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文档简介
第12讲函数的图象夯实基础【p30】【学习目标】熟练掌握基本初等函数的图象;掌握函数作图的基本方法(描点法和变换法),会依据解析式迅速作出函数图象,会根据图象解决相关问题.【基础检测】1.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是()【解析】由函数定义知,定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应,A、B、D选项中的图象都符合;C项中对于大于零的x而言,有两个不同的值与之对应,不符合函数定义.故选C.【答案】C2.函数f(x)=eq\f(x,|x|)的图象是()【解析】由题意得,f(x)=eq\f(x,|x|)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1,x>0,,-1,x<0,))所以函数的图象如选项C所示.故选C.【答案】C3.把函数y=log2(x-1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍,再向右平移eq\f(1,2)个单位长度所得图象的函数的解析式为()A.y=log2(2x+1)B.y=log2(2x+2)C.y=log2(2x-1)D.y=log2(2x-2)【解析】把函数y=log2(x-1)图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍,得到y=log2(2x-1)的图象,再向右平移eq\f(1,2)个单位长度,所得函数的解析式为y=log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))-1))=log2(2x-2).故选D.【答案】D4.函数f(x)=eq\f(x,ecosx)的大致图象为()【解析】令f(x)=eq\f(x,ecosx),则f(-x)=eq\f(-x,ecos(-x))=-eq\f(x,ecosx)=-f(x),即函数的图象关于原点对称,排除选项C,D;当x=eq\f(π,2)时,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=eq\f(π,2)>0,排除选项B;所以选A.【答案】A【知识要点】1.基本初等函数(一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数)的图象2.作图方法:描点法,变换法.(1)描点法作图的基本步骤:①求出函数的__定义域和值域__.②找出__关键点__(图象与坐标轴的交点,最值点、极值点)和__关键线__(对称轴、渐近线),并将关键点列表.③研究函数的基本性质(__奇偶性、单调性、周期性__).若具有奇偶性就只作右半平面的图象,然后作关于原点或y轴的对称图形即可;若具有单调性,单调区间上只需取少量代表点;若具有周期性,则只作一个周期内的图象即可.④在直角坐标系中__描点、连线__成图.(2)变换作图法常见的变换法:__平移变换__、__伸缩变换__和__对称变换__,具体方法如下:平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上下平移变换(针对函数值整体).①左右平移变换(左加右减),具体方法是:eq\x(y=f(x))eq\o(→,\s\up7(将函数图象向左平移),\s\do5(b(b>0)个单位长度))eq\x(y=f(x+b)),eq\x(y=f(x))eq\o(→,\s\up7(将函数图象向右平移),\s\do5(b(b>0)个单位长度))eq\x(y=f(x-b)).②上下平移变换(上正下负),具体方法是:eq\x(y=f(x))eq\o(→,\s\up7(将函数图象向上平移),\s\do5(h(h>0)个单位长度))eq\x(y=f(x)+h),eq\x(y=f(x))eq\o(→,\s\up7(将函数图象向下平移),\s\do5(h(h>0)个单位长度))eq\x(y=f(x)-h).3.识图:通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等.4.用图:利用函数的图象可以讨论函数的性质,求最值,确定方程的解的个数,解不等式等.数形结合,直观方便.典例剖析【p30】考点1作函数的图象eq\a\vs4\al(例1)作出下列函数的图象:(1)y=eq\f(2-x,x+1);(2)y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x+1|);(3)y=|log2x-1|.【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠-1}.y=eq\f(2-x,x+1)=-1+eq\f(3,x+1),因此由y=eq\f(3,x)的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到函数y=eq\f(2-x,x+1)的图象,如图①所示.(2)先作出y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x),x∈[0,+∞)的图象,然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x+1|)的图象,如图②所示.(3)先作出y=log2x的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方来,即得到y=|log2x-1|的图象,如图③所示.【小结】画函数图象的2种常用方法:(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.考点2函数图象的识别eq\a\vs4\al(例2)(1)函数y=eq\f(|x|e-x,x)的图象的大致形状是()【解析】由函数的解析式先确定定义域,通过分类讨论去绝对值,利用函数图象的变换,得函数的解析式.由函数的表达式知:x≠0,y=eq\f(e-x|x|,x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e-x,x>0,,-e-x,x<0,))所以它的图象是这样得到的:保留y=e-x,x>0的图象部分,将x<0的图象部分关于x轴对称.【答案】D(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为()【解析】解法一:由y=f(x)的图象知f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x,0≤x≤1,,1,1<x≤2.))当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],所以f(2-x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1,0≤x<1,,2-x,1≤x≤2,))故y=-f(2-x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-1,0≤x<1,,x-2,1≤x≤2.))解法二:当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当x=1时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项,故选B.【答案】B(3)已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x,x≤1,,log\s\do9(\f(1,3))x,x>1,))则y=f(x+1)的图象大致是()【解析】作出f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x,x≤1,,log\s\do9(\f(1,3))x,x>1))的图象,如图.再把f(x)的图象向左平移一个单位,可得到y=f(x+1)的图象.故选B.【答案】B【小结】函数图象的辨识可从以下几方面入手:(1)从函数的定义域判断图象的左右位置;从函数的值域判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性;(4)从函数的周期性判断图象的循环往复;(5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等.函数的图象必须与函数的性质有机结合起来,实现“数”与“形”的完美结合,不要将二者割裂开来.考点3函数图象的应用eq\a\vs4\al(例3)(1)奇函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-5,5)),若x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,5))时,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象如图所示,则不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))<0的解集为____________.【解析】奇函数的图象关于原点对称,所以根据图象可得当x>0时,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,5)),当x<0时,不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,0)),所以不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,5)).【答案】(-2,0)∪(2,5)(2)已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx,x>0,,ax+2,x≤0))(a∈R),若函数y=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))-a有三个零点,则实数a的取值范围是()A.a≥-2B.0<a<1C.1≤a<2D.a>2【解析】当a=0时,eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))=0只有一个零点1,舍去;当a<0时,eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))=a没有零点,舍去;当a>0时,由图知a>2,选D.【答案】D【小结】(1)研究函数性质:①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.②从图象的对称性,分析函数的奇偶性.③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.④从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.【能力提升】eq\a\vs4\al(例4)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2-2x+\f(1,2))).若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是______________.【解析】先画出y=x2-2x+eq\f(1,2)在区间[0,3)上的图象,再将x轴下方的图象对称到x轴上方,利用周期为3,将图象平移至区间[-3,4]内,即得f(x)在区间[-3,4]上的图象如图所示,其中f(-3)=f(0)=f(3)=0.5,f(-2)=f(1)=f(4)=0.5.函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y=f(x)的图象与直线y=a有10个不同的交点,由图象可得a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))【小结】有关两个函数的图象的交点个数或有关方程解的个数问题,常常转化为两个熟悉的函数的交点个数,利用此法也可解已知两函数图象的交点的个数求参数值.方法总结【p32】1.函数图象是函数的另一种表示形式,它是函数性质的具体体现,因此对基本初等函数的图象必须熟记.2.掌握好函数作图的两种方法:描点法和变换法,作图时要注意定义域,并化简解析式.3.变换法作图时,应先选定一个基本函数,通过变换,找出所求的图象和这个基本函数图象间的关系,再分步画出图形.4.在图象变换中,写函数解析式时也要分步进行,每经过一个变换,对应一个函数解析式.5.合理处理好识图题:对于给定的函数图象,要从图象的左右、上下范围,端点、特殊点情况,以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析,结合题设条件进行合理解答.6.充分用好图:数形结合是重要的数学思想方法,函数图象形象地显示了函数性质,为研究数量关系提供了“形”的
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