2023学年完整公开课版垂径定理

第三节垂径定理北师大版九年级数学下册第三章圆1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.定理回顾如图，完成下列各题：应用一下:（1）∵＝∴∠AOB＝

,AB＝

.（2）∵AB＝A′B′∴∠AOB＝

，＝

（3）∵∠AOB＝∴AB＝

，

＝

.1.在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为轴，把⊙O对折(如图)，你发现了什么？

圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线（直径）.导入新课2.在对折⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A、B(如图①).把对折的圆摊平，那么折痕CD

是直径，点A、B

是关于直线CD

的一对对称点.连接AB，得弦AB(如图②)，这时直径

CD

与弦AB有怎样的位置关系？CD⊥ABAM＝BM还有哪些等量关系？

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.该定理的题设是：垂直于弦的直径该定理的结论是：平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂径定理几何语言叙述定理：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，∴AM＝BM，＝

，＝.

求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

已知，如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M，求证：AM＝BM，＝

，＝

.∵CD⊥AB，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴＝

，∵∠AOD＝180°－∠AOC，

∠BOD＝180°－∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD∴＝.证明：连接OA，OB，则OA＝OB，如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。想一想：

求证：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.已知，如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，求证：CD⊥AB，＝

，＝.∵AM＝BM

，∴CD⊥AB

，∠AOC＝∠BOC，∴＝

，∵∠AOD＝180°－∠AOC，

∠BOD＝180°－∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD∴＝.证明：连接OA，OB，则OA＝OB，

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的逆定理几何语言叙述定理：∵AM＝BM，CD为⊙O的直径，∴CD⊥AB，＝

，＝.你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理

只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.例题讲解如图，一条公路的转弯处是一段弧（即图中，点O是所在圆的圆心）.其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m.求这段弯路的半径.则：OF＝（R－90）m，∵OE⊥CD，∴CF＝

CD＝

×600＝300（m），在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2解得：R＝545，∴这段弯路的半径为545m.解：连接OC，设弯路的半径为Rm，1.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）.练一练解：过拱桥所在圆的圆心O作AB的垂线，交于点C，交AB于点D，则CD=7.2m，由垂径定理，得：AD＝

AB＝

×37.4＝18.7（m）设⊙O的半径为Rm，在Rt△AOD中：AO＝R，OD＝R－7.2，AD＝18.7由勾股定理，得：AO2＝OD2＋AD2，∴R2＝(R－7.2)2＋18.72解得：R≈27.9故桥拱所在圆的半径约为27.9m.2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？提示:这两条弦在圆中位置有两种情况。（1）两条弦在圆心的同侧（2）两条弦在圆心的两侧1.两条弦在圆心的同侧证明：连接OA、OB、OC、OD，作直径MN⊥AB，则MN⊥CD，由垂径定理，得：

＝

，＝,∴∠AON＝∠BON，∠CON＝∠DON∴∠AON－∠CON＝∠BON－∠DON即∠AOC＝∠BOD∴＝2.两条弦在圆心的两侧证明：连接OA、OB、OC、OD，作直径MN⊥AB，则MN⊥CD，由垂径定理，得：＝

，＝,∴∠AOM＝∠BOM，∠CON＝∠DON∵∠AOM＋∠AOC＋∠CON＝180°∠BOM＋∠BOD＋∠DON＝180°∴∠AOC＝∠BOD∴＝

圆的两条平行弦所夹的弧相等“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如下图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”，知识技能1如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O到AB的距离及∠OAB的余弦值。知识技能2C

如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？

•ABCD理由：过O作OE⊥AB于E，解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。则AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BD数学理解3解：AC=BDO┐E如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●M数学理解4AB判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√挑战自我（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧(）（7）平分弦的直线，必定过圆心（）（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦（）

ABCDO(1)ABCD

O(2)ABCD

O(3)（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径（