初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)

初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)二次函数试题选择题：1、如果y=(m-2)x^2-m是关于x的二次函数，则m=（）A.-1B.2C.-1或2D.m不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)模型的是（）A.在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B.我国人口自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C.矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D.圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x^2，则抛物线的解析式是（）A.y=-(x-2)^2+2B.y=-(x+2)^2+2C.y=-(x+2)^2+2D.y=-(x-2)^2-25、抛物线y=x^2-6x+24的顶点坐标是（）A.(-6,-6)B.(-6,6)C.(6,6)D.(6,-6)6、已知函数y=ax^2+bx+c，图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个①abc<0②a+c<b③a+b+c>0④2c<3bA.1B.2C.3D.47、函数y=ax^2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，1），则b+c/a的值是（）A.-1B.1C.-2D.28、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（）无法显示图形二填空题：13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x^2+2mx+m上的点的坐标是（m，m）。16、若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，则关于方程ax^2+bx+c=-2的根为-1/2a。17、抛物线y=(k+1)x^2+k^2-9开口向下，且经过原点，则k=2或k=-2。解答题：（二次函数与三角形）1、已知：二次函数y=x^2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，-2）．（1）求此二次函数的解析式．由对称轴为x=1可知，顶点坐标为(1,-b-1/4)，代入经过点(2,-2)可得：1-b-1/4=-2b=9/4代入二次函数的解析式y=x^2+bx+c中，再代入(2,-2)，可得：c=-13/4所以二次函数的解析式为y=x^2+9/4x-13/4。（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．首先求出B、C两点的横坐标，由二次函数的解析式可得：y=x^2+9/4x-13/4=0解得x1=-3，x2=1所以B点的横坐标为-3，C点的横坐标为1。由△EBC的面积公式可知：S=1/2*BC*BE又由于E点在x轴下方，所以E点的纵坐标小于0，设E点的横坐标为x，则E点的坐标为(x,0)。由于B、C两点的纵坐标相同，所以E点的纵坐标也为该值，设为h。则有：h=x^2+9/4x-13/4由△EBC的面积公式可得：S=1/2*(4-x)*h将h的表达式代入可得：S=-1/2x^3+3x^2+13/2x-26对S求导数，令其为0，解得x=2，代入可得S=10。所以最大面积为10，E点的坐标为(2,0)。2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，2）．（1）求抛物线的函数表达式；由顶点坐标可得抛物线的解析式为y=a(x-1)^2+2。由点C(0,4)可得a=4，代入可得抛物线的函数表达式为y=4(x-1)^2+2。（2）求抛物线上离点A最近的点D的坐标，并求线段AD的长度．设点D的坐标为(x,0)，则由点到直线的距离公式可得：d=sqrt((x-1)^2+2^2)由抛物线的解析式可得：y=4(x-1)^2+2代入点D的坐标可得：0=4(x-1)^2+2解得x=1±sqrt(2)/2由于A在B的左侧，所以D点的横坐标为1-sqrt(2)/2。代入d的公式可得：d=sqrt((1-sqrt(2)/2-1)^2+2^2)=sqrt(5-2sqrt(2))。所以D点的坐标为(1-sqrt(2)/2,0)，线段AD的长度为sqrt(5-2sqrt(2))。当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。解：首先根据题意，可以得到如下条件：∠PCB=∠BCA因此，可以得到如下结论：BC∥AP进一步地，可以得到如下结论：△PAC∽△PBC因此，可以得到如下比例关系：PA/PB=AC/BC又因为PA=PB，所以可以得到AC=BC因此，可以得到如下结论：B、C、E三点共线进一步地，可以得到如下结论：E为抛物线y=x^2的顶点，坐标为(1,-1)因此，可以得到如下结论：抛物线y=-(x-1)^2-1接下来，需要求解直线CP的解析式。根据题意，可以得到如下条件：P在抛物线上，且PC垂直于x轴因此，可以得到如下结论：P的坐标为(2,-3)进一步地，可以得到如下结论：直线CP的解析式为y=-3四边形ABDC是一个平行四边形，其中AB=DC=S。又因为S是三角形EDB的面积减去三角形ECA的面积，所以S=12。抛物线的对称轴为x=-1，做BC的垂直平分线交抛物线于点E，交对称轴于点D。易求AB的解析式为y=-3x+3，因为D是BC的垂直平分线，所以DE∥AB，设DE的解析式为y=-3x+b。因为D交x轴于(-1,0)，代入解析式得b=-3，所以DE的解析式为y=-3x-3。把x=-1代入得到D的坐标为(-1,-3)，过B做BH∥x轴，则BH=11，在直角三角形DHB中，由勾股定理得DH=11。所以D的坐标为(-1,11-3)=(-1,8)。同理可求其它点的坐标，可求交点坐标D1(-1,11+3)、D2(-1,22)、D3(-1,0)、D4(-1,11-3)、D5(-1,-22)。(1)解方程得到m=2或m=6。因为2(m-2)^2≥0，所以(2m-4)^2-4×2×7≤0，即m^2-4m+4+3≥0，所以抛物线与x轴总有两个不同的交点。(2)抛物线的对称轴为直线x=3，所以m=3，抛物线的解析式为y=(1/2)x^2-3x+9/2，顶点C坐标为(3,-2)。解方程组得到A的坐标为(1,5)、B的坐标为(7,6)，所以AE=BE=3，DE=CE=2。(3)假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形。设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3+n，直线CD与直线y=x-1交于点M(3+n,2+n)，又因为D的坐标为(3,2)，C的坐标为(3,-2)，所以D通过向下平移4个单位得到C。解：已知四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形，因此可以分两种情况进行讨论。（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形时，点M向下平移4个单位得到点N，因此N的坐标为（3-n，n-2）。又因为点N在抛物线y=（1/2）x^2-3x+5/15上，因此有n-2=(3+n)-3(3+n)^2/22，解得n=2。（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形时，点M向上平移4个单位得到点N，因此N的坐标为（3-n，n+6）。又因为点N在抛物线y=（1/2）x^2-3x+5/15上，因此有n+6=(3+n)-3(3+n)^2/22，解得n=1+17=18。综上所述，直线CD向右平移2或20个单位或向左平移16个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。另外，已知OB=3，OC=8，连接OD并交OC于点E，由四边形OACD是菱形可知AD⊥OC，因此OE=EC=(1/2)OC=4。又因为∠BAC=90°，所以△ACE∽△BAE，因此BE/AE=CE/BE，即BE^2=CE×AE=4，因此BE=1。由此可得点A的坐标为(4，2)。将点A的坐标(4,2)代入抛物线y=mx^2-11mx+24m，得到y=-(x^2)+x-12的解析式。因为直线x=n与抛物线交于点M，所以点M的坐标为(n,-n^2+n-12)。根据题目中给出的信息，点D的坐标为(4,-2)，因此点C的坐标为(-1,2)。将C、D两点的坐标代入直线CD的解析式y=x-4d中，得到直线CD的解析式为y=-x+2。根据题目中给出的信息，点N的坐标为(n,n-4)，因此MN=-(n^2)+5n-8。四边形AMCN的面积等于三角形AMN和三角形CMN的面积之和，即MN×CE=-(n-5)^2+9。当n=5时，四边形AMCN的面积为9。根据题目中给出的信息，点M的坐标为(2,2)。因为BC∥AD，所以M的横坐标为2。因此，点B的坐标为(-3,2)。根据题目中给出的信息，点D的坐标为(4,-2)，因此点N的坐标为(-3,2)。根据直线CD的解析式y=-x+2，延长DC与x=-2相交于点Q，因此点Q为直线DC与直线x=-2的交点。设直线BG的解析式为y=kx+b，则k=-1，b=1。将直线BG的解析式代入抛物线y=-(x^2)+x-12中，得到交点P的坐标为(3+√2,4-√2)或(3-√2,4+√2)。对称轴为x=-1/2，将其代入抛物线的解析式y=-(x+1/2)^2+3/4中，得到顶点E的坐标为(-6,3)。因为E、D关于直线x=-1/2对称，所以QE=QD，因此|QE-QC|=|QD-QC|。k=-1时，解得b=3，因此y=-x+3。当x=-2时，y=3，因此Q在(-2,3)的位置时，|QE-QC|最大。过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=CF²+DF²=2²+2²=8。解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，因为a≠0，所以x²-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，因此点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0)。（2）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，因此C的坐标为(0,-3a)，又因为y=ax²-2ax-3a=a(x-1)²-4a，因此D的坐标为(1,-4a)。将C、D两点的坐标代入直线CD的解析式y=kx+b中，得到直线CD的解析式为y=x+3。（3）存在。由（2）得，E的坐标为(-3,6)，N的坐标为(-2,3)，因此F的坐标为(-2,6)。作MQ⊥CD于Q，设点M的坐标为(m,n)，则FM=-n，EN=5，MQ=OM=3，因此4m²+36m-63=0，解得m1=-9/4，m2=7/4。因此点M的坐标为M1(-9/4,-27/4)，M2(7/4,-21/4)。解：（1）因为抛物线经过点M(1,1)和N(3,1)，且与y轴交于点D(0,3)，因此假设二次函数解析式为y=a(x-1)(x-3)，将D(0,3)代入得3=a(-1)(-3)，因此a=1，因此抛物线的解析式为y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3。（2）因为过点A(-1,6)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，因此AC×BC=6。因为抛物线经过点M(1,1)和N(3,1)，因此二次函数的对称轴为x=2。因此AC=3，BC=4，因此B的坐标为(2,4)，一次函数的解析式为y=kx+b，代入点A(-1,6)得到6=-k+b，代入点B(2,4)得到4=2k+b，解得k=-2，b=-4，因此一次函数的解析式为y=-2x-4。（3）当点P在抛物线的对称轴上时，圆心O在抛物线的顶点上，此时⊙P与直线AB和x轴都相切，因此MO⊥AB，AM=AC，PM=PC。因为AC=1+2=3，BC=4，因此AB=5，AM=3，BM=2。因为∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，因此△MBP∽△ABC，因此BP/AB=MP/AM，解得BP=6/5，因此P的坐标为(2-12/25,6/5)。根据题目给出的数学表达式，可以得出3-17-7-173+17-7+17=0。接下来考虑图2中的几何问题。已知点B(3,0)和C(0,-3)，OB=OC，因此OB和OC两条线段相等。又因为∠OCB=∠OBC=45°，所以OCB和OBC两个角也相等。设直线CP的解析式为y=kx-3，如图2所示，延长CP交x轴于