高中数学人教A版必修 第九章 平面解析几何（备课资源）

第1节直线的方程对应学生用书P2171.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式).一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.

(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).

2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k=tanα.

(2)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则直线l的斜率k=

y2-二、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)

不含直线x=x0斜截式y=kx+b

不含垂直于x轴的直线两点式

y-y1不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式

xa+yb=1(a,b≠0不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)

平面内所有直线都适用1.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系如图,当α∈0,π2时,斜率k∈[0,+∞);当α=π2时,斜率k不存在;当α∈π2,π时,斜率k∈(-∞,0).2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.1.判断下列结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()(3)若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.()(4)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(教材改编)若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为().A.1 B.4 C.1或3 D.1或4答案A解析由题意得4-mm+2=1,3.(2023·山东三模)已知条件p:直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0平行,条件q:a=1,则p是q的().A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案D解析当直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0平行时,a21=a+12≠1,解得a=-12.当a=1时,直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0重合,所以4.(2021年上海卷)直线x=-2与直线3x-y+1=0的夹角为.

答案π6解析由于直线x=-2的倾斜角为π2,直线3x-y+1=0即直线y=3x+1,其倾斜角为π3,故夹角为考点一直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线2xcosα-y-3=0α∈π6,π3的倾斜角的取值范围是(A.π6,πC.π4,π答案B解析直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα,因为α∈π6,π3,所以12≤cosα≤32,因此k=2cosα∈[1,3].设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,3].又θ∈[0,π),所以θ(2)已知点A(1,3),B(-2,-1),若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是().A.k≥12 B.k≤-C.k≥3 D.-2≤k≤1答案D解析由已知直线l恒过定点P(2,1),如图所示.由图可得,若直线l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB.∵kPA=-2,kPB=12,∴-2≤k≤12.故选(1)倾斜角α与斜率k的关系①当α∈0,π2时,斜率k∈[0,+∞);②当α=π2时,斜率k不存在③当α∈π2,π时,斜率k∈(-∞,0).(2)斜率的两种求法①定义法:k=tanα.②公式法:k=y2-y1x2-x(3)求倾斜角α的取值范围或直线斜率的取值范围时,要充分利用y=tanα的单调性.1.已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1)与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是().A.34<k<2 B.k>2或k<C.k>34 D.k<答案A解析因为kAP=2,kBP=34,如图所示因为直线l与线段AB始终没有交点,所以kBP<k<kAP,故斜率k的取值范围是34,2.2.(改编)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是().A.0B.3C.0,πD.π4,答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为-1a2+1,又-1≤-1a2+1考点二直线方程的求解【例2】求适合下列条件的直线方程.(1)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-14(2)过点A(1,-1)且与已知直线l1:2x+y-6=0相交于点B,|AB|=5.解析(1)设所求直线的斜率为k,依题意得k=-14×3=-3又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线的方程为y+3=-34(x+1),即3x+4y+15=0(2)过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.联立方程x=1,2x+y-6=0,求得点B的坐标为(1,4),设过点A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),联立方程2解得x=k+7k+2,y=4k-2k+2(k≠由已知k+7k+2-12+4k-2k+2+12=52,解得k=-34,所以y+1=-34(x-1),即3x+综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0.求直线方程一般有以下两种方法(1)直接法:首先由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.(2)待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上的中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.解析(1)因为直线BC经过B(2,1),C(-2,3)两点,所以由两点式得直线BC的方程为y-13-1=x-2-2(2)设BC边的中点为D(x,y),则x=2-22=0,y=1+32=2,即D(0因为BC边上的中线AD过A(-3,0),D(0,2)两点,所以其所在直线的方程为x-3+y2=1,即2x-3y+6(3)由(1)知,直线BC的斜率k1=-12则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.由(2)知,点D的坐标为(0,2),故所求直线的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.考点三直线方程的综合应用命题角度1与直线有关的最值问题【例3】(改编)过点P(4,1)作直线l,分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B.(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.解析设直线l:xa+yb=1(a>0,b>0),因为直线l经过点P(4,1),所以4a+1(1)因为4a+1b=1≥24a·1b=4ab,所以ab≥16,所以S△AOB=12ab≥8,当且仅当4a=1b,即a=8,b=2时等号成立,所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x8+y(2)因为4a+1b=1,a>0,b>0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·4a+1b=5+ab+4ba≥5+2ab·4ba=9,当且仅当ab=4ba,即a=6,b=3时等号成立.所以当|OA|+|OB|取最小值时,1.求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数的性质)求解最值.2.求解直线方程与函数相结合的问题,一般利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,再借助函数的性质解决问题.过点P(2,1)作直线l,与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程;(3)|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程.解析(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2),则可得A2k-1k,0,B(0,1-2k∵直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,∴2k-1k∴S△AOB=12·|OA|·|OB|=12·2k-1k·(1-2k)=12·4-1k-4k≥124+当且仅当-1k=-4k且k<0,即k=-12时,△AOB的面积取得最小值,最小值为此时直线l的方程为y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0(2)∵A2k-1k,0,B(0,1-2k)(k<∴截距之和为2k-1k+1-2k=3-2k-1k≥3+2(-2当且仅当-2k=-1k,即k=-22时,等号成立.故截距之和的最小值为3+2此时直线l的方程为y-1=-22(x-2),即x+2y-2-2=0(3)∵A2k-1k,0,B(0,1-2k)(k<∴|PA|·|PB|=1k2+1·4+4k2=4当且仅当4k2=4k2,即k=-1时,故|PA|·|PB|的最小值为4,此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.命题角度2与直线有关的求参问题【例4】已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值及此时直线l的方程.解析(1)(法一)直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,令x+2=0,∴无论k取何值,直线l总经过定点(-2,1).(法二)方程kx-y+1+2k=0可化为y-1=k(x+2),显然直线l恒过定点(-2,1).(2)由方程知,当k≠0时,直线l在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,要使直线l不经过第四象限,则必须有-1+2k当k=0时,直线l的方程为y=1,符合题意.故k的取值范围是[0,+∞).(3)由题意可知k≠0,再由直线l的方程,得A-1+2kk,0,B(0,1+2k).依题意得-1+2kk<0∵S=12·|OA|·|OB|=12·1+2kk·|1+2k|=12·(1+2k)2k=124k+1k+4≥12×当且仅当4k=1k,即k=12时,∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.1.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,能够看出“动中有定”.若直线的方程为y=k(x-a)+b,则直线过定点(a,b).2.求解与直线方程有关的面积问题,应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度,进而求得多边形的面积.(改编)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a的值为.

答案1解析由题意知直线l1,l2均恒过点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,又0<a<2,所以四边形的面积S=12×2×(2-a)+12×2×(a2+2)=a2-a+4=a-122+154,对应《高效训练》P88基础过关1.若过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的斜率为1,则y=().A.-32 B.32 C.-1 D答案C解析∵过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的斜率为1,∴直线的斜率k=1=y+34-2,解得y=-12.过点P(3,-23)且倾斜角为135°的直线方程为().A.3x-y-43=0 B.x-y-3=0C.x+y-3=0 D.x+y+3=0答案D解析∵直线的倾斜角为135°,∴斜率k=tan135°=-1,又直线过点P(3,-23),∴直线的点斜式方程为y+23=-1×(x-3),即x+y+3=0.故选D.3.(2023·汕头期末)已知直线x+ky-2-3k=0恒过定点Q,点Q在直线l上,则l的方程可以是().A.x+y-4=0 B.2x-y-1=0C.3x+y-8=0 D.x+2y-7=0答案B解析x+ky-2-3k=0可化为k(y-3)=-(x-2),则直线恒过定点Q(2,3),验证选项得直线l的方程可以为2x-y-1=0.故选B.4.(2023·如皋期末)已知直线ax+by+c=0满足a<b<0<c,那么这条直线一定不经过().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析由ax+by+c=0,得y=-abx-cb.∵a<b<0∴-ab<0,-cb>0,∴直线y=-abx-cb经过第一、二、四象限,即不经过第三象限5.(2023·广东韶关月考)过点M(-1,-2),且在两坐标轴上截距相等的直线方程为().A.x+y+3=0B.2x-y=0或x+y+3=0C.y=x-1D.x+y+3=0或y=x-1答案B解析当所求直线不过原点时,设所求直线的方程为x+y=a,因为直线过点M(-1,-2),所以a=-3,即x+y+3=0;当所求直线过原点时,设直线方程为y=kx,因为直线过点M(-1,-2),所以k=2,即2x-y=0.综上可得,所求直线的方程为2x-y=0或x+y+3=0.故选B.6.下列四个命题为真命题的是().A.直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2B.直线y=0的倾斜角和斜率均存在C.若两直线的斜率k1,k2满足k1=k2,则两直线互相平行D.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等答案B解析对于直线3x+y+2=0,令x=0得y=-2,所以直线3x+y+2=0在y轴上的截距为-2,故A错误;直线y=0的倾斜角为0,斜率存在且为0,故B正确;若两直线的斜率k1,k2满足k1=k2,则两直线互相平行或重合,所以C错误;若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,所以D错误.故选B.7.(2023·山东日照月考)如图,在矩形ABCD中,|BC|=3|AB|,直线AC的斜率为33,则直线BC的斜率为()A.3 B.3C.233 D.答案A解析∵在Rt△ABC中,∠ABC=π2,|BC|=3|AB|∴tan∠ACB=|AB||BC|=33设直线AC的倾斜角为θ,则tanθ=33,即θ=π∴直线BC的倾斜角为θ+π6=π3.故kBC=tanπ3=3.8.下列说法正确的是().A.“a=1”是“直线a2x+y-1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是0,π4∪3π4,πC.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为y-yD.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0答案B解析对于A,当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时也满足两直线垂直,故A错误;对于B,直线的斜率k=-sinα,则-1≤k≤1,即-1≤tanθ≤1,则θ∈0,π4∪3π4,π,故B正确;对于C,当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y1,此时直线方程不成立,故C错误;对于D,若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D错误.9.已知直线l过点P(2,4),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程为().A.2x-y=0B.2x+y-8=0C.2x-y=0或x+2y-10=0D.2x-y=0或2x+y-8=0答案D解析若直线l经过原点,满足条件,可得直线l的方程为y=2x,即2x-y=0;若直线l不经过原点,可设直线l的方程为xa+y2a=1(a≠0),把点P(2,4)代入可得2a+42a=1,解得a=4,∴直线l的方程为x4+y8=1,即2x+y-8=0.综上可得直线l的方程为2x-y=0或210.(2023·柳州三模)已知点A(1,0),B(3,0),若直线kx-y+1=0上存在点P,满足PA·PB=0,则k的取值范围是().A.-43,0 B.0,43C.-43,43 D.(-∞,0]答案A解析因为点P在直线kx-y+1=0上,所以设P(x,kx+1),则PA=(1-x,-kx-1),PB=(3-x,-kx-1),所以PA·PB=(1-x)(3-x)+(kx+1)2=(k2+1)x2+(2k-4)x+4=0,因为方程有解,所以Δ=(2k-4)2-4×(k2+1)×4≥0,解得-43≤k≤0能力提升11.已知直线l过第一象限的点(m,n)和(1,5),若直线l的倾斜角为135°,则1m+4n的最小值为(A.4 B.9 C.23 D.答案D解析由题意得n-5m-1=tan135°=-1,所以m+n=6(m>所以1m+4n=161m+4n(m+n)=165+nm+4mn≥165+2nm·4mn=32,当且仅当m=2,n=4时取等号,12.在平面直角坐标系中,已知矩形OABC,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使点O落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围是.

答案[-2,0]解析如图,要想使折叠后点O落在线段BC上,可取BC上任意一点D,作线段OD的垂直平分线l,以l为折痕可使点O与点D重合.因为kOD≥kOB=12,所以k=-1kOD≥-2,且k<0.又当折叠后点O与点C重合时,k=0,所以-2≤k≤0,所以k的取值范围是[-2,13.已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的k的值为.

答案1解析由直线方程易知直线l1,l2均恒过点(2,4),则两直线均经过第一象限,因为0<k<4,所以直线l1的斜率k2∈(0,2),直线l2的斜率-2k2∈-∞,-18.又直线l1在y轴上的截距为4-k,直线l2在x轴上的截距为2k2+2,所以四边形的面积S=12×2×(4-k)+12×4×(2k2+2)=4k2-k+8=4k-182+12716.故当k=114.直线mx-3y+n=0必过x轴上的一个定点,写出实数m,n可能满足的一个关系:.

答案n=2m(答案不唯一)解析由题意可知,当直线经过x轴上的定点时,有mx+n=0,即n=-mx.设过定点(-2,0),代入得n=2m(答案不唯一).思维拓展15.已知点A(4,5),点B在x轴上,点C在直线2x-y+2=0上,则△ABC的周长的最小值为,此时点C的坐标为.

答案410(1,4)解析按题意画图,如图,设点A关于直线2x-y+2=0的对称点D的坐标为(a,b),则AD的中点为E4+a2,5+b则满足b即a+2b-14=0,2a-b+7=0又点A关于x轴对称的点为P(4,-5),则当D,B,C,P四点共线时,△ABC的周长最小,最小为|DP|=42+(-5直线DP的方程为7+50-4=y-7x,即联立3x+y-7=0,2x16.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.解析(1)若2-a=0,解得a=2,则直线l的方程化为3x+y=0.若a+1=0,解得a=-1,则直线l的方程化为y+3=0,舍去.若a≠-1且a≠2,则直线l的方程化为xa-2a+1+ya-2=1,令a-2a+1=a-2,可得a+1=1,综上所述,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.(2)y=-(a+1)x+a-2,∵l不经过第二象限,∴-(a+1)≥0,∴实数a的取值范围是(-∞,-1].第2节直线的位置关系对应学生用书P2211.能根据斜率的关系判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.一、两条直线平行或垂直的判定1.两条直线平行(1)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2;

(2)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.2.两条直线垂直(1)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1k2=-1;

(2)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.

在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.

由一般式方程确定两直线位置关系的方法

直线方程l1与l2l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B1l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0平行的充要条件A1A2=B1B2≠C1C2(相交的充要条件A1A2≠B1B2(A重合的充要条件A1A2=B1B2=C1C2(二、两条直线相交1.交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x2.相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解.

3.平行⇔方程组无解.

4.重合⇔方程组有无数个解.

三、三种距离公式1.两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=(x2.点到直线的距离公式点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|A利用点到直线的距离公式时,需要先将直线方程化为一般式.3.两条平行直线间的距离公式两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=|C1.判断下列结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(教材改编)两条平行直线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0之间的距离为.

答案213解析因为l1∥l2,所以由两条平行直线间的距离公式得d=|-8-(-103.(2023·四川绵阳模拟)设a为实数,若直线x+ay+2a=0与直线ax+y+a+1=0平行,则a的值为().A.-1 B.1 C.±1 D.2答案A解析由题意1-a2=0,得a=±1,当a=1时,两直线重合,舍去;当a=-1时,满足两直线平行.故a=-1.4.(2020年全国Ⅲ卷)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为().A.1 B.2 C.3 D.2答案B解析记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|=2,故选B.考点一直线的平行与垂直【例1】(1)(2023·辽宁模拟)设m∈R,直线l1:(m+2)x+6y-2m-8=0,l2:x+2my+m+1=0,则“m=1”是“l1∥l2”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析若l1∥l2,则2m(m+2)=6,(m+1)(m+2)≠-(2m因此,“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件.(2)(2023·江西南昌二模)已知直线2x-y+1=0与直线x+my+2=0垂直,则m=().A.-2 B.-12 C.2 D.答案C解析当m=0时,x+my+2=0⇒x=-2,由2x-y+1=0知y=2x+1,斜率为2,所以直线2x-y+1=0与x=-2不垂直,不符合题意;当m≠0时,x+my+2=0⇒y=-1mx-2m,因为直线2x-y+1=0与直线x+my+2=0垂直,所以-1m×2=-1,解得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.1.(原创新题)已知直线l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0,若l1⊥l2,则a=().A.13 B.-13 C.3 D.答案A解析当a=0时,l2:x=2,此时l1与l2不垂直,不符合题意;当a≠0时,l2:y=-1ax+2a,l1:y=13x,∵l1⊥l2,∴13·-1a=-1,解得2.(2023·济南二模)“a=3”是“直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析充分性:当a=3时,直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0即3x+y-3=0与3x+y+4=0,所以两直线平行,故充分性满足.必要性:直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行,则有a(a-2)-3=0,解得a=3或a=-1.当a=3时,直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0即3x+y-3=0与3x+y+4=0,所以两直线平行,不重合;当a=-1时,直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0即-x+y-3=0与3x-3y+4=0,所以两直线平行,不重合.所以a=3或a=-1.故必要性不满足.故“a=3”是“直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行”的充分不必要条件.考点二直线的交点与距离问题【例2】(1)已知直线l过点P(-1,2),且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为.

答案x+3y-5=0或x=-1解析当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知,|2k-即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-13∴直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.故直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.(2)已知两条直线a1x+b1y-1=0和a2x+b2y-1=0的交点为P(2,3),则过Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)两点的直线方程为.

答案2x+3y-1=0解析∵点P(2,3)在已知的两条直线上,∴2a1+3b1=1,2a2+3b2=1,∴点Q1(a1,b1),Q2故过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y-1=0.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.1.(2023·安庆模拟)若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y-3=0的距离为10,则m=().A.7 B.172 C.14 D.答案B解析直线l1:x+3y+m=0(m>0),即2x+6y+2m=0,因为它与直线l2:2x+6y-3=0的距离为10,所以|2m+3|4+36=10,解得m=2.(改编)已知点M是直线x+3y=2上的一个动点,且P(3,-1),则|PM|的最小值为().A.12 B.1 C.2 D.答案B解析|PM|的最小值即为点P(3,-1)到直线x+3y=2的距离,又|3-3-2|1+3=1,故考点三对称问题命题角度1点关于点对称【例3】过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.

答案x+4y-4=0解析设直线l1与直线l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在直线l2上,把点B的坐标代入直线l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.中心对称:①点P(x,y)关于点Q(a,b)的对称点P'(x',y')满足x'=2a(2023·平顶山统考)已知点A(1,-2),B(m,2),若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值为().A.-2 B.-7 C.3 D.1答案C解析因为A(1,-2)和B(m,2)的中点1+m2,0在直线x+2y-2=0上,所以1+m2+2×0-2=命题角度2点关于线对称【例4】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.

答案6x-y-6=0解析设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以b-4a-(-3)·1=-1又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y-06-0=x-12◎同源改编◎已知入射光线过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线所在直线的方程为6x-y-6=0,求入射光线所在直线方程.解析设直线6x-y-6=0与直线x-y+3=0的交点为A(a,b),则a-b+3=0,6a-b-6=0,解得A95,245,故入射光线所在的直线方程为y-4=245点E(a,b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为E'(m,n),则有n(改编)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为().A.10-1 B.22-1 C.22 D.10答案A解析设点A(2,0)关于直线x+y=3的对称点为A'(a,b),则AA'的中点为2+a2,b2,kAA'=b故ba-从点A到河岸,再到军营的最短总路程,即点A'到军营最短的距离,故“将军饮马”的最短总路程为32+12-1=10-1命题角度3线关于点对称【例5】若直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为().A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0答案D解析由ax+y+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令x+3=0,y-1=0,可得x=-3,y=1,所以定点M(-3,1),且点M不在直线2x+3y-6=0上,设直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),则|-6+3-6|4+9=|-6+3+c|4+9线关于点对称的两种求解方法(1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程.(2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求的直线方程.直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是.

答案x-2y+11=0解析设所求直线上任意一点为(x,y),则关于M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上,∴所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.命题角度4线关于线对称【例6】已知△ABC的一个顶点A(4,-1),它的两个角的角平分线所在直线的方程分别为l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,则BC边所在直线的方程为.

答案2x-y+3=0解析由题意得点A不在这两个角的角平分线上,因此l1,l2是另两个角的角平分线所在的直线.点A关于直线l1的对称点A1,点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上.设A1(x1,y1),则有y解得x1=0,y1=3,所以A同理设A2(x2,y2),易求得A2(-2,-1).所以BC边所在直线的方程为2x-y+3=0.求直线l1关于直线l对称的直线l2,有两种处理方法(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点,再利用两点式写出直线l2的方程.(2)设点P(x,y)是直线l2上任意一点,其关于直线l的对称点为P1(x1,y1)(P1在直线l1上),根据点关于直线对称建立方程组,用x,y表示出x1,y1,再代入直线l1的方程,即得直线l2的方程.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,则反射光线所在的直线方程为.

答案29x-2y+33=0解析(法一)如图,由x-2∴反射点M的坐标为(-1,2).取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设点P关于直线l的对称点为P'(x0,y0),由PP'⊥l可知,kPP'=-23=y而PP'的中点Q的坐标为x0-52,又点Q在直线l上,∴3·x0-52-2·y0由y0x根据直线的两点式方程,可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.(法二)设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P'(x,y),则y0-y又PP'的中点Qx+x02∴3·x+x02-2·y+由y0-代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0,∴所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.对应《高效训练》P90基础过关1.(2023·湖北武汉模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,其中a∈R,则“a=-3”是“l1⊥l2”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析直线l1⊥l2的充要条件是a+(a+2)a=0,所以a=0或a=-3.故选A.2.(2023·福建龙岩高三期末)若点P(x,y)在直线2x-y+5=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值为().A.5 B.10 C.25 D.210答案A解析|OP|的最小值为原点O到直线的距离d=|0-0+5|22+(-1)23.已知直线l:ax+by+c=0与直线l'关于直线x+y=0对称,则l'的方程为().A.bx+ay-c=0 B.ay-bx-c=0C.ay+bx+c=0 D.ay-bx+c=0答案A解析在l的方程中以-x代替y,以-y代替x,即得l'的方程.直线ax+by+c=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程是a(-y)+b(-x)+c=0,即bx+ay-c=0.故选A.4.(2023·揭阳模拟)已知倾斜角为θ的直线l与直线3x-4y-1=0垂直,则cosθ的值为().A.-35 B.-45 C.35答案A解析由垂直知两直线的斜率之积为-1,而直线3x-4y-1=0的斜率为34,所以直线l的斜率为-43,即tanθ=-43=sinθcosθ,得θ为钝角,再根据sin2θ+cos2θ=1,求得cos5.若直线x-4y-7=0与双曲线C:ax2-y2=1(a>0)的一条渐近线平行,则a的值为().A.116 B.14 C.4 D答案A解析双曲线C:ax2-y2=1(a>0)的渐近线方程为y=±ax,直线x-4y-7=0的斜率为14,由题意得a=14,所以a=116.6.已知直线l:3x-y+1=0,则下列结论正确的是().A.直线l的倾斜角是πB.过点(3,1)与直线l平行的直线方程是3x-y+2=0C.点(3,0)到直线l的距离是2D.若直线m:x-3y+1=0,则l⊥m答案C解析直线l:3x-y+1=0的斜率为3,所以倾斜角是π3,故A错误;直线3x-y+2=0的斜率是3,与直线l平行,且过点(3,5),故B错误;点(3,0)到直线l的距离d=|3+1|3+1=2,故C正确;直线m:x-3y+1=0的斜率为33,而33×3=1≠-1,故l与m7.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则().A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°B.对任意的k,l1与l2都有公共点C.对任意的k,l1与l2都不重合D.对任意的k,l1与l2都垂直答案B解析当k=0时,直线l2的方程为x=0,此时l2的倾斜角为90°,故A错误.直线l1:x-y-1=0过定点(0,-1),直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R)可化为k(x+y+1)+x=0,所以l2过定点(0,-1),故B正确.当k=-12时,直线l2的方程为12x-12y-12=0,即x-y-1=0,此时l1与l2重合,若两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,此方程无解,故对任意的k,l1与l2都不垂直,故D错误.8.已知直线l1:ax+6y-6=0,直线l2:2x+3y+5=0,若l1∥l2,则a=;若l1⊥l2,则a=.

答案4-9解析已知直线l1:ax+6y-6=0,直线l2:2x+3y+5=0,若l1∥l2,则a2=63≠-65,解得a=4;若l1⊥l2,则2a+3×6=0,9.若一条直线与直线x-2y+3=0平行,且两直线间的距离大于5,则该直线的方程可以为.(写出一个即可)

答案x-2y+9=0(答案不唯一)解析由题意,设该直线的方程为x-2y+b=0(b≠3),由两条平行直线间的距离公式可知|3-b|5>5,解得b<-2或b>8,若取b=9,则该直线的方程为x-2y+9=10.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.

答案4x-3y+9=0解析由方程组2x+3y+1=0,x-3y+4=0,解得x=-53,y=79,即两直线的交点坐标为-53,79.∵所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,∴所求直线的斜率k=43能力提升11.(2023·江苏如皋调研)已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,10a,则线段AB的长为().A.11 B.10 C.9 D.8答案B解析因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直,所以2×-1a=-1,解得a=2,所以线段AB的中点为P(0,5).设A(m,2m),Bn,-12n,则m+n2=0,2m-12n2=5,解得m=4,n=-4,所以A(12.设a>0,b>0,若关于x,y的方程组ax+y=1,x+by答案(2,+∞)解析∵关于x,y的方程组ax+y=1,x+by=1无解,∴∵a>0,b>0,∴a1=1b≠11,即a≠1,b≠1,且ab=1,则由基本不等式得a+b=a+1a≥2a·1a=2,当且仅当a=1时取等号,而a的取值范围为a>0且a≠1,不满足取等条件13.(2022·赣州期末)已知在平面直角坐标系中,长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动,M是直线x+y-4=0上的动点,则|MA|+|MB|的最小值为.

答案4解析设点A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9,设点B关于直线x+y-4=0的对称点为B'(x1,y1),则y解得x所以要使|MA|+|MB|最短,则需|AB'|最短,而|AB'|=(a-4+b)又a2+b2=9,设a=3cosθ,b=3sinθ,所以a+b=3sinθ+3cosθ=32sinθ+π4,所以-32≤a+b≤32,所以当a+b=4(满足-32≤a+b≤32)时,|AB'|取得最小值,最小值为42-8所以|MA|+|MB|的最小值为4.14.已知y=2x是△ABC的一条内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为(-4,2),(3,1),则点C的坐标为.

答案(2,4)解析易知点A,B不在直线y=2x上,因此直线y=2x为∠C的平分线所在的直线.设点A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为A'(a,b),则kAA'=b-2a+4,线段AA'的中点的坐标为a-42,b+22,则b-2a+4∵y=2x是∠C的平分线所在的直线,∴点A'在直线BC上,故直线BC的方程为y+21+2=x-43-4,联立y=2x,3x+y-10=0,得思维拓展15.已知m,n满足m+n=1,则点(1,1)到直线mx-y+2n=0的距离的最大值为().A.0 B.1 C.2 D.22答案C解析将n=1-m代入直线方程,可得(x-2)m-y+2=0,∴直线mx-y+2n=0必过定点(2,2),故点(1,1)到直线mx-y+2n=0的距离的最大值为(2-116.已知直线2x-3y+1=0和直线x+y-2=0的交点为P.(1)求过点P且与直线3x-y-1=0平行的直线方程;(2)若直线l1与直线3x-y-1=0垂直,且点P到l1的距离为2105,求直线l1解析联立2x-3y+1=0,x+y-(1)设与直线3x-y-1=0平行的直线方程为3x-y+c1=0(c1≠-1),把交点P(1,1)代入可得3-1+c1=0,∴c1=-2,故所求的直线方程为3x-y-2=0.(2)设与直线3x-y-1=0垂直的直线方程为l1:x+3y+c2=0,∵点P(1,1)到l1的距离为|1+3+c2|10=2105,解得c2=0或c2=-8,∴直线l1的方程为x+3y=0或培优微专题十二直线系方程的应用对应学生用书P224培优点1平行直线系【例1】与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程为.

答案3x+4y-11=0解析由题意,设所求直线的方程为3x+4y+c=0(c≠1),又因为直线l过点(1,2),所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11,因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.平行直线系方程(1)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(k为常数,b为参数).(2)与定直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ为参数,λ≠C).(3)过点P(x0,y0),且平行于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0(Ax0+By0+C≠0).(改编)与直线2x-y=0平行且过点(-2,1)的直线l的方程为.

答案2x-y+5=0解析由题意,可设所求直线l的方程为2x-y+c=0(c≠0),又因为直线l过点(-2,1),所以-4-1+c=0,解得c=5.因此所求直线l的方程为2x-y+5=0.培优点2垂直直线系【例2】经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为.

答案x-2y=0解析因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0.又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,即所求直线l的方程为x-2y=0.垂直直线系方程(1)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线系方程为y=-1kx+m(m为参数)(2)与定直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(λ为参数).(3)过点P(x0,y0),且垂直于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0.(改编)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为().A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0答案A解析由题意可设所求直线方程为x-2y+m=0,将A(2,3)代入上式得2-2×3+m=0,即m=4,所以所求直线方程为x-2y+4=0.故选A.培优点3过两直线交点的直线系【例3】已知两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点为P,求过点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.解析设所求直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0,因为直线l与l3垂直,所以3(1+λ)-4(λ-2)=0,所以λ=11,所以直线l的方程为4x+3y-6=0.过两条直线交点(定点)的直线系方程设两条不平行的直线的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),我们将m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m,n为参数,且m2+n2≠0)称为经过直线l1与l2交点(定点)的直线系方程.当m=1,n=0时,此方程即直线l1的方程;当m=0,n=1时,此方程即直线l2的方程.过两条直线交点(定点)的直线系方程又可以表示为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),此时该直线系不含直线l2.求过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程.解析设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0.由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线距离相等,可得|(=|(2+7整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=1所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.第3节圆的方程对应学生用书P2261.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.一、圆的定义和圆的方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心:(a,b),半径:r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,即x+D22+y+E22=D2+圆心:-D半径:11.几种特殊位置的圆的方程标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2+y2=r2x2+y2-r2=0过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0(续表)标准方程的设法一般方程的设法圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0(D2>4F)圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0(E2>4F)与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+14D2=与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+14E2=2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.二、点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:1.若点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2;

2.若点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2;

3.若点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

1.判断下列结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.()(3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圆.()(4)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)若方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是.

答案(-∞,1)解析方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0可化为(x+a)2+(y+a)2=1-a,它表示圆,需满足1-a>0,故a<1.3.(2023·陕西模拟)圆C:(x+3)2+(y-4)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为().A.(x-4)2+(y+3)2=1B.(x-4)2+(y-3)2=49C.(x+4)2+(y-3)2=1D.(x+4)2+(y+3)2=49答案A解析(x+3)2+(y-4)2=1表示以(-3,4)为圆心,1为半径的圆.设(-3,4)关于直线y=x对称的点为(a,b),则有a-32-b+42=0,b-4a+3=-1,解得a=4,b=-3,所以C:(x+3)24.(2022年全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

答案(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-432+y-732=659或x-852+(y-1)2=16925(答案不唯一,写出一个即可)解析依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过点(0,0),(4,0),(-1,1),则F=0,所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;若过点(0,0),(4,0),(4,2),则F=0,所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;若过点(0,0),(4,2),(-1,1),则F=0,所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0,即x-432+y-732=659若过点(-1,1),(4,0),(4,2),则1+1-D所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0,即x-852+(y-1)2=169考点一求圆的方程【例1】(2022年全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为.

答案(x-1)2+(y+1)2=5解析∵点M在直线2x+y-1=0上,∴设点M(a,1-2a),又∵点(3,0)和(0,1)均在☉M上,∴点M到两点的距离相等且为半径R,∴(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R,即a2-∴M(1,-1),R=5,故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.求圆的方程的两种方法(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心的坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值;②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.(改编)过点A(0,-1),且与直线x-y-3=0相切于点B(2,-1)的圆的方程为.

答案(x-1)2+y2=2解析设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由圆与直线x-y-3=0相切于点B(2,-1),可得过点B(2,-1)且与直线x-y-3=0垂直的直线方程为y=-x+1,又由A(0,-1),B(2,-1),可得线段AB的垂直平分线的方程为x=1,联立方程组y=-x+1,x=1,解得x=1,y=0,即圆心坐标为C(1,0),又由|AC|=2,得圆的半径r=考点二与圆有关的轨迹问题【例2】已知直角△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解析(1)设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且易知kAC,kBC均存在,所以kAC·kBC=-1,又kAC=yx+1,kBC=yx-3,所以yx+1·yx-3=-1,化简得x因此直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=x0+32,y=y0+02,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.②定义法:根据圆与直线的定义列出方程.③几何法:利用圆的几何性质列出方程.④相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.(2023·浙江绍兴模拟)已知圆O的方程为x2+y2=4,定点A(1,0),若B,C为圆O上的两个动点,则线段AB的中点P的轨迹方程为;若弦BC经过点A,则BC的中点Q的轨迹方程为.

答案x-122+y2=1x解析设B(x0,y0),P(x,y),因为P为线段AB的中点,所以2x=x0+1,2y=y0,又因为B为圆O上一点,所以x02+y02=4,即(2x-1)2+(2y)所以P点的轨迹方程为x-122+y因为Q为BC的中点,所以OQ⊥BC,又因为BC经过点A,所以OQ⊥AQ,所以点Q的轨迹是以线段OA为直径的圆,其轨迹方程为x-122+y考点三与圆有关的最值问题命题角度1根据几何意义求最值【例3】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则(1)yx的最大值为(2)y-x的最大值和最小值分别为;

(3)x2+y2的最大值和最小值分别为.

答案(1)3(2)-2+6和-2-6(3)7+43和7-43解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx=k,即y=kx.如图所示,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值,此时|2k-0|所以yx的最大值为3(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时|2-0+b|2=3,解得b=-2±6,所以y-x的最大值为-2+6,(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数形结合以及转化的数学思想,其中以下几类转化较为常见:(1)形如m=y-bx-(2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)求y-3解析(1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42,∴|MQ|max=42+22=62,|MQ|min(2)由题意可知,y-3x+2表示直线MQ的斜率k,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+∵直线MQ与圆C有交点,∴|2k-7+2k+3|1+k2≤22,解得2-3≤k≤2+3,∴y命题角度2根据圆的性质求最值【例4】(2023·保定质检)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是.

答案25解析因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,所以圆C的圆心为C(2,1),半径r=5.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),则m+02+n+22+2=0,n-2m连接A'C交圆C于点Q(图略),由对称性可知|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|≥|A'Q|=|A'C|-r=35-5=25.◎同源改编◎将“已知点A(0,2)”改为“已知点A在圆C1:x2+y2-4y-1=0上”,其余条件不变,求|PA|+|PQ|的最大值和最小值.解析圆C1:x2+y2-4y-1=0的圆心为C1(0,2),半径r1=5,圆C的圆心为C(2,1),半径r=5.由上面的例题知,点C1关于直线x+y+2=0的对称点为C2(-4,-2),由对称性知点A关于直线x+y+2=0的对称点A1必在以C2(-4,-2)为圆心,5为半径的圆上,所以|PA|+|PQ|的最大值和最小值就等于|PA1|+|PQ|的最大值和最小值.由圆的相关性质知,(|PA1|+|PQ|)min=|CC2|-r1-r=5,(|PA1|+|PQ|)max=|CC2|+r1+r=55.求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.(2023·山西模拟)已知圆O:(x-2)2+y2=1,点A(4,3)及直线l:y=x,点M,N分别在直线l上和圆O上运动,则MA+MN的最小值为.

答案17-1解析如图,设A(4,3)关于l:y=x对称的点为A'(x0,y0),则y0-3x0-4=-1,3+y02=x0+42,解得x0=3,y0=4当点A',M,O共线时,此时的直线方程为y=4x-8,两直线方程联立得y=4x-8,y命题角度3根据基本不等式求最值【例5】(1)(改编)已知直线ax+by-1=0(ab>0)过圆(x-1)2+(y-2)2=2023的圆心,则1a+1b的最小值为(A.3+22B.3-22C.6 D.9答案A解析由圆的方程知,圆心为(1,2),∵直线ax+by-1=0(ab>0)过圆的圆心,∴a+2b=1(ab>0),∴1a+1b=(a+2b)·1a+1b=3+ab+2ba≥3+2ab·2ba=3+22当且仅当ab=2ba,即(2)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,当△AOB的面积达到最大时,k=.

答案±1解析由圆O:x2+y2=1,得到圆心坐标为O(0,0),半径r=1,把直线l的方程y=kx+1(易得k=0时,l与圆O相切,不合题意,故k≠0)整理为一般式方程,得kx-y+1=0(k≠0),圆心O(0,0)到直线l的距离d=1k2+1,弦AB的长度为2r2-d2=2k2k2+1,S△AOB=12×2k2k2+1·1k2+1=|k|k2+1=1|k|+1|k|,利用已知或隐含的不等关系,先构建以待求量为元的不等式,再借助基本不等式求最值.(改编)已知直线ax+by+c-1=0(b>0,c>0)经过圆x2+(y-1)2=6的圆心,则4b+1c的最小值是(A.2 B.8 C.4 D.9答案D解析圆x2+(y-1)2=6的圆心为(0,1),∵直线ax+by+c-1=0(b>0,c>0)经过圆x2+(y-1)2=6的圆心,∴b+c=1,∴4b+1c=(b+c)4b+1c=5+bc+4c当且仅当bc=4cb,即b=23,∴4b+1c的最小值是对应《高效训练》P92基础过关1.若圆心在x轴上,且过点(-1,-3)的圆与y轴相切,则该圆的方程是().A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0答案C解析可设圆的方程为(x-a)2+y2=a2,再把点(-1,-3)代入,解得a=-5.故该圆的方程是(x+5)2+y2=25,即x2+y2+10x=0.故选C.2.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是().A.(-2,+∞) B.-2,-12C.-2,12 D.(-2,2)答案C解析由题意得1+1+1-1+k>0,12-k3.(2023·江西九江三模)已知A,B是圆C:(x-2)2+y2=4上的两点,且|AB|=23,则AB·AC=().A.6 B.43 C.23 D.3答案A解析如图,过圆心C作CD⊥AB,垂足为D,由圆的垂径定理可知,|AD|=12|AB|=12×23=3,因此AB·AC=|AB|·|AC|·cosA=|AB|·|AD|=23×3=6.故选4.已知☉O的圆心是坐标原点O,且☉O被直线2x-y+5=0截得的弦长为4,则☉O的方程为().A.x2+y2=4 B.x2+y2=6C.x2+y2=8 D.x2+y2=9答案D解析由题意,设☉O的标准方程为x2+y2=r2,则圆心O(0,0)到直线2x-y+5=0的距离d=522+由☉O被直线2x-y+5=0截得的弦长为4,可得2r2-d2=4,化简得r2-(5)2=4,解得r2=9,即☉O的方程为x2+y2=95.已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则().A.圆M的圆心坐标为(4,3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为8答案B解析由圆M的一般方程易得圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,则A,C错误.令y=0,得x=0或x=8,则被x轴截得的弦长为8,故B正确.令x=0,得y=0或y=-6,则被y轴截得的弦长为6,故D错误.6.已知半径为2的圆经过点(5,12),则其圆心到原点的距离的最小值为().A.10 B.11 C.12 D.13答案B解析因为半径为2的圆经过点(5,12),所以圆心的轨迹是以点(5,12)为圆心,半径为2的圆,所以圆心到原点的距离的最小值为52+122-2=117.(2023·黑龙江哈尔滨模拟)自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为().A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案D解析由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.由题意可知|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,整理得6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.故选D.8.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,M是圆上的动点,AM与圆相切,且|AM|=2,则点A的轨迹方程是().A.y2=4xB.x2+y2-2x-2y-3=0C.x2+y2-2y-3=0D.y2=-4x答案B解析因为圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆心为C(1,1),半径r=1.因为点M是圆上的动点,所以|MC|=1.又AM与圆相切,且|AM|=2,所以|AC|=|MC|2+|AM|2=5.设A(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=5,即x2+y2-2x-2y-3=0,所以点A的轨迹方程为x2+y2-2x-29.写出一个关于直线x+y-1=0对称的圆的方程:.

答案(x-1)2+y2=1(只要圆心在直线上均可)解析设圆心的坐标为C(a,b),因为圆C关于直线x+y-1=0对称,所以点C(a,b)在直线x+y-1=0上,则a+b-1=0,取a=1,则b=0.设圆的半径为1,则圆的方程为(x-1)2+y2=1.10.已知实数x,y满足x2+(y-1)2=1,则3x+y的取值范围是.

答案[-1,3]解析(法一)令3x+y=b,则3x+y-b=0.由圆心C(0,1)到直线3x+y-b=0的距离d=|1-b得|b-1|=2,解得b=-1或b=3,所以-1≤b≤3,故3x+y的取值范围是[-1,3].(法二)由题意知,实数x,y满足x2+(y-1)2=1,设x=cosθ,y=sinθ+1则3x+y=3cosθ+sinθ+1=2sinθ+π3+1,因为θ∈[0,2π),所以θ+π3∈π3,7π3,所以sinθ+π3∈[-1,1].故3x+y的取值范围是[-1,3]能力提升11.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则().A.圆心C1到直线x-y-1=0的距离为22B.圆心C1到直线x-y-1=0的距离为2C.圆C2的方程为(x+2)2+(y-2)2=4D.圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=4答案D解析根