第八章 平面解析几何 顶层设计 前瞻 解析几何热点问题

解析几何热点问题核心热点真题印证核心素养直线方程、定值问题2019·Ⅰ，19；2018·Ⅰ，19；2018·北京，19数学运算、逻辑推理椭圆方程、定点问题2019·北京，19；2017·Ⅰ，20；2017·Ⅱ，20数学运算、逻辑推理直线与椭圆2019·Ⅱ，19；2018·Ⅲ，20数学运算、逻辑推理直线与抛物线2019·Ⅲ，21；2019·北京，18；2018·Ⅱ，19；2017·Ⅲ，20数学运算、逻辑推理教材链接高考——求曲线方程及直线与圆锥曲线[试题评析]

1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出a，b的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，教你如何审题——圆锥曲线中的证明问题【例题】

(2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.[审题路线]设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.[自主解答](1)解由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)证明抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).(1)解由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.(2)证明当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补.所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.满分答题示范——圆锥曲线中的定点、定值问题依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<1，又因为k≠0，故k<0或0<k<1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).[规范解答](1)解因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.··················2′

由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).令x＝0，得点M的纵坐标为从而k≠－3.所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).··················6′

(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2).λ＝1－yM，μ＝1－yN.··················10′

(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，