5.7 三角函数的应用（精讲）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

5.7三角函数的应用思维导图思维导图常见考法常见考法考点一模型y=Asin(wx+ψ)+B【例1】(2020·上海静安·高一期末)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.(1)求的值；(2)求这段时间水深(单位：)的最大值.【答案】(1)；(2)这段时间水深的最大值是.【解析】(1)图知：，因为，所以，解得：.(2).所以，这段时间水深的最大值是.【举一反三】1．(2020·浙江高一课时练习)设是某港口水的深度(米)关于时间(时)的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：时03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A．B．C．D．【答案】A【解析】在给定的四个选项中，我们不妨代入及，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A，故选A.2．(2020·新乡市第一中学高一月考)海水具有周期现象，某海滨浴场内水位y(单位：m)是时间t(，单位：h)的函数，记作，下面是某天水深的数据：t03691215182124y21.511.521.511.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.(1)根据以上数据，求出函数一个近似表达式；(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00，有多长时间可以开放?【答案】(1)；(2).【解析】(1)，∴，，，过点，∴，则，∴，∴的一个解析式可以为.(2)由题意得：即，，或，解得或，又，解得，又∵∴，所以开放时间共4h.考点二圆周运用【例2】(2020·浙江高一课时练习)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置.若初始位置为，当秒针从(注此时)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为A． B．C． D．【答案】C【解析】时刻，经过的圆弧角度为，则以轴正方向为始边，所在射线为终边，对应的角度为，则对应的角度为，由可知在单位圆上，所以时刻的纵坐标，故选C【举一反三】1．(2020·浙江高一课时练习)一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin【答案】B【解析】过点作地面平行线，过点作的垂线交于D点．点在上逆时针运动的角速度是，∴分钟转过的弧度数为，设，当时，，，当时，上述关系式也适合．故．2．(2020·株洲市九方中学月考)随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场PQCR.(1)设，试写出停车场PQCR的面积S与的函数关系式；(2)求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值(数据精确到个位).(注：当时，)【答案】(1)(2)最大值是1322平方米，最小值是950平方米.【解析】(1)∵，延长RP交AB于M，则，，∴..故矩形PQCR的面积为：..(2)令，则.∴.故当时，，当时，.所以长方形停车场PQCR面积的最大值是1322平方米，最小值是950平方米.3．(2020·河南宛城·南阳中学高一月考)如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在弧上(异于点)，过点做，垂足分别为，记，