圆中垂径定理综合应用（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题4.1圆中垂径定理综合应用（3大类题型）【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】【题型1直接运用勾股定理求线段】1．（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故选：C．2．（2023•安徽模拟）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，则OE的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，如图，则DF＝CF＝CD＝3，AH＝BH＝AB＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝2，在Rt△OBH和Rt△OCF中，，∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），∴OH＝OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF＝90°，∵∠OHE＝∠OFE＝90°，∴四边形OHEF为正方形，∴OE＝EH＝2．故选：A．3．（2022秋•泉港区期末）如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解答】解：连接OA，∵OC为弦心距，∴OC⊥AB，AB＝2AC，在Rt△ACO中，由勾股定理，得，∴AB＝2AC＝8．故选：D．4．（2021秋•澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故选：B．5．（2021秋•新昌县校级期中）如图，⊙O的半径为4，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由题意可知，OA＝OC＝OA＝AB＝AC＝4，∴四边形ABCD是菱形，△AOB是正三角形，∴OA⊥BC，∠OBC＝30°，∴BC＝2××4＝4，故选：A．6．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】C【解答】解：如图，连接OC，∵AB＝12，∴OC＝OB＝6，∵PB＝2，∴OP＝4，在Rt△OPC中，CP＝，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴CD＝2PC＝．故选：C．7．（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【答案】D【解答】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，∵AB过A，∴MB＝NB，∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB＝＝4，∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），故选：D．【题型2勾股定理与方程综合求线段】8．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．9．（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（）A．5 B．6 C．4 D．2【答案】A【解答】解：连接OA，如图所示：设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，又∵OE⊥弦AB于点E，∴AE＝＝＝4，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，即，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半径长为5．故选：A．10．（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．【答案】AB的长．【解答】解：连接OB，OD，则：，∵DE＝EB＝2，即E为BD中点，∴AC垂直平分BD，又∵EC＝1，∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：，则AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，∴．即：AB的长．11．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．【答案】．【解答】解：设⊙O的半径是r，∵点C是AB的中点，OC过圆心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面积＝OD•BC＝××2＝．【题型3垂径定理在实际中应用】12．（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米【答案】D【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，，在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，∴，∴，即点C到弦AB所在直线的距离是米，故选：D．13．（2022秋•龙亭区校级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝3．故选：A．14．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，∴EM⊥CD，∵CD＝6，∴CM＝CD＝3，设OC是x米，则OM＝9﹣x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝5．故选：B．15．（2023•浦东新区模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故选：B．16．（2022秋•海淀区校级月考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB＝60m，CD＝10m，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴，设半径为r，则OD＝r﹣10，在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，即（r﹣10）2+302＝r2，解得r＝50m，答：这段弯路的半径为50m．17．（2022秋•郾城区期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为0.1米．（1）求此下水管横截面的半径；（2）随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】（1）下水管半径为0.5米；（2）水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，则CD＝0.1米，由垂径定理得：BC＝AB＝0.3米，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，∴OB2＝（OB﹣0.1）2+0.09，∴BO＝0.5，即下水管半径为0.5米；（2）如图，过点O作OH⊥MN于H，∴NH＝MH，∵水位又被抬升0.7米，∴OH＝0.1+0.7﹣0.5＝0.3米，∴NH＝＝＝0.4米，∴MN＝0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．18．（2022秋•沭阳县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．19．如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB＝60米，MP＝18米，OP⊥AB，∴AM＝AB＝30（米），OM＝OP﹣MP＝（x﹣18）米，在Rt△OAM中，由勾股定理得OA2＝AM2+OM2，∴x2＝302+（x﹣18）2，∴x＝34（米）．当PN＝4时，∵PN＝4，OP＝x，∴ON＝34﹣4＝30（米），设A′N＝y米，在Rt△OA′N中，∵OA′＝34，A′N＝y，ON＝30，∴342＝y2+302，∴y＝16或y＝﹣16（舍去），∴A′N＝16，∴A′B′＝16×2＝32（米）＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB＝24cm，CD＝8cm．（1）找出此残缺轮片所在圆的圆心（写出找到圆心的方法）；（2）求此圆的半径．【答案】（1）圆的圆心如图所示；（2）13．【解答】解：（1）连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；（2）连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD＝（r﹣8）cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB＝24cm，∴AD＝12cm，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+122，解得：r＝13．21．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝7.2m，∴BD＝AB＝3.6m．又∵CD＝2.4m，设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得r＝3.9．∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE＝2.4﹣2＝0.4m，∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5m，在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．22．我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径（直径）几何？”（注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺＝10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．）【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，如图所示：∵AB⊥CE，∴AD＝BD，∵AB＝10，∴AD＝5，在Rt△AOE中，∵OA2＝OD2+AD2，∴OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13，∴CD＝2A0＝26；即直径为26寸．23．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，则EF＝DF＝DE，假设DE＝6m，则DF＝3m，∵圆的半径为5m，∴OD＝5m，∴OF＝＝＝4＞3.8，∴这条船能过桥洞．24．（2022秋•沭阳县校级月考）如图是一个半圆形桥洞截面示意