2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5节事件的独立性条件概率与全概率公式学案含解析新人教A版2023051915

2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5节事件的独立性条件概率与全概率公式学案含解析新人教A版2023051915第五节事件的独立性、条件概率与全概率公式一、教材概念·结论·性质重现1．条件概率条件概率的定义设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率条件概率的性质(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)设eq\x\to(B)与B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)2.事件的相互独立性事件A与事件B相互独立对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立性质若事件A与事件B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)(1)易混淆“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．(2)易混淆P(B|A)与P(A|B)前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．称上面的公式为全概率公式．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)相互独立事件就是互斥事件． (×)(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (×)(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率． (√)(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (√)2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A．eq\f(3,10)B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,8)D．eq\f(2,9)B解析：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B．依题意P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(AB)＝eq\f(2×3,10×9)＝eq\f(1,15).故在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(1,3).3．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A．0.2B．0.3C．0.38D．0.56C解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B，所以P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.4．(2020·湖南省六校高三联考)甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为eq\f(4,5)和eq\f(3,4)；乙笔试、面试通过的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(1,2).若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是________．eq\f(1,5)eq\f(8,15)解析：甲被录取的概率p1＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5)，乙被录取的概率p2＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是p1p2＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，只有一人被录取的概率是p1(1－p2)＋p2(1－p1)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,15).5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．0.128解析：记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A．由题意知，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.考点1相互独立事件的概率——基础性1．(2020·山东省新高考质量测评高三联考)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能处理器“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉完全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为()A．eq\f(89,91)B．eq\f(2,91)C．eq\f(98,125)D．eq\f(19,27)D解析：根据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其中选择“芯片领域”的概率为eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，故其没有选择“芯片领域”的概率为eq\f(2,3)，则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27).故选D．2．(2020·天津市和平区高三二模)已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元)．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5，0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2，0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为()A．0.18B．0.3C．0.24D．0.36B解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4.所以甲、乙两人所租车费用相同的概率为p＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.3．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．考点2条件概率——基础性(2020·本溪满族自治县高级中学高三模拟)2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家．设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9)D．eq\f(5,9)A解析：事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(AB)＝eq\f(A\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32)，P(B)＝eq\f(C\o\al(1,4)×33,44)＝eq\f(27,64)，P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(2,9).故选A．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)．解：如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(AB)＝1，所以P(AB)＝eq\f(1,9)，P(A|B)＝eq\f(n(AB),n(B))＝eq\f(1,4).求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))，这是求条件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A)).1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A．eq\f(3,10)B．eq\f(2,9)C．eq\f(7,8)D．eq\f(7,9)D解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30)，则所求的概率为P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).2．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.eq\f(60,91)eq\f(1,2)解析：P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率．因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有Ceq\o\al(1,3)×5×4＝60(种)情况，所以P(A|B)＝eq\f(60,91).P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率．因为“三个点数都不相同”有6×5×4＝120(种)情况，所以P(B|A)＝eq\f(1,2).考点3全概率公式——基础性有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3.B1∪B2∪B3＝S，由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)．P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因．如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中．(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生．(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和．(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合．一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求第二次取到白球的概率．解：A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}．因为B＝AB∪eq\x\to(A)B，且AB与eq\x\to(A)B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＋eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝0.6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)[四字程序]读想算思求条件概率P(B|A)1.条件概率的公式；2.古典概型用字母表示事件，理清楚事件之间的关系转化与化归A＝“取到的2个数之和为偶数”，B＝“取到的2个数均为偶数”1.求P(A)，P(AB)；2.求n(A)，n(AB)1.P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))；2.P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))1.条件概率的公式；2.古典概型的公式思路参考：根据条件概率公式求解．B解析：P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).由条件概率计算公式，得P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4).思路参考：缩小样本空间，利用古典概型概率公式求解．B解析：事件A包括的样本点为(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4个．事件AB发生包含的样本点只有(2,4)一个，即n(AB)＝1.故由古典概型概率P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))＝eq\f(1,4).本题考查条件概率求解问题．利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))，这是求条件概率的通法．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A)).这是将条件概率缩小样本空间转化为古典概型．这需要学生具有一定的数学运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．现有3道理科题和2道文科题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为()A．eq\f(3,10)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,5)C解析：(方法一)设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(3×2,5×4),\f(3,5))＝eq\f(1,2).故选C．(方法二)在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为eq\f(1,2).故选C．第六节二项分布、超几何分布与正态分布一、教材概念·结论·性质重现1．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)二项分布设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)．在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．二项分布与两点分布的联系由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．2．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的特征(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．3．正态分布(1)正态曲线函数f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up8(－eq\f((x－μ)2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).④曲线与x轴围成的面积为1.⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示．⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．(3)正态分布的定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up8(－eq\f((x－μ)2,2σ2))，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布． (√)(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布． (×)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布． (√)(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球．若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来．设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布． (×)(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(a＋b)n展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p. (×)(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． (√)2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为eq\f(2,3)，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是()A．eq\f(80,243)B．eq\f(80,81)C．eq\f(163,243)D．eq\f(163,729)A解析：用X表示发芽的粒数，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))，则P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up8(2)＝eq\f(80,243)，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为eq\f(80,243).3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是()A．32B．16C．8D．20B解析：因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.根据正态曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是eq\f(1,2)×0.6827×48≈16.4．设随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)等于()A．eq\f(5,16)B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,8)D．eq\f(3,8)A解析：因为X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，所以由二项分布可得，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up8(3)＝eq\f(5,16).5．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________.eq\f(4,3)解析：因为X～N(3,1)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝2×3，所以c＝eq\f(4,3).6．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________.0.2解析：随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，所以正态曲线关于x＝1对称，所以P(X≥2)＝P(X≤0)＝1－P(X>0)＝0.2.考点1n重伯努利试验与二项分布——综合性考向1n重伯努利试验及其概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率．(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？解：(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件eq\x\to(A)1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4次独立重复试验，故P(eq\x\to(A)1)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(4)＝eq\f(16,81).所以P(A1)＝1－P(eq\x\to(A)1)＝1－eq\f(16,81)＝eq\f(65,81).所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为eq\f(65,81).(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up8(2)＝eq\f(8,27)，P(B2)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up8(1)＝eq\f(27,64).由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为eq\f(1,8).(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，则A3＝D5D4eq\x\to(D)3(eq\x\to(D)2eq\x\to(D)1∪eq\x\to(D)2D1∪D2eq\x\to(D)1)，且P(Di)＝eq\f(1,4).由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)P(D4)P(eq\x\to(D)3)P(eq\x\to(D)2eq\x\to(D)1＋eq\x\to(D)2D1＋D2eq\x\to(D)1)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))＝eq\f(45,1024).所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为eq\f(45,1024).n重伯努利试验概率求解的策略(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立的，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解．(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．考向2二项分布某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为eq\f(1,2)，复审能通过的概率为eq\f(3,10)，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC．因为P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(B)＝2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(3,10)，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝eq\f(2,5).(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)．因为P(A0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up8(4)＝eq\f(81,625)，P(A1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up8(3)＝eq\f(216,625)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up8(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up8(2)＝eq\f(216,625)，P(A3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up8(3)×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，P(A4)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up8(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up8(0)＝eq\f(16,625).所以X的分布列为X01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为eq\f(1,6)，第二轮检测不合格的概率为eq\f(1,10)，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝________.eq\f(243,256)解析：由题意得该产品能销售的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))＝eq\f(3,4).易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160.设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,4)))，所以P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(4－k).所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(2)＝eq\f(27,128)，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(1)＝eq\f(27,64)，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(0)＝eq\f(81,256).故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝eq\f(243,256).考点2超几何分布——综合性在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，因此X的分布列为X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ.已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10%B．20%C．30%D．40%B解析：设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,x)C\o\al(1,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(x(10－x),45)＝eq\f(16,45)，所以x＝2或x＝8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为eq\f(2,10)＝20%.2．(2020·贵阳市四校高三联考)高新区某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.(1)写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3000×eq\f(2,3)＝2000(人)．(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(4,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(16,70)＝eq\f(8,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(36,70)＝eq\f(18,35)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(16,70)＝eq\f(8,35)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70).所以ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70)E(ξ)＝0×eq\f(1,70)＋1×eq\f(8,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(8,35)＋4×eq\f(1,70)＝2.考点3正态分布——应用性(1)(多选题)(2020·本溪高级中学期末)若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0.下列等式成立的有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)AC解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称，如图．φ(－x)＝φ(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A项正确；φ(2x)＝φ(ξ≤2x)，2φ(x)＝2φ(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，B项错误；P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，所以C项正确；P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D项错误．故选AC．(2)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为()A．0.97725 B．0.84135C．0.9973 D．0.9545A解析：因为X～N(800,502)，所以P(700≤X≤900)≈0.9545，所以P(X>900)≈eq\f(1－0.9545,2)＝0.02275，所以P(X≤900)≈1－0.02275＝0.97725.(3)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：①求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数eq\x\to(x)(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；②由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在[14.55,38.45]内的概率．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝eq\r(142.75)≈11.95.解：①所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数eq\x\to(x)＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.②因为Z服从