高中专题复习及考试要求 第四章 三角函数、解三角形 第1节 数列的概念与简单表示法

第1节数列的概念与简单表示法考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1.数列的定义知

识

梳

理按照___________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.一定顺序2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数_____无穷数列项数_____项与项间的大小关系递增数列an＋1_____an其中n∈N*递减数列an＋1_____an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限＞＜3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是_______、图象法和_______.4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与______之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.列表法解析法序号n诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(

)(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(

)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(

)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√答案D3.(老教材必修5P33T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.解析由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.答案5n－4…解析令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.答案D解析由题意，得a4＝S4－S3＝32.6.(2020·成都诊断)数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________.∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.答案30考点一由an与Sn的关系求通项解析(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.【训练1】(1)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________. (2)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

解析(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1).

两式相减得(2n－1)an＝2，又由题设可得a1＝2，满足上式，(2)由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，得an＝2an－1.∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列.角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an考点二由数列的递推关系求通项多维探究所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分别相加得an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).答案A【例2－2】

若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.角度3构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an【例2－3】

(2020·青岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.

解析由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.

答案an＝2·3n－1－1(3)因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.考点三数列的性质所以当2≤n≤4时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式；当n≥6时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋m，当n＝5时，a5＝S5－S4＝5m－45，因为a5是{an}中的最大值，规律方法1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.因为d<0，所以a1－a11≠