2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第4节二次函数与幂函数学案含解析新人教B版202305182141

2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第4节二次函数与幂函数学案含解析新人教B版202305182141第4节二次函数与幂函数一、教材概念·结论·性质重现1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数．(2)xα的系数为1.(3)解析式只有一项．2．常见的五种幂函数的图像3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1,1)．(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限逼近x轴．4．二次函数的图像与性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图像定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增；在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))对称性图像关于直线x＝－eq\f(b,2a)成轴对称图形(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))时，恒有f(x)>0；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)函数y＝2x是幂函数．(×)(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(×)2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，则f(2)＝()A．eq\f(1,4) B．4C．eq\f(\r(2),2) D．eq\r(2)C解析：设f(x)＝xα，因为图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，所以f(4)＝4α＝eq\f(1,2)，解得α＝－eq\f(1,2)，所以f(2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2).3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0))C解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－20a<0，))解得a>eq\f(1,20).4．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是________．－1解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图像的对称轴为x＝eq\f(3,2)>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减．当x＝1时，y取得最小值，所以ymin＝2－6＋3＝－1.5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为__2__.考点1幂函数的图像与性质——基础性1．与函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是()B解析：y＝x的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x－1的图像可看作由y＝x的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图像所示)．将y＝x－1的图像关于x轴对称后即为选项B.2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为()A．－3 B．1C．2 D．1或2B解析：因为幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上单调递减，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋2n－2＝1，,n2－3n<0，))所以n＝1.又n＝1时，f(x)＝x－2的图像关于y轴对称，故n＝1.故选B.3．(2020·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图像上．设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，b＝f(lnπ)，c＝f(2－eq\f(1,2))，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．b<a<cA解析：因为f(x)＝(m－1)xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.又点(2,8)在函数f(x)＝xn的图像上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数．又lnπ>1>2－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)>eq\f(1,3)，所以f(lnπ)>f(2－eq\f(1,2))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，则b>c>a.幂函数的图像的应用注意点(1)对于幂函数图像，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．考点2二次函数的解析式——综合性已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))故f(x)＝－4x2＋4x＋7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2).所以m＝eq\f(1,2).又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.因为f(2)＝－1，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即当a≠0时，eq\f(4a－2a－1－a2,4a)＝8，解得a＝－4；当a＝0时，f(x)＝－1，不符合题意，舍去．故f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的策略已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________.x2－2x＋3解析：由f(0)＝3，得c＝3.又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以eq\f(b,2)＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.考点3二次函数的图像与性质——综合性考向1二次函数的图像(1)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(－x)的图像为()D解析：因为函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根．所以a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图像开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D.(2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是()A.b2>4acB．2a－b＝1C．a－b＋c＝0D．5a<bAD解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图像的对称轴为直线x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图像知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确．故选AD.1．解决二次函数图像问题的基本方法(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图像，依据图像特征，得到参数间的关系．2．分析二次函数图像问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图像上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图像．反之，也能从图像中得到如上信息.考向2二次函数的单调性若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]D解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图像对称轴为x＝eq\f(3－a,2a).由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.－3解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.又eq\f(3－a,2a)＝－1，所以a＝－3.利用二次函数的单调性解题时的注意点(1)对于二次函数的单调性，关键是看图像的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图像的对称性转化到同一单调区间上比较．考向3二次函数的最值已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为eq\f(3,8)或－3.将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．解：f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－a.①当－a＜eq\f(1,2)，即a＞－eq\f(1,2)时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5；②当－a≥eq\f(1,2)，即a≤－eq\f(1,2)时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a.综上，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋5，a＞－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).))二次函数的最值问题的类型轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．考向4二次函数中的恒成立问题已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．(－∞，－1)解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0.令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此实数m的取值范围是(－∞，－1)．由不等式恒成立求参数取值范围将问题归结为求函数的最值，依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.1．(2020·九江一中模拟)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图像可能是()A解析：若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减；y＝(a－1)x2－x的图像开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图像开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足．2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，4))，则m的取值范围为()A.(0,4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C解析：y＝x2－3x＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(7,4)的定义域为[0，m]．显然，在x＝0时，y＝4.又值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，4))，根据二次函数图像的对称性知eq\f(3,2)≤m≤3.故选C.3．(2020·唐山模拟)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，则()A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0C解析：因为f(x)图像的对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图像如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0.所以m＋1>0.所以f(m＋1)>f(0)>0.4．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：由题意得a>eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)对1<x<4恒成立．又eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\f(2,x2)))max＝eq\f(1,2).所以a>eq\f(1,2).第5节指数与指数函数一、教材概念·结论·性质重现1．n次方根(1)根式的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．当eq\r(n,a)有意义时，eq\r(n,a)称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．(2)a的n次方根的性质①(eq\r(n,a))n＝a；②当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a＝(eq\r(n,a))m＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)正数的负分数指数幂：a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指数函数的概念一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图像与性质0<a<1a>1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1减函数增函数5．比较幂的大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.(×)(2)(－1)＝(－1)＝eq\r(－1).(×)(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×)(5)函数y＝2x－1是指数函数．(×)(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为()A．－9 B．7C．－10 D．9B解析：原式＝26×eq\f(1,2)－1＝23－1＝7.故选B.3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(－1)＝________.eq\r(2)解析：由题意知eq\f(1,2)＝a2，所以a＝eq\f(\r(2),2)，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，所以f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))－1＝eq\r(2).4．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.－eq\f(3,2)解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－1，,f0＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1，,1＋b＝0，))无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝－1，,f－1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝－1，,a－1＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－2.))所以a＋b＝－eq\f(3,2).5．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则a，b，c的大小关系是________．c＜b＜a解析：因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x是减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0，即a＞b＞1.又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，所以c＜b＜a.考点1指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq\f(1,2a3)C．(－2)0＝－1 D．(a－eq\f(1,4))4＝eq\f(1,a)D解析：对于A，(－2)－2＝eq\f(1,4)，故A错误；对于B,2a－3＝eq\f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝eq\f(1,a)，故D正确．2．化简：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))·eq\f(\r(4ab－1)3,0.1－1·a3b－3)(a＞0，b＞0)＝________.eq\f(8,5)解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝eq\f(8,5).3．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))＋(0.002)－10(eq\r(5)－2)－1＋π0＝________.－eq\f(167,9)解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))－2＋500－eq\f(10\r(5)＋2,\r(5)－2\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一．考点2指数函数的图像及应用——综合性(1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是()B解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x≥1，,2－2x，x<1，))易知函数y＝|f(x)|的图像的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0.又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减．故选B.(2)若函数y＝|2x－1|的图像与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．(0,1)解析：作出曲线y＝|2x－1|的图像与直线y＝b如图所示．由图像可得b的取值范围是(0,1)．指数函数图像的应用问题的求解方法(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．(2)根据指数函数图像判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图像的交点进行判断．1．若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．(－∞，0]解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1]解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图像，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax的图像先向下平移1个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图像只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图像有两个交点，则0<2a<1，得0<a<eq\f(1,2).综上可知，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).考点3指数函数的性质及应用——应用性考向1比较大小已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<bA解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c.故选A.考向2解指数方程或不等式(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0.))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．eq\f(1,2)解析：当a<1时，41－a＝2，解得a＝eq\f(1,2)；当a>1时，代入不成立．故a的值为eq\f(1,2).(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0.))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．(－3,1)解析：当a<0时，不等式f(a)<1可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－7<1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<8，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3，所以a>－3.又a<0，所以－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为eq\r(a)<1.所以0≤a<1.综上，a的取值范围为(－3,1)．考向3指数型函数的单调性已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．(－∞，4]解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．考向4指数型函数的最值若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3有最大值3，则a＝________.1解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))h(x)．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略常考题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致，另外要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))，c＝log2eq\f(7,9)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A．f(b)＜f(a)＜f(c)B．f(c)＜f(b)＜f(a)C．f(c)＜f(a)＜f(b)D．f(b)＜f(c)＜f(a)B解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数．又a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))＝b＞0，c＝log2eq\f(7,9)＜0，则a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A解析：(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y.令f(x)＝2x－3－x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)＜f(y)，所以x＜y，即y－x＞0.由于y－x＋1＞1，故ln(y－x＋1)＞ln1＝0.故选A.(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，此时ln(y－x＋1)＝ln2＞0，ln|x－y|＝ln1＝0，可排除BCD.故选A.3．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2＋2x－1的值域是()A．(－∞，4) B．(0，＋∞)C．(0,4] D．[4，＋∞)C解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t.因为0<eq\f(1,2)<1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4.故所求函数的值域为(0,4]．4．函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________．[0，＋∞)解析：设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调递增区间为[1，＋∞)．令2x≥1，得x≥0.又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是[0，＋∞)．(2020·临沂月考)设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什