初二数学（上册）培优辅导讲义(人版)

./第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内,两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义,并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析[例1]如图,三条直线AB、CD、EF相交于点O,一共构成哪几对对顶角？一共ABABCDEF[解法指导]⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线.有6对对顶角.12对邻补角.ABABCDEFPQR01．如右图所示,直线AB、CD、EF相交于P、Q、R,则：⑴∠ARC的对顶角是.邻补角是.⑵中有几对对顶角,几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.[例２]如图所示,点O是直线AB上一点,OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC．ABCEFOABCEFO⑵写出∠BOE的余角及补角.[解法指导]解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解；[解]⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝∠BOC,∠FOC＝∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.[变式题组]01．如图,已知直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,且∠EOC＝100°,则∠BOD的度数是〔A．20°B． 40°C．50°D．80°EEABCDO〔第1题图1432〔第2题图02．〔XX已知∠1＝∠2＝∠3＝62°,则∠4＝.ABOl2l1[例３]如图,直线l1、l2相交于点O,A、B分别是ABOl2l1⑴经过点A画直线l2的垂线.⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.[解法指导]垂线是一条直线,垂线段是一条线段.[变式题组]01．P为直线l外一点,A、B、C是直线l上三点,且PA＝4cm,PB＝5cm,PC＝6cm,则点P到直线l的距离为〔A．4cmB． 5cmC．不大于4cmD．不小于6cm02如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M、N为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中,在的路上距离M村越来越近..在的路上距离村庄N越来越近,而距离村庄Ｍ越来越远.FBAOCDE[例４]如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF＝65°,求∠FBAOCDE[解法指导]图形的定义现可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质,由图可得：∠AOF＝90°,OF⊥AB．[变式题组]CDBAEO01．如图,若EO⊥AB于O,直线CD过点O,∠EOD︰∠EOB＝1︰3,求∠AOCCDBAEOBACDO02．如图,O为直线AB上一点,∠BOC＝3∠AOC,OCBACDO⑴求∠AOC的度数；⑵试说明OD与AB的位置关系.ABAED03．如图,已知AB⊥BC于B,DB⊥EB于B,并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2,请作出ABAEDCFCFEBAD142365∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：[解法指导]正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角,其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线,最后确定它们的名称.ABABDCHＧEF01．如图,平行直线AB、CD与相交直线EF,GH相交,图中的同旁内角共有〔A．4对B． 8对C．12对D．16对715671568412乙丙3234561234甲11ABC23456703．如图,按各组角的位置判断错误的是〔A．∠1和∠2是同旁内角B．∠3和∠4是内错角C．∠5和∠6是同旁内角D．∠5和∠7是同旁内角[例６]如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行？并说明理由•ABCDO⑴∠CBDABCDO⑵∠BCD＋∠ADC＝180°⑶∠ACD＝∠BAC[解法指导]图中有即即有同旁内角,有""即有内错角.[解法指导]⑴由∠CBD＝∠ADB,可推得AD∥BC；根据内错角相等,两直线平行.⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°,可推得AD∥BC；根据同旁内角互补,两直线平行.⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等,两直线平行.ABABDEF01．如图,推理填空.⑴∵∠A＝∠〔已知∴AC∥ED〔⑵∵∠C＝∠〔已知∴AC∥ED〔C⑶∵∠A＝∠〔已知C∴AB∥DF〔02．如图,AD平分∠BAC,EF平分∠DEC,且∠1＝∠2,试说明DE与AB的位置关系.解：∵AD是∠BAC的平分线〔已知ABCDEF12ABCDEF12又∵EF平分∠DEC〔已知∴〔又∵∠1＝∠2〔已知∴〔∴AB∥DE〔ABCDE03．如图,已知AE平分∠CAB,CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°,求证：ABCDE04．如图,已知∠ABC＝∠ACB,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,∠EBF＝∠EFB,求证：CD∥EF.AABCDEFl1l2l3ll1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵[解法指导]如图⑵,我们可以将所有的直线移动后,使它们相交于同一点,此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°[变式题组]01．平面内有18条两两不平行的直线,试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…,a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.03．已知n〔n＞2个点P1,P2,P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数,显然：S2＝1,S3＝3,S4＝6,∴S5＝10…则Sn＝.演练巩固·反馈提高01．如图,∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是〔A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补AAEBCFDABCDFEMNα第1题图第2题图ABDC第4题图02．如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角为〔A．∠AMFB．∠BMFC．∠ENCD．∠END03．下列语句中正确的是〔A．在同一平面内,一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图,∠BAC＝90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数有〔①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BDA．0B． 2C．4D．605．点A、B、C是直线l上的三点,点P是直线l外一点,且PA＝4cm,PB＝5cm,PC＝6cm,则点P到直线l的距离是〔A．4cmB．5cmC．小于4cmD．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转〔直角顶点重合,则∠AOB＋∠DOC＝.AABCDOABCDEFGHabc第6题图第7题图第9题图12345678107．如图,矩形ABCD沿EF对折,且∠DEF＝72°,则∠AEG＝.08．在同一平面内,若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.〔a1与a10不重合09．如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件：①∠1＝∠5,②∠1＝∠7,③∠2＋∠3＝180°,④∠4＝∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.ACDEB11．如图,已知BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明ACDEB12．如图,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1＝∠2,那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图,推理填空：⑴∵∠A＝〔已知∴AC∥ED〔⑵∵∠2＝〔已知∴AC∥ED〔⑶∵∠A＋＝180°〔已知∴AB∥FD．14．如图,请你填上一个适当的条件使AD∥BC．AABCDEF第14题图AABCDEF12培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是〔A．1,3B．0,1,3 C．0,2,3D．0,1,2,3ABCDEF02．平面上有10条直线,其中ABCDEFA．60B． 55 C．50 D．4503．平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来的6个点之外,这些直线最多还有〔个交点.A．35B． 40 C．45 D．5504．如图,图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸,已知a、b是一个角的两边,现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线,请你帮助这个施工队画出这条平行线,并证明你的正确性.aab06．平面上三条直线相互间的交点的个数是〔A．3B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1,2,307．请你在平面上画出6条直线〔没有三条共点使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交,并简单说明画法？08．平面上有10条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31个交点,怎么安排才能办到？ABC09．如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、ABCA．60°B． 75°C．90°D．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题,命题的构成,真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系,感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析[例１]如图,四边形ABCD中,AB∥CD,BC∥AD,∠A＝38°,求∠CCBADCBAD[解法指导]两条直线平行,同位角相等；两条直线平行,内错角相等；两条直线平行,同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征,看清截线,识别角的关系式关键.[解]：∵AB∥CDBC∥AD∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°<两条直线平行,同旁内角互补>∴∠A＝∠C∵∠A＝38°∴∠C＝38°[变式题组]01．如图,已知AD∥BC,点E在BD的延长线上,若∠ADE＝155°,则∠DBC的度数为〔A．155°B．50°C．45°D．25°〔第1题图〔第1题图EDCBA321l1l2〔第2题图EABDα12CF〔第3题图02．〔XX如图,直线l1∥l2,∠1＝55°,∠2＝65°,则∠3为〔A．50°B．55°C．60°D．65°03．如图,已知FC∥AB∥DE,∠α：∠D：∠B＝2:3:4,试求∠α、∠D、∠B的度数.EAFGDCB[例２]如图,已知AB∥CD∥EF,GC⊥CF,∠B＝60°,∠EFC＝EAFGDCB[解法指导]平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合,可求各种位置的角的度数,但注意看清角的位置.[解]∵AB∥CD∥EF∴∠B＝∠BCD∠F＝∠FCD<两条直线平行,内错角相等>又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF∴∠GCF＝90°〔垂直定理∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°[变式题组]01．如图,已知AF∥BC,且AF平分∠EAB,∠B＝48°,则∠C的的度数＝_______________BABAMCDNP〔第3题图ABCDOEFAEBC〔第1题图〔第2题图02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°,BO、CO分别∠ABC、∠ACB,DE过点O与BC平行,则∠BOC＝___________03．如图,已知AB∥MP∥CD,MN平分∠AMD,∠A＝40°,∠D＝50°,求∠NMP的度数.[例３]如图,已知∠1＝∠2,∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F.[解法指导]因果转化,综合运用.逆向思维：要证明∠A＝∠F,即要证明DF∥AC．要证明DF∥AC,即要证明∠D＋∠DBC＝180°,即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要证明∠1＝∠3.CDABEF132证明：∵∠1＝∠2,∠2＝∠3〔对顶角相等所以∠1＝∠3∴DB∥EC〔同位角相等•两直线平行∴∠DBC＋∠C＝180°〔两直线平行,同旁内角互补∵∠C＝∠D∴∠DBC＋∠D＝180°∴DF∥CDABEF132GBGB3CA1D2EF〔第1题图01．如图,已知AC∥FG,∠1＝∠2,求证：DE∥FGAA2CF3ED1B〔第2题图02．如图,已知∠1＋∠2＝180°,∠3＝∠B．求证：∠AED＝∠ACB03．如图,两平面镜α、β的夹角θ,入射光线AO平行O/αOθβB于O/αOθβB于α,则角θ等于_________.[例４]如图,已知EG⊥BC,AD⊥BC,∠1＝∠3.31ABGDC31ABGDCE[解法指导]抓住题中给出的条件的目的,仔细分析条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论的条件,要准确把握住这些条件的意图.〔题目中的：∠1＝∠3证明：∵EG⊥BC,AD⊥BC∴∠EGC＝∠ADC＝90°〔垂直定义∴EG∥AD〔同位角相等,两条直线平行∵∠1＝∠3∴∠3＝∠BAD〔两条直线平行,内错角相等∴AD平分∠BAC〔角平分线定义[变式题组]DA2E1BC01．如图,若AE⊥BC于E,∠1＝∠DA2E1BCBFEACD02．如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE平分∠ACB．求证：BFEACD3．已知如图,AB∥CD,∠B＝40°,CN是∠BCE的平分线.CM⊥CN,求：∠BCM的度数.AADMCNEB[例５]已知,如图,AB∥EF,求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°FED2FED21ABC联想周角.构造两个"平角"或构造两组"互补"的角.过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来,这是关键.[证明]：过点C作CD∥AB∵CD∥AB∴∠1＋∠ABC＝180°<两直线平行,同旁内角互补>又∵AB∥EF,∴CD∥EF〔平行于同一条直线的两直线平行∴∠2＋∠CFE＝180°<两直线平行,同旁内角互补>∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°[变式题组]01．如图,已知,AB∥CD,分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________⑵____________________________⑶____________________________⑷____________________________BBAPCACCDAAPCBDPBPDBD⑴⑵⑶⑷[例６]如图,已知,AB∥CD,则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是321γ4ψDαβEBCAF321γ4ψDαβEBCAFHαβαβPBCDA∠P＝α＋β善于从复杂的图形中找到基本图形,运用基本图形的规律打开思路.[解]过点E作EH∥AB．过点F作FG∥AB．∵AB∥EH∴∠α＝∠1〔两直线平行,内错角相等又∵FG∥AB∴EH∥FG〔平行于同一条直线的两直线平行∴∠2＝∠3又∵AB∥CD∴FG∥CD〔平行于同一条直线的两直线平行∴∠ψ＋∠4＝180°〔两直线平行,同旁内角互补∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°[变式题组]01．如图,AB∥EF,∠C＝90°,则∠α、∠β、∠γ的关系是〔A．∠β＝∠α＋∠γB．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C．∠α＋∠β－∠γ＝90°D．∠β＋∠γ－∠α＝90°FDEBCAFγDαβEBCA02．如图,已知,AB∥CD,∠ABE和∠CDEFDEBCAFγDαβEBCA[例７]如图,平移三角形ABC,设点A移动到点A/,画出平移后的三角形A/B/C/.BCAA′BCAA′lB′C′⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点.⑷连:按原图形顺次连接对应点.[解]①连接AA/②过点B作AA/的平行线l③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点,用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/,B/C/,C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.[变式题组]01．如图,把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm,作出平移后的图形.DDBCA02．如图,已知三角形ABC中,∠C＝90°,BC＝4,AC＝4,现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置,若平移距离为3,求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积.BBB/AA/CC/03．原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离,就得到此图形,求阴影部分的面积.〔单位：厘米DD538AFCBE西B西B30°A北东南01．如图,由A测B得方向是〔A．南偏东30°B．南偏东60°C．北偏西30°D．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有〔A．1个B．2个C．3个D．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,两次拐弯的角度可能是〔A．第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°,第二次向右拐130° D．第一次向左拐60°,第二次向左拐120°04．下列命题中,正确的是〔A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]PP.P.P.P.⑴⑵⑶⑷从图中可知,小敏画平行线的依据有〔①两直线平行,同位角相等；②两直线平行,内错角相等；③同位角相等,两直线平行；④内错角相等,两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工,若干天后,公路准确对接,则B地所修公路的走向应该是〔A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有〔①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动〔忽略车轮的转动；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案,使它正好位于左上角的位置〔不能出格09．观察图,哪个图是由图⑴平移而得到的〔10．如图,AD∥BC,AB∥CD,AE⊥BC,现将△ABE进行平移.平移方向为射线AD的方向.平移距离为线段BC的长,则平移得到的三角形是图中〔图的阴影部分.DDEABCEDBCEDABCEDABCEDABC11．判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补,两直线平行.12．把下列命题改写成"如果……那么……"的形式,并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图,在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°,第二个拐弯处∠B＝150°,第三个拐弯处∠C,这时道路CE恰好和道路AD平行,问∠C是多少度？并说明理由.150150°120°DBCE湖14．如图,一条河流两岸是平行的,当小船行驶到河中E点时,与两岸码头B、D成64°角.当小船行驶到河中F点时,看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2,∠3＝∠4的关系.你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？44321ABEFCD15．如图,AB∥CD,∠1＝∠2,试说明∠E和∠F的关系.44P231ABEFCD培优升级·奥赛检测FADECB01．如图,等边△ABC各边都被分成五等分,这样在△ABC内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个,那么在△FADECB.B.O.A02．如图,一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来,运动员立即从.B.O.ACB1AA1C1D1BD03．如图,长方体的长AB＝4cm,宽BC＝3cm,高AA1＝2cm.CB1AA1C1D1BD04．如图是图形的操作过程〔五个矩形水平方向的边长均为a,竖直方向的边长为b；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1[即阴影部分如图⑴];将折现A1A2A3向右平移1个单位得到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1[即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中,请你类似地画出一条有两个折点的直线,同样的向右平移1个单位,从而得到1个封闭图形,并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________,S2＝________,S3＝________.⑶联想与探究：如图⑷,在一矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路〔小路在任何地方的水平宽度都是1个单位,请你猜想空白部分草地面积是A2A2B2A3B3B4A4A1B1草地草地A1B2⑵B1A2B2A1B1A3B3A2⑴⑶⑷⑸05．一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进一半,然后原地逆时针旋转α°〔0°＜α°＜180°,被称为一次操作,若5次后发现赛车回到出发点,则α°角为〔A．720°B．108°或144°C．144°D．720°或144°06．两条直线a、b互相平行,直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10,直线b上顺次有10个点B1、B2、…、B9,将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点,则这些选段的交点个数是〔A．90 B．1620 C．6480 D．200607．如图,已知AB∥CD,∠B＝100°,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.FFEBACGD100°FEBACGD08．如图,AB∥CD,∠BAE＝30°,∠DCE＝60°,EF、EG三等分∠AEC．问：FEBACGD09．如图,已知直线CB∥OA,∠C＝∠OAB＝100°,E、F在CB上,且满足∠FOB＝∠AOB,OE平分∠COF.⑴求∠EOB的度数；⑵若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化,找出变化规律；若不变,求出这个比值.FEBACO⑶在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OECFEBACO10．平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36°,请说明理由.ABCD11．如图,正方形ABCD的边长为5,把它的对角线AC分成nABCD12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起,用添补法如何求出阴影部分面积？BBDCFAE第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若＝a<a≥0>则x叫做a的平方根,记为：a的平方根为x＝±,其中a的平方根为x＝叫做a的算术平方根．若x3＝a,则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝．2．无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数〔p、q是两个互质的整数,且q≠0的形式．3非负数：实数的绝对值,实数的偶次幂,非负数的算术平方根〔或偶次方根都是非负数．即>0,≥0〔n为正整数,≥0<a≥0>．经典·考题·赏析[例1]若2m－4与3m－1是同一个数的平方根,求m的值．[解法指导]一个正数的平方根有两个,并且这两个数互为相反数．∵2m−4与3m−l是同一个数的平方根,∴2m−4＋3m−l＝0,5m＝5,m＝l．[变式题组]01．一个数的立方根与它的算术平方根相等,则这个数是____．02．已知m是小于的最大整数,则m的平方根是____．03．的立方根是____．04．如图,有一个数值转化器,当输入的x为64时,输出的y是____．输入输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数[例2]〔全国竞赛已知非零实数a、b满足,则a＋b等于<>A．－1B．0C．1D．2[解法指导]若有意义,∵a、b为非零实数,∴b2>0∴a－3≥0a≥3∵∴,∴．∴,∴,故选C．[变式题组]0l．在实数范围内,等式＝0成立,则ab＝____．02．若,则的平方根是____．03．〔天津若x、y为实数,且,则的值为〔A．1B．－1C．2D．－204．已知x是实数,则的值是<>A．B．C．D．无法确定[例3]若a、b都为有理效,且满足．求a＋b的平方根．[解法指导]任何两个有理数的和、差、积、商〔除数不为0还是有理数,但两个无理数的和、差、积、商〔除数不为0不一定是无理数．∵,∴即,∴,a＋b＝12＋13＝25．∴a＋b的平方根为：．[变式题组]01．〔XX市竞赛题已知m、n是有理数,且〔＋2m＋<3－2>n＋7＝0求m、n．02．〔希望杯试题设x、y都是有理数,且满足方程〔x＋〔y−4−＝0,则x−y＝____．[例4]若a为−2的整数部分,b−1是9的平方根,且,求a＋b的值．[解法指导]一个实数由小数部分与整数部分组成,−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2,则小数部分＝−2−2＝−4．∵a＝2,b−1＝±3,∴b＝－2或4∵．∴a<b,∴a＝2,b＝4,即a＋b＝6．[变式题组]01．若3＋的小数部分是a,3−的小数部分是b,则a＋b的值为____．02．的整数部分为a,小数部分为b,则〔＋a·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是<>A．－2是<－2>2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4D．27的立方根是±302．设,b＝－2,,则a、b、c的大小关系是<>A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b03．下列各组数中,互为相反数的是<>A．－9与81的平方根B．4与C．4与D．3与04．在实数1.414,,0.,5−,,3.,中无理数有<>A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示,则<>A．b>aB．C．－a＜bD．－b>a06．现有四个无理数,,,,其中在＋1与＋1之间的有<>A．1个B．2个C．3个D．4个07．设m是的平方根,n＝．则m,n的关系是<>A.m＝±nB.m＝nC.m＝－nD.08．〔XX如图,数轴上A、B两点表示的数分别为－1和,点B关于点A的对称点C,则点C所表示的数为<>A．－2B．－1C．－2＋D．l＋09．点A在数轴上和原点相距个单位,点B在数轴上和原点相距3个单位,且点B在点A左边,则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1,,…,,．如果从中选出若干个数,使它的和大于3,那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b,定义一种运算※如下：a※b＝,如3※2＝＝．那么12.※4＝____．12．〔XX中考题已知a、b为两个连续整数,且a<<b,则a＋b＝____．13．对实数a、b,定义运算"*",如下a*b＝,已知3*m＝36,则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a,,在数轴上对应的点分别是A、B、C,则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图,直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′,那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足＋2＝,求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3,3a＋b−1的算术平方根是4,求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏,如图有一圆心角为60°,半径为1个单位长的扇形放置在数轴上,当扇形在数轴上做无滑动的滚动时,当B点恰好落在数轴上时,<1>求此时B点所对的数；<2>求圆心O移动的路程．19．若b＝＋＋3l,且a＋11的算术平方根为m,4b＋1的立方根为n,求〔mn−2<3mn＋4>的平方根与立方根．20．若x、y为实数,且〔x−y＋12与互为相反数,求的值．培优升级奥赛检测01．〔荆州市八年级数学联赛试题一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3,则a值为<>A．2B．－1C．1D．002．〔黄冈竞赛代数式＋＋的最小值是<>A．0B．1＋C．1D．203．代数式−2的最小值为____．04．设a、b为有理数,且a、b满足等式a2＋3b＋b＝21−5,则a＋b＝____．05．若＝1,且3＝4,则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足,则a−20092＝_______．m满足关系式,试确定m的值．08．〔全国联赛若a、b满足＝7,S＝,求S的取值范围．09．〔北京市初二年级竞赛试题已知0<a<1,并且,求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数]．10．〔北京竞赛试题已知实数a、b、x、y满足y＋,,求的值．第14讲平面直角坐标系〔一考点．方法．破译1．认识有序数对,认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点,求图形的面积．经典．考题．赏析[例1]在坐标平面内描出下列各点的位置．A<2,1>,B<1,2>,C<－1,2>,D<－2,－1>,E<0,3>,F<－3,0>[解法指导]从点的坐标的意义去思考,在描点时要注意点的坐标的有序性．[变式题组]01．第三象限的点P<x,y>,满足|x|＝5,2x＋|y|＝1,则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中,如果m.n＞０,那么〔m,|n|一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A<－3,0>,B<－2,－>,C<2,>,D<0,3>,E<π－3.14,3.14－π>[例2]若点P<a,b>在第四象限,则点Q<―a,b―1>在〔A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解法指导]∵P<a,b>在第四象限,∴a＞0,b＜0,∴－a＜0,b－１＜0,故选C．[变式题组]01．若点G<a,2－a>是第二象限的点,则a的取值范围是〔A．a＜0B．a＜2C．0＜a＜2B．a＜0或a＞202．如果点P<3x－２,２－x>在第四象限,则x的取值范围是____________．03．若点P<x,y>满足xy＞0,则点P在第______________象限．04．已知点P<2a－8,2－a>是第三象限的整点,则该点的坐标为___________．[例３]已知A点与点B<－3,4>关于x轴对称,求点A关于y轴对称的点的坐标．[解法指导]关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标<x>相等,纵坐标<y>互为相反数,关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数,纵坐标<y>相等．[变式题组]01．P<－1,3>关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P<3,－2>关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P<a,b>关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A<－3,2m－１>关于原点对称的点在第四象限,则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ<a＋b,ab>在第二象限内,那么点N<a,b>关于y轴对称的点在第______象限．[例４]P<3,－4>,则点P到x轴的距离是____________．[解法指导]P<x,y>到x轴的距离是|y|,到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4[变式题组]01．已知点P<3,5>,Q<6,－５>,则点P、Q到x轴的距离分别是_________,__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3,则P点的坐标是__________．03．如果点B<m＋1,3m－5>到x轴的距离与它到y轴的距离相等,求m的值．04．若点<5－a,a－3>在一、三象限的角平分线上,求a的值．05．已知两点A<－3,m>,B<n,4>,AB∥x轴,求m的值,并确定n的取值范围．[例５]如图,平面直角坐标系中有A、B两点．<1>它们的坐标分别是___________,___________；<2>以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；<3>求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．[解法指导]平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值,平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A<x1,y1>,B<x2,y2>,若AB∥x轴,则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y,则|AB|＝|y1－y2|,则<1>A<2,2>,B<2,－1>；<2>3；<3>C<5,2>,D<5,－1>或C<－1,2>,D<－1,－1>．[变式题组]01．如图,四边形ACBD是平行四边形,且AD∥x轴,说明,A、D两点的___________坐标相等,请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A<0,4>,B<－3,0>,C<3,0>要画出平行四边形ABCD,请根据A、B、C三点的坐标,写出第四个顶点D的坐标,你的答案是唯一的吗？03．已知：A<0,4>,B<0,－1>,在坐标平面内求作一点,使△ABC的面积为5,请写出点C的坐标规律．[例6]平面直角坐标系,已知点A<－3,－2>,B<0,3>,C<－3,2>,求△ABC的面积．[解法指导]<1>三角形的面积＝×底×高．<2>通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形,然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝·3·5－·3·1＝6．[变式题组]01．在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A<―3,―1>,B<1,3>,C<2,－3>,△ABC的面积．02．如图,已知A<－4,0>,B<－2,2>,C,0,－1>,D<1,0>,求四边形ABDC的面积．03．已知：A<－3,0>,B<3,0>,C<－2,2>,若D点在y轴上,且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15,求D点的坐标．[例7]如图所示,在平面直角坐标系中,横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数,推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．[解法指导]寻找规律,每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n,所以S10＝8×10＝80个．[变式题组]01．如图所示,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A<1,2>,A1<2,2>,A2<4,2>,A3<8,2>,B<2,0>,B1<4,0>,B2<8,0>,B3<16,0>．<1>观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律,按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是____________,B4的坐标是_____________；<2>若按<1>题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到三角形△OAnBn,推测An的坐标是_____________,Bn的坐标是_____________．[解法指导]由AA1A2A3、BB1B2B3的坐标可知,每变换一次,顶点A的横坐标乘以2,纵坐标不变,顶点B的横坐标乘以2,纵坐标不变．如图,已知A1<1,0>,A2<1,1>,A3<－1,1>,A4<－1,－1>,A5<2,－1>…则点A2010的坐标为_______________．演练巩固反馈提高01．若点A<－2,n>在x轴上,则点B<n－1,n＋1>在<>A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限02．若点M<a＋2,3－2a>在y轴上,则点M的坐标是<>A．<－2,7>B．<0,3>C．<0,7>D．<7,0>03．如果点A<a,b>,则点B<－a＋1,3b－5>关于原点的对称点是<>A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是<>A．六楼6号B．北偏西400C．文昌大道10号D．北纬260,东经135005．在坐标平面内有一点P<a,b>,若ab＝0,则P点的位置是<>A．原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上06．已知点P<a,b>到x轴的距离为2,到y轴的距离为5,且|a－b|＝b－a,则点P的坐标是_______________．07．已知平面直角坐标系内两点M<5,a>,N<b,－2>,=1\*GB3①若直线MN∥x轴,则a＝______,b＝__________；=2\*GB3②若直线MN∥y轴,则a＝___________,b＝_________．08．如图,将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次,点P依次落在点P1,P2,P3,…,P2010的位置,则P2010的横坐标x2010＝___________•09．按下列规律排列的一列数对,<2,1>,<5,4>,<8,7>…,则第七个数对中的两个数之和是______________•10．如图,小明用手盖住的点的坐标可能为〔A．<2,3>B．<2,－3>C．<－2,3>D．<－2,－3>11．点P位于x轴的下方,距y轴3个单位长度,距x轴4个单位长度,则点P的坐标是____________．12．将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序数对<n,m>表示第n排,从左到右第m个数,则表示实数25的有序数对是______________．13．已知点A<－5,0>,B<3,0>,<1>在y轴上找一点C,使之满足S△ABC＝16,求点C的坐标；<2>在平面直角坐标系内找一点C,使之满足S△ABC＝16的点C有多少个？这样的点有什么规律．14．若y轴正方向是北,小芳家的坐标为<1,2>,小李家的坐标为<－2,－1>,则小芳家的________________方向．15．如图在平面直角坐标系中A<0,1>,B<2,0>,C<2,1.5><1>求△ABC的面积；<2>如果在第二象限内有一点P<a,>,试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；<3>在<2>的条件下,是否存在一点P,使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在,求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．16．如图所示,在直角坐标系xOy中,四边形OABC为正方形,其边长为4,有一动点P,自O点出发,以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O运动,问何时S△ＰBC＝4？并求此时P点的坐标．培优升级奥赛检测01．如果点M<a＋b,ab>在第二象限,那么点N<a,b>在第_____________象限．02．若点A<6－5a,2a－1>．<1>点A在第二象限,求a的取值范围；<2>当a为实数时,点A能否在第三象限,试说明理由；<3>点A能否在坐标原点处？为什么？03．点P{－,－[－|1－|]}关于y轴对称点的坐标是_____________．04．已知点Ａ<2a＋3b,－2>与点B<8,3a＋2b>关于x轴对称,那么a＋b＝__________．05．已知ａ＜０,那么点Ｐ<－a2－2,2－a>关于原点对称的点在第________象限．06．已知点P1<a－1,5>在第一、三象限角平分线上,点P2<2,b－8>在第二、四象限角平分线上,则<－a＋b>2010＝___________．07．无论x为何实数值,点P<x＋1,x－1>都不在第_________象限•08．已知点P的坐标为<2－a,3b＋6>,且点P到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标为_________．09．若点P<x,y>在第二象限,且|x－1|＝2,|y＋3|＝5,则P点的坐标是__________．10．若点A<2x－3,b－x>在坐标轴夹角的平分线上,且在第二象限,则点A的坐标是__________．11．已知线段AB平行于y轴,若点A的坐标为<－2,3>,且AB＝4,则点B的坐标是__________．12．已知A<－3,2>与点B<x,y>在同一条平行于y轴的直线上,且点B到x轴的距离等于3,求B点的坐标．13．如图,B<2,4>,点D从O→C→B运动,速度为1单位长度／秒．<1>当D在OC上运动时,直线BD能否将长方形ABCD的面积分为1:2两部分,若能,求点D的坐标,若不能,请说明理由；AABCDO－2xy<2>当点D运动到CB上时,经过多长时间△ABD的面积等于矩形ABCO的面积？并求此时D点的坐标．14．已知：A<a－,2b＋>,以A点为原点建立平面直角坐标系．<1>试确定a、b的值；<2>若点B<2a－,2b＋2m>,且AB所在直线为第二、四象限夹角的平分线,求m的值．第15讲平面直角坐标系〔二考点•方法•破译1．建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2．了解可以用不同的方式确定物体的位置.3．在同一坐标系中,会用坐标表示平移变换.经典•考题•赏析[例1]在平面直角坐标系中,将点A〔－2,3先向左平移2个单位,再向上平移2个单位后得到B点的坐标是.[解法指导]在平面直角坐标系中,将点P〔x,y向右或向左平移a个单位,可以得到P’〔x+a,y或P’〔x－a,y,将点P〔x,y向上或向下平移b个单位长度,可以得到P’〔x,y+b或P’〔x,y－b.一句话：右、上作加,左、下作减.即B点的坐标为〔－4,5,所以B点的坐标为〔－4,5.[变式题组]01．在平面直角坐标系中,将点A〔5,－2先向下平移3个单位,再向右平移2个单位得到点B的坐标是.02.在平面直角坐标系中,将点M〔3,－4平移到点N〔－1,4,是经过了先向,再向,而得到的.03．点A〔－5,－b经过先向下平移3个单位,再向左平移2个单位长度后得到点B〔a,－1,则ab＝.[例2]△ABC三个顶点坐标分别是A〔4,3B〔3,1C〔1,2⑴将△ABC向右平移1个单位,得到△A1B1C1,再向下平移2个单位长度得到△A2B2C2,求△A2B2C2三个顶点的坐标.⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去5,纵坐标不变得到△A3B3C3,则△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上5,横坐标不变得到△A4B4C4,则△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？[解法指导]平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等,形状相同.解：⑴A2<5,1>B2〔4,－1C2〔2,0；⑵△A3B3C3与△ABC大小相等,形状相同,△A3B3C3是△ABC向左平移5个单位得到的；⑶A4〔4,8B4〔3,6C4〔1,7,△A4B4C4与△ABC大小相等,形状相同,△A4B4C4是△ABC向上平移5个单位得到的.[变式题目]01.如图将三角形向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则平移后三个顶点的坐标是〔A．〔1,7,〔0,2〔3,5B〔1,7,〔0,2〔4,5C〔1,7,〔2,2〔3,5D〔1,7,〔2,2〔3,302.将正方形向下平移3个单位长度,再向左平移5个单位长度,所得到的顶点坐标分别是〔－1,2,〔3,2,〔3,－2,〔－1,－2,则平移前该正方形的四个顶点的坐标分别为：3.如图所示的直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是：A〔0,0B〔6,0C〔5,5⑴求△ABC的面积；⑵如果将△ABC向上平移1个单位长度,得到△A1B1C1,再向右平移2个单位长度得到△A2B2C2,试求△A2B2C2三个顶点的坐标；⑶试说明△A2B2C2与△ABC的形状、大小有什么关系？[例3]在平面直角坐标中,点A〔1,2平移后的坐标A’〔－3,3,按照同样的规律平移其它点,则下列哪种变换符合这种规律〔A．〔3,2→〔4,－2B．〔－1,0→〔－5,－4C〔2.5,－1/3→<－1.5,2/3>D<1.2,5>→<－3.2,6>[解法指导]先仔细分析平移规律：点A〔1,2→A’〔－3,3,规律是：横坐标减少4,纵坐标增加1,再依据规律作出正确的判断.[解]依据坐标平移规律,故选C．[变式题组]01．在平面直角坐标系中,点A〔－2,3平移后的坐标为A’〔2,－3,按照同样的规律平移〔1,－2,得到.02．线段CD是由线段AB平移得到的,点A<－1,4>的对应点C〔4,7,则点B〔－4,－1的对应点D的坐标是.03．将点P<m－2,n+1>,沿x轴负方向平移3个单位长度得到P1〔1－m,2,求点P的坐标.04．平面直角坐标系中,△ABC个顶点的坐标分别是A〔6,8,B〔－2,0,C〔－5,－3,△DEF各顶点的坐标是D〔0,3,E〔8,11,F〔－3,0,请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系,判断△DEF是不是由△ABC平移得到的？如果是请回答平移规律；如果不是,请说明理由.[例4]如图是某市市区几个旅游景点的示意图〔图中每个小正方形的边长为1个长度单位,请以某景点为原点,画出直角坐标系,并用坐标表示下列景点的位置.光岳楼金凤广场动物园[解法指导]若以金凤广场为坐标原点O,过点O的水平线为x轴,取向右为正方向；过点O的竖直直线为y轴,取向上为正方向,即可建立平面直角坐标系,各景点坐标的位置就可以表示出来.[解]以金凤广场为坐标原点O,,建立如图所示的直角坐标系.所以：⑴光岳楼〔1,1⑵金凤广场〔0,0；⑶动物园〔6,5.[变式题组]01．如图为某市旅游景点示意图,试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系,用坐标表示各个景点的位置.02．如图是传说中的一个藏宝图,藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图,现金的寻宝人没有原来的地图,但知道在该图上有两块大石头A<2,1>,B<8,2>,而藏宝地的坐标是〔6,6,试设法在地图上找到藏宝地点.[例5]某村是一个古树名木保护模范村,仅百年以上树龄的古树就有5棵,第一棵古松树在小刚家的院子里,第二棵古松树在小刚家东南方向2000米处,第三棵古松树在小刚家北偏西30•方向1000米处,第四棵古松树在小刚家正东1000米处,第五棵古槐树在小刚家南偏西45•方向1500米处,请你画图表示这五棵古树的位置.[解法指导]以小刚家为坐标原点,水平线为x轴,正东方向为正方向,取竖直线为y轴,正北方向为正方向建立平面直角坐标系,再根据这五棵树的方位和数量关系即可确定它们的位置.[解]以小刚家为坐标原点,水平线为x轴,正东方向为正方向,取竖直线为y轴,正北方向为正方向建立平面直角坐标系,比列尺为1:50000,即1厘米表示500米.那么五棵数的位置如图所示.[变式题组]01．如图,为一公园内运动园的平面示意图：A为孔雀园,B为猴山,C为鹦鹉园,D为天鹅园,E为熊猫园,F为师虎园.现以孔雀园来说：⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上？要想确定猴山的位置,还需要什么数据？⑵与孔雀园距离相等的有几个园？它们是什么园？⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据？请借助刻度尺、量角器,说出狮虎园距鹦鹉园的位置？[例6]如图,早直角坐标系中,第一次将OAB变换成OA1B1,第二次将OA1B1变换成OA2B2,第三次将OA2B2变换成OA3B3,已知A〔1,3,A1〔2,3,A2〔4,3A3〔8,3,B〔2,0,B1〔4,0,B2〔8,0,B3〔16,0.⑴观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再次将OA3B3变换成OA4B4,则A4的坐标是,B4的坐标是；⑵若按⑴题找到的规律,将OAB进行了次变换,得到OAnBn,推测An的坐标是,Bn的坐标是.[解法指导]此题为猜想题,解这类题一般步骤是：⑴＜1＞观察：高清观察的对象；＜2＞分析：分析个数之间的关系,如：和、倍、分等数量关系；＜3＞对比：在分析个数据的情况下,找出个数据之间的区别和联系,为归纳作准备；＜4＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来；⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法.分析：观察图形,可知An的横坐标是2n,而Bn的横坐标是按2n+1变化的.解：⑴A4<16,3>,B4<32,0>;An<2n,3>,Bn<2n+1,0>.[变式题组]01.〔XX.XX在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点,观察图中每一个正方形〔实线四条边上的整点的个数,请你猜想由里向外第10个正方形〔实线四条边上的整点个数共有个.[例7]如图所示,在平面直角坐标系中,将坐标为〔0,0>,<5,0>,<4,3>,<1,3>,<0,0>,的点用线段依次连接起来形成一个图案,不画图形,回答下列问题.若每个点的横坐标保持不变,纵坐标变成原来的2倍,将所得各点用线段依次连接起来,那么所得的图案与原来图案相比有什么变化？若横坐标保持不变,纵坐标分别加2呢？若纵坐标保持不变,横坐标分别加2呢？若横坐标保持不变,纵坐标分别乘－1呢？若纵坐标保持不变,横坐标分别乘－1呢？[解法指导]⑴所得图案与原图案相比,图案横向未变,纵向被拉长为原来的2倍；⑵所得图案与原图案相比,图案的形状、大小未发生改变,它被向上纵向平移了2个单位；⑶所得图案与原图案相比,图案的形状、大小未发生改变,它被向右横向平移了2个单位；⑷所得图案与原图案相比,新图案与原图案关于x轴成轴对称.⑸所得图案与原图案相比,新图案与原图案关于y轴成轴对称.欲解此题,只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状变化之间关系的规律即可.演练巩固反馈提高01．将三角形ABC各顶点的横坐标不变,而纵坐标分别加4,连接三个点所得到三角形是三角形ABC〔A．向左平移4个单位得到B．向上平移4个单位得到C．向右平移4个单位得到D．向下平移4个单位得到02.将三角形ABC各顶点的纵坐标不变,横坐标分别减5,连接三个点所得到三角形是由三角形ABC〔A．向左平移5个单位得到B．向右平移5个单位得到C．向上平移5个单位得到D．向下平移5个单位得到03.〔日照市在平面直角坐标系中,把点P<－2,1>向右平移一个单位,则得到的对应点P’的坐标是〔A．〔－2,2B．〔－1,1C．〔－3,1D．〔－2,0 04．如右图,将三角形向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,则平移后三个顶点的坐标是〔A．〔2,2,〔3,4,〔1,7B．〔－2,2,〔4,3,〔1,7C．〔－2,2,〔－5,－3,〔0,－1D．〔－2,2,〔－5,3,〔0,－105．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下⑴根据具体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直角坐标系内画出各点.其中顺序正确的是〔A．⑴,⑵,⑶B．⑵,⑴,⑶C．⑶,⑴,⑵D．⑴,⑶,⑵06．如图,图是由图1经过变换得到的,下列说法中错误的是〔A．将图1先向右平移4个单位,再向上平移6个单位得到图2B．将图1先向上平移6个单位,再向右平移4个单位得到图2C．将图1先向上平移6个单位后,再沿y轴翻折180•可得到图2D．将图1先向右平移4个单位后,再沿x轴翻折180•可得到图207．在象棋中,"马走斜"是指"马"从"日"的一个顶点沿着对角线走向另一个顶点,图中"马"现在的位置用〔6,2表示,要想"马"走现在"帅"的位置〔如图,至少需要步,写出"马"所走的路线〔只要写出一种.08.〔XX如图是某市市区四个旅游景点示意图〔图中每个小正方形的边长为1个单位长度,请以某景点为原点,建立平面直角坐标系〔保留坐标系的痕迹,请用坐标表示下列景点的位置.⑴动物园,⑵烈士陵园.09.〔永州如图所示,要把线段AB平移,使得点A到达点A‘<4,2>,点B到达点B’,那么点B‘的坐标是.10．华英学校七年级二班的三位同学：李丽,王明,张倩,他们从家到学校的路线分别是：⑴李丽出家门口向东走50米,再向南走100米,可到学校；⑵王明出家门口向西100米,再向南走150米,可到学校；⑶张倩出家门口向东走100米,再向北走50米,可到学校.根据以上条件建立坐标系,画出李丽、王明、张倩家的位置及学校的位置.11.在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.⑴计算△ABC的面积；⑵将△ABC向右平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标；⑶写出所得△A1B1C1和△ABC的形状、大小有什么关系？培优升级奥赛检测01.在平面直角坐标系内,已知点〔2m,m－4在第四象限内,且m为偶数,那么m的值为.02.已知点P1〔a－1,5在第一、三象限角平分线上；点P2〔2,b－8在二、四象限角平分线上,则〔－a+b2004＝.03．矩形ABCD中,AB＝5,BC＝2,以矩形的对角线交点为坐标原点,平行于边的直线为坐标轴,建立直角坐标系,则四个顶点的坐标为.04．在正方形ABCD中,A、B、C三点坐标分别为〔1,2、〔－2,1、〔－1,－2,则顶点D的坐标为.05．无论x为何实数值,点p<x+2,x－2>都不在第象限.06．如果点A<,1>在第一象限,则点B<－a2,ab>在第〔象限.A．一B．二C．三D．四07．若点的坐标满足,则点P必在〔.A．原点上B．x轴上C．y轴上D．x或y轴上08．已知x、y实数,且P<x,y>的坐标满足x2+y2＝0,则点p必在〔A．原点上B．x轴正半轴上C．y轴正半轴D．x轴负半轴上09．〔XX如图所示,在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.设坐标轴的单位长度为1厘米,整点P从原点O出发,速度为1厘米/秒,且整点P作向上或向右运动,运动的时间〔秒与整点〔个的关系如下表"整点P从原点O出发的时间〔秒可以得到整点P的坐标可以得到整点P的个数1<0,1><1,0>22<0,2><1,1><2,0>33<0,3><1,2><2,1><3,0>4………根据上表中的规律,回答下列问题：⑴当整点P从点O出发4秒时,可以得到的整点P的个术士为个；⑵当整点P从点O出发8秒时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连接这些整点；⑶当整点P从点O出发秒时,可以到达整点〔16,4的位置.第18讲二元一次方程组及其解法考点·方法·破译1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义；3．熟练掌握二元一次方程组的解法.经典·考题·赏析[例1]已知下列方程2xm－1＋3yn＋3＝5是二元一次方程,则m＋n＝.[解法辅导]二元一次方程必须同时具备三个条件：⑴这个方程中有且只有两个未知数；⑵含未知数的次数是1；⑶对未知数而言,构成方程的代数式是整式.[解]根据二元一次方程的概念可知：,解得m＝2,n＝－2,故m＋n＝0.[变式题组]01．请判断下列各方程中,哪些是二元一次方程,哪些不是,并说明理由.⑴2x＋5y＝16<2>2x＋y＋z＝3<3>＋y＝21<4>x2＋2x＋1＝0<5>2x＋10xy＝502．若方程2xa＋1＋3＝y2b－5是二元一次方程,则a＝,b＝.03．在下列四个方程组①,②,③,④中,是二元一次方程组的有〔A．1个B．2个C．3个D．4个[例2]〔XX中考二元一次方程组的解是〔A．B．C．D．[解法辅导]二元一次方程组的解,就是它的两个方程的公共解,根据此概念,此类题有两种解法：⑴若方程组较难解,则将每个解中的两未知数分别带入方程组,若使方程组都成立,则为该方程组的解,若使其中任一方程不成立,则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解,则直接解方程组可得答案.本例中,方程组较易解,故可直接用加减消元法求解,本题答案选D．[变式题组]01．〔XX若x=1,y=2是方程ax－y＝3的解,则a的值是〔A．5B．－5C．2D．102．〔XX若二元一次方程的一个解为,则此方程可以是〔只要求写一个03.〔义乌已知：∠A、∠B互余,∠A比∠B大30°,设∠A、∠B的度数分别为x°,y°,下列方程组中符合题意的是〔A．B．C．D．4．〔XX若,是二元一次方程组,的解,则a＋2b的值为.①②[例3]解方程组①②[解法辅导]当二元一次方程组的一个方程中,有一个未知数的系数为1或－1时,可选用带入法解此方程,此例中①变形得y＝7－x③,将③带入②可消去y,从而求解.解：由①得,y＝7－x③将③带入②,得3x＋5<7－x>＝17,即35－2x＝17x＝9故此方程组的解是[变式题组]1.解方程组：〔XX⑴〔海淀⑵〔花都⑶〔XX⑷2．方程组的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为〔A．5B．－5C．3D．－3①②[例4]解方程组①②[解法辅导]用加减法解二元一次方程组时,要注意选择适当的"元"来消去,原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去,特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时,就选择该未知数为宜,若两系数符号相同,则相减,若系数符号相反,则相加.本题中,y的系数绝对值之比为5：1＝5,因此可以将①×5,然后再与②相家,即可消去y.解：①×5得,y＝7－x③③＋②,得,13x＝26∴x＝2将x＝2代入①得y＝－1∴此方程组的解是.[变式题组]01．<XX>以为解的二元一次方程组是〔A．B．C．D．02．解下列方程组：〔日照⑴〔宿迁⑵03．〔XX已知方程组的解为,则2a－3b的值为〔A．4B．6C．－6D．－4①②04．已知,那么x－y的值为,x＋y的值为.①②①②[例5]已知二元一次方程组的解满足x＋y＝6,求k的值.①②[解法辅导]此题有两种解法,一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程,此方程与x＋y＝6联立,求得x、y的值,从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y,其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y,再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程,继而求k的值.解：①×2,得,6x＋4y＝4k＋24③③－②,得2x＋7y＝22④由x＋y＝6,得2x＋2y＝12⑤,⑤－④,得－5y＝－10∴y＝2将y＝2代入x＋y＝6得x＝4将带入①得3×4＋2×2＝2k＋12∴k＝2.[变式题组]01．已知⑴与⑵有相同的解,则m＝,n＝.02．方程组的解满足方程x＋y－a＝0,那么a的值为〔A．5B．－5C．3D．－303．已知方程组的解x与y的和为8,求k的值.①②[例6]解方程组①②[解法辅导]观察发现：整个方程组中具有两类代数式,即〔x＋3y和〔x－y,如果我们将这两类代数式整体不拆开,而分别当作两个新的未知数,求解则将会大大减少运算量,当分别求出x＋3y和x－y的值后,再组成新的方程组可求出x、y的值,此种方法称为换元法.解：设x＋3y＝a,x－y＝b,则原方程组可变形为③④③④③×3,得12a＋9b＝12⑤④×4,得12a－20b＝48⑥－⑤,得29b＝0,∴b＝0将b＝0代入③,得a＝4∴可得方程组故原方程组的解为.[变式题组]01．解下列方程组：⑴⑵〔XXXX02．〔XX若方程组的解是,则方程组的解是〔A．B．C．D．03．解方程组：①②①②[例7]〔第二届"华罗庚杯"香港中学邀请赛试题已知：方程组的解应为,小明解此题时把c抄错了,因此得到的解是,则a2＋b2＋c2的值为.[解法辅导]是方程组的解,则将它代入原方程可得关于c的方程,由题意分析可知：是方程ax＋by＝－16的解,由此可得关于a、b的又一个方程,由此三个方程可求得a、b、c的值.解：34[变式题组]01．方程组时,一学生把a看错后得到,而正确的解是,则a、c、d的值是〔A．不能确定B．a＝3,c＝1,d＝1C．c、d不能确定D．a＝3,c＝2,d＝－202．甲、乙良人同解方程组,甲正确解得,乙因抄错C,解得,求A、B、C的值.演练巩固反馈提高01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是,用含y的式子表示x是.02．<XX>已知是方程组的解,则a＋b＝.03．若<x－y>2＋|5x－7y－2|＝0,则x＝,y＝.04．已知是二元一次方程组的解,则a－b的值为.05．若x3m－n＋y2n－m＝－3是二元一次方程,则m＝,n＝.06.关于x的方程〔m2－4x2＋<m＋2>x＋<m＋1>y＝m＋5,当m＝时,它是一元一次方程,当m＝时,它是二元一次方程.07．〔XX方程组的解是〔A．B．C．D．08．〔XX已知是方程2x－ay＝3的一个解,那么a的值是〔A．1B．3C．－3D．－109．〔XX方程组的解是〔A．B．C．D．10．〔XX若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程3x＋3y＝6的解,则k的值为〔A．－B．C．D．－11．〔怀柔已知方程组的解为,求的值为多少？12.解方程组：⑴〔滨州⑵〔XX⑶13．已知方程组和方程组的解相同,求代数式3a＋7b的值.14．已知方程组的解x与y的和为8,求k的值.15．〔希望杯试题m为正整数,已知二元一次方程组有整数解,求m2的值.培优升级奥赛检测①②01．当k、b为何值时,方程组①②⑴有唯一一组解⑵无解⑶有无穷多组解02．.当k、m的取值符合条件时,方程组至少有一组解.03．已知：m是整数,方程组有整数解,求m的值.04．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0,<xyz≠0>,则式子的值等于〔A．－B．－C．－15D．－1305．〔信利杯赛题已知：三个数a、b、c满足＝,＝,＝,则的值为〔A．B．C．D．06．〔广西赛题已知：满足方程2x－3y＋4m＝11和3x＋2y＋5m＝21的x、y满足x＋3y＋7m＝20,那么m的值为〔A．0B．1C．2D．307．〔广西赛题若|a＋b＋1|与〔a－b＋12互为相反数,则a与b的大小关系是〔A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．a≥b08．〔"华罗庚杯"竞赛题解方程组09.〔全国竞赛XX赛区试题方程组的解的组数为〔A．1B．2C．3D．410．对任意实数x、y定义运算x※y＝ax＋by,其中a、b为常数,符号右边的运算是通常意义的加乘运算,已知1※2＝5且2※3＝8,则4※5的值为〔A．20B．18C．16