定理求出0B=5,再利用弧长公式计算求解即可。

23.【答案】(1)解：把点4(1,0)和点8(—3,0)代入抛物线y=a/+bx+3(a^0)可得:

，解得：｛「一.

9a-3b+3=0b=—2

「•抛物线的解析式为y=-/一2x+3；

(2)解：由(1)可得抛物线的解析式为y=-%2-2%+3,

・•・C(0,3),

OB=3,OC—3,

119

S&BOC=-OBOC=-x3x3=-.

【考点】待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)先求出C(0,3),再求出OB=3,OC=3,最后利用三角形的面积公式计算求解即可。

24.【答案】(1)100

(2)解:由题意得:

C等级的人数为100x20%=20(名)，B等级的人数为100-26-20-10-4=40(名)，

则补全条形统计图如图所示：

抽样成绩条形统计图

（3）解：由（2）可得：

360°X空=144°；

100

答：B等级所对应的扇形圆心角的度数为144°.

（4）解：由（2）及题意得：

1200x竺四=792（名）；

100

答:这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名.

【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图

【解析】【解答】解：（1）由题意得：

26+26%=100（名），

故答案为100；

【分析】根据扇形统计图和条形统计图中的数据计算求解即可。

25.【答案】（1）180

（2）解：设货车的速度为mkm/h,则轿车的速度为（m+20）km/h,由图象可得轿车与货车在1小时时相

遇，则根据相遇问题可得：

（m+m+20）x1=180,

解得：m=80,

轿车速度为80+20=100km/h；

答：货车速度为80km/h,轿车速度为100km/h.

（3）解：由（2）可得货车速度为80km/h,轿车速度为100km/h；则由图象可知点D所表示的实际意义

是轿车已到达终点甲地，它们中途休息的时间为0.5小时，

•••轿车到达终点的时间为180+100+0.5=2.3h,

；.点£＞（2.3,144）,C（1.5,0）,

设线段CD的解析式为y=kx+b，把点C、D代入得：

（1.5/c+b=0（k=180

（2.3fc+b=144'解得：0=-270'

•••线段CD的解析式为y=180x-270,

当两车在相遇前相距20km时，则有：80x+20+100%=180,

解得：x=|,

当两车在相遇后相距20km时,则有80(x-0.5)+100(%-0.5)-20=180,

解得：,

lo

货车出发旨或芸h时，与轿车相距20km.

7111O11

【考点】待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，通过函数图象获取信息并解决问题

【解析】【解答】解：(1)由图象及题意可得：

甲、乙两地之间的距离是180km,

故答案为180；

【分析】(1)根据函数图象和题意求解即可；

(2)先求出(m+m+20)x1=180,再解方程求解即可；

(3)先求出点£>(2.3,144),C(1.5,0),再利用待定系数法求出线段CD的解析式为y=180x-

270,最后计算求解即可。

26.【答案】(1)解：•••4E=DE,ZEAD=45°，

■■■ZADE=ZEAD=45°,

ZAED=90°,

:点F是BD的中点，

EF=-BD,

2

ZABC=-ZAED,

2

・•・ZABC=45",

ZCAB=90°，

・•.△ACB是等腰直角三角形，

丁ZBAD=ZCAD=45°，

•••AD垂直平分BC,

・•.CD=BD,

EF=3CD；

(2)图②中EF=^CD,图③中EF百CD

【考点】三角形的综合，三角形■动点问题

【解析】【解答】解：⑵解：图②中EF=\CD,图③中EF=^CD,理由如下：

图②：取CD的中点”，连接AH、EH、FH,如图②,

D

ABF

H0

•/AE=DE,NE4D=45°，

「・4DE=ZEAD=45",

ZAED=90°,

ZABC=-ZAED,

2

ZABC=45"，

,・•点F是BD的中点，

/.FH”BC,AH=DH=：CD,

EH垂直平分AD,ZHFA=NCB4=45°,

/.ZEHF=N£4F=45°,

・・・点A、E、F、H四点共圆，

,/ZHFA=4£4F=45°,

・•.AH=EF,

1

EF=^CD-

图③：如图③，取BC的中点G,连接GF并延长，使得GM=CD连接。M、EM、EG，AG

AE=DE,ZEAD=60°，

△ADE是等边三角形，

NAED=NADE=60°,

ZABC=-ZAED,

2

ZABC=30"，

ZCAB=90°,

ZCAD=30°,ZACB=60°,

•••ZAGB=90°，

AG—CG,

・•.△AGC是等边三角形,

・•.AC=CG,

•・・点F是BD的中点，

・•・GM“CD,

••・四边形CGMD是平行四边形，

.・.AC=CG=DM,CG,ZGCD=Z.DMG,

・•・ZGDM=ZAGB=90°,

・•・/EDM=30°,

・•・NCAD=ZMDE,

•・•AD=DE,

・•.△ACD^△DME(SAS),

・•.CD=EM,ZEMD二NDCA,

••・ZACB+ZGCD=NDMG+ZEMG,

・•・ZACB=ZEMG=60",

・•.△EMG是等边三角形，

.・・点F是BD的中点，

・•.BF=DF,

•・,BC//DM,

・•・NGBF=ZMDF,

丁NGFB=ZMFD，

△GFB*MFD(ASA),

・•.GF=MF,

/.EF±GM,

EF=EM-sxnZEMG=—EM=—CD.

22

【分析】(1)先求出EF=；BD,再求出AD垂直平分BC,最后计算求解即可；

(2)结合图形，根据等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，锐角三角函数，再结合函数图象求

解即可。

27.【答案】(1)解：设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得：

2%+y=3.5

(x+3y=3'

解得：｛>联

答：购进1件甲种农机具需L5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元.

(2)解：由题意得：购进乙种农机具为(10-m)件，

9.8<1.5m+0.5(10-m)<12,

解得：4.8<m<7,

••-m为正整数，

m的值为5、6、7,

共有三种购买方案：

购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件,

乙种农机具3件；.

(3)解：设购买农机具所需资金为w万元，则由(2)可得w=m+5,

,.11>0,

二w随m的增大而增大，

，当m=5时,w的值最小，最小值为w=5+5=10,

答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金