仅洛伦兹力作用下的临界问题2021-2022学年高二物理上学期必考题精准练解析版

必考点20仅洛伦兹力作用下的临界问题

经典必考题

题型一旋转圆模型

例题1如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，p为磁场边界上的一点，大量相同的

带电粒子以相同的速率经过p点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为。I,这些粒子在磁

场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为力，相应的出射点分布在三分之一圆周上.不

计重力及带电粒子之间的相互作用，则。2：矶为（）

--、

；

4、/

、/

、、、，，Z

A.73:2B，V2：1

C.V3：1D.3：也

答案C

解析根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则当

粒子射入的速率为小，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R,由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为

n=/?cos60°=》?；若粒子射入的速率为s,轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为12

=RCOS30°=WK；根据轨道半径公式r=吗可知，。2：。|=「2：八=小：1,故选项C正确.

Zgov

例题2如图所示，MN的右侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里,

MN右侧到MN的距离为乙的。处有一个粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为瓶、电荷量为q的带正

电粒子（不计重力及粒子间的相互作用），速度均为噜，则粒子在磁场中运动的最短时间为（）

；M

；XXXX

!xxxx

!.O

；XXXX

'XXXX

N

兀〃2nTim八Tim—ntn

A砺B.痛C.谦D.硒

答案B

解析由于所以粒子在磁场中运动的半径为r=花=乙，粒子在磁场中运动时间最短，对应的弧长

最短、弦长最短，由几何关系得，当弦长等于L时最短,此时弦切角为30。，圆心角为60。，运动的最短时

L、L60°f1、,2兀6itm2c一生

间为Un=360O7=6X~qB~=3qB9故B正角.

M

XXXX

N

【解题技巧提炼】

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀

强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，

若入射初速度大小为。o,则圆周运动轨迹半径为R=簿，

速度大小

一定，方向

如图所示

不同

适

用

P

条如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入

件

射点P为圆心、半径R—号的圆上

qB

轨迹圆圆XXxx

XX/XX。X\XX

心共圆

XxVX

XXX？XXX

界定将一半径为R=翳的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条

方法

件，这种方法称为“旋转圆”法

题型二放缩圆模型

例题3—匀强磁场的磁感应强度大小为8,方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，m

bd与直径ah共线，ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为〃人电荷量为式q＞0）的粒子，在纸面内从c

点垂直于a射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子,

其运动时间为（）

，6qB4qB*3qB，2qB

答案c

解析粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定.设轨迹交半

圆〃〃于e点，ce中垂线交历于。点，则。点为轨迹圆心，如图所示.圆心角，=n+2"，当£最大时，0

有最大值，由几何知识分析可知，当ce与出?相切时，/最大，此时£=30°,可得6=?兀，则「=（7=瑞^，

故选C.

例题4如图所示，等腰直角三角形〃历区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.三个

相同的带电粒子从人点沿程方向分别以速度5、。2、。3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为小dh,

且n：打："=3:3：1.直角边be的长度为L,不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是

A.三个速度的大小关系一定是

B.三个速度的大小关系可能是。2＜切＜。3

c.粒子的比械=就

D.粒子的比荷占=器

mDL

答案B

解析由于n：?2：.3=3：3：1,作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90。、90。、30°,

由几何关系可知轨道半径大小分别为自＜&,R\＜Ry=2L,由于5、。2大小关系未知，凡、&大小无法确定，

由qvB=r看得。可知三个速度的大小关系可能是。2＜。1＜仍，故A错误，B正确；粒子运动周期7

=等=鬻，则"=*翡解得*嬴故C错误；由眄*族及&=2L,解得粒子的比荷4嬴

故D错误.

【解题技巧提炼】

粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子

速度方向一定，

进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速

大小不同

圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化

如图所不（图中只回出粒子带正电的情景），速度。

适

越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子

用

射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度

条

方向的直线PP'上

件轨迹圆圆心共线

XXXXXX

P'

X""""X

x/xx

缺法

XXXXXX

界定以入射点尸为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，

方法从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

题型三磁聚焦模型

例题5（多选）如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为加、电荷量为一外速

率为加，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内

设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的（其中Bo=^,A、C、

qL

D选项中曲线均为半径为乙的;圆弧，B选项中曲线为半径为|的圆）（）

L

带电粒子流

B=B08=2&

AB

B=B“B=2B”

D

答案AB

例题6（多选）如图所示，长方形abed的长“4=0.6m,宽ab=0.3m,0、e分别是ad、be的中点，以e为

圆心，eh为半径的圆弧和以。为圆心，。”为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（M边界上无磁

场），磁感应强度8=0.25T.一群不计重力、质量,“=3X1。-7kg、电荷量q=2X1（PC的带正电粒子以速度。=

5X102m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，粒子间的相互作用不计，则下列判断正确的是

)

A.从。4边射入的粒子,出射点全部分布在浦边

B.从aO边射入的粒子,出射时全部通过b点

C.从。d边射入的粒子,出射时全部通过人点

D.从“0边射入的粒子,出射点分布在外边

答案BC

解析粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，得到：r=u=0.3m,因aZ>=0.3m,

qB

从。〃边射入的粒子，形成以r为半径的圆弧，从点。射入的粒子从人点射出：从Od之间射入的粒子，因

边界上无磁场，粒子到达be后应做直线运动，即全部通过〃点，故A错误，C正确；从a。边射入的粒子

先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在M点进入磁场，其圆心为0',如图所示，根据几何关系可得:

虚线的四边形O'是菱形，则粒子的出射点一定是从点射出.同理可知，从a。边射入的粒子，出射

时全部从〃点射出，即“磁聚焦”，故B正确，D错误.

O'

【解题技巧提炼】

1.带电粒子的会聚

如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆

半径相等（R=r）,则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出.（会聚）

证明：四边形0A。'8为菱形，必是平行四边形，对边平行，08必平行于A。'（即竖直方向），可知从A

点发出的带电粒子必然经过B点.

2.带电粒子的发散

如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B,圆心为。，从P点有大量质量为〃八电荷量为q的正粒子,

以大小相等的速度P沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场

半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行.（发散）

证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心0、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，0凶（。28、

。3。均平行于P0,即出射速度方向相同（即水平方向）.

题型四平移圆模型

例题7（多选）如图所示，在I、【I两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于

纸面向外和向里，A。、AC边界的夹角/D4C=30。，边界4c与边界MN平行，II区域宽度为4.质量为办

电荷量为+4的粒子可在边界AQ上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为噜,

不计粒子重力，则（）

自0°・,・

+D

A.粒子在磁场中的运动半径为苧

B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入II区域

C.粒子在距4点1.54处射入，在I区内运动的时间为殁

D.能够进入n区域的粒子，在n区域内运动的最短时间为笑

JC[L)

答案CD

解析带电粒子在磁场中的运动半径，=券=乩选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与

qB

AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d-d=d,粒子在距A点0.5d处射入，会进入H区域，选项B

错误；粒子在距4点1.51处射入，不会进入H区域，在I区域内的轨迹为半圆，运动的时间为/=,=翳，

选项C正确；进入II区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d,对应圆心南为60。，最短时

间为fmin=(=魏，选项D正确.

【解题技巧提炼】

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同

速度大小一但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，

定，方向一它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度

适

定，但入射点

大小为V0,则半径R—如图所示

用

在同一直线

条XXXXXXX

上

件xt/xyxx\x

III

轨迹圆圆心带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在

共线同一直线上，该直线与入射点的连线平行

界定将半径为的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，

方法

这种方法叫“平移圆”法

对点变式练

题型一旋转圆模型

1、如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为8,两边界的间

距为4,MN上有一粒子源4,可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为根、电荷量均为+q的粒子，

粒子射入磁场的速度大小。=鬻，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域

长度与能从MN边界射出的区域长度之比为（）

A.1：1B.2：3C.小:2D.小：3

答案C

niTrmv2

解析粒子在磁场中运动时，Bqv=~~^~,粒子运动轨迹半径R=k=wd;由左手定则可得，粒子沿逆时针

KDCJJ

方向偏转，做匀速圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端，距A点的竖直距离心

22

R-（d-R）=^-d;运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L2=

R2-（d-R）2=^d,所以粒子在PQ边界射出的区域长度为乙=心+心=芈</,因为R<d,所以粒子在MN

边界射出区域的长度为L'=2R=gd,故两区域长度之比为L：L'=斗斗：》=5：2,故C正确，A、B、

D错误.

"X,

XX

XX

2.如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为8,磁场边界上A点有

一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力及粒子间

的相互作用不计），已知粒子的比荷为后，速度大小为.则粒子在磁场中运动的最长时间为（）

X/IXX

XXXX

XXXX

Tl元兀

B丽C.旃D.而

答案C

解析粒子在磁场中运动的半径为/?=吟=^^=2/；如图所示，当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹

qnDK

TTimIT

对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2乙故，=工=丁5=!7万，故选C.

0jqt>5KD

题型二放缩圆模型

3、真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行,

其横截面如图所示.一速率为。的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为〃?，电荷量为e,忽略

重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（）

3mvmv3mv3mv

A.7；-B.—C.-;-D，7-

2aeae4aejae

答案c

解析磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r,由几何关

系得用+户=（3〃一力2,根据牛顿第二定律和圆周运动知识得联立解得8=舞，故选C.

4.如图所示，在一等腰直角三角形AC。区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.一

质量为加、电荷量为4的带正电粒子（重力不计）以速度。从AC边的中点。垂直AC边射入磁场区域.若三

角形的两直角边长均为2L,要使粒子从CQ边射出，则。的取值范围为（）

@2yf2qBL

A.—WoW

mmmm

H」（巾+l）qBL_qBL__5qBL

D.\—〈忘U—

2mm2m2m

答案c

解析根据洛伦兹力充当向心力可知，。=等，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子轨

迹与AQ边相切时速度最大，如图，则有AO'-sin45。=。'E,

即（R+L）sin45°=/?,

解得满足题目要求的最大半径为/?=（A/2+1）L,

故最大速度为。=（娘：：）'/孔：当粒子从C点出射时，满足题目要求的半径最小，为r2=?，故最小速度应

为则o的取值范围为故C正确，A、B、D错误.

题型四磁聚焦模型

5、（多选）如图所示，半径为R、磁感应强度为8的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板.大

量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场

切线方向入射的粒子.粒子质量为，小电荷量为“，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力.关于这些粒

子的运动，以下说法正确的是（）

\/Z

7-“

NZ

A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短

B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长

C.若粒子速度大小均为。=簪，出射后均可垂直打在MN上

D.若粒子速度大小均为。=誓，则粒子在磁场中的运动时间一定小嚼

答案ACD

解析对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心

角越小，由，=&丁=得可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误.粒子速度大小均为时，根据

洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：/•=痴=凡根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹

的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与P0平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出

射后均可垂直打在MN上;根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°,粒子在磁场中的运动时间：g

T二写,故选项C、D正确.

qB

变式综合练

1.如图所示，在直角三角形ahc区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B,

Za=60°,/匕=90。，边长必=3■—个粒子源在6点将质量为m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向

不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（不计粒子重力及粒子间的相互作

用）（）

yf3qBL口小qBL

答案D

解析由左手定则和题意知，沿力方向射出的粒子在三角形磁场区域内转半周时，运动时间最长，速度最

大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径：r=f/Z?4an30°=<^L,由洛伦兹力提供

向心力得4%8=〃7手，从而求得最大速度：,选项A、B、C错误，D正确.

2.如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小5=0.60T.磁场内有一

块平面感光板向，板面与磁场方向平行.在距必为/=16cm处，有一个点状的a粒子放射源S,它向各个

方向发射a粒子,a粒子的速率都是0=3.OX106m/s.已知a粒子的电荷量与质量之比2=5.OX107C/kg.现只

考虑在纸面内运动的a粒子，求ab板上被a粒子打中区域的长度.

XXXX

答案20cm

解析a粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动.用R表示轨迹半径，有qvB=n斥,

由此得R=黑，

qB

代入数据解得/?=10cm,可见R<K2R.

因朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都过5,由此可知，某圆轨迹在如图所示中N左侧与ab相切，则此切

点P就是a粒子能打中的左侧最远点.为确定P^点的位置，可作平行于"的直线cd,cd到ab的距离为R,

以5为圆心，R为半径，作圆弧交cd于。点，过Q作心的垂线，它与帅的交点即为Pi.从图中几何关系

得：NPIKR-R*.

再考虑N的右侧.任何a粒子在运动中离5的距离不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab

于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.

从图中几何关系得

NP?=7（2R>一户,

所求长度为PiP尸NPi+NPz,

代入数据解得P>P2=20cm.

3.如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面

向外.大量质量为烧、电荷量为+q的粒子，以相同的速率。沿纸面内，由x轴负方向与）,轴正方向之间各

个方向从原点。射入磁场区域.不计重力及粒子间的相互作用.下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中

nrn

可能经过的区域，其中R=不，正确的图是（）

2Rx

O2R

D

答案D

解析首先当粒子沿x轴负方向运动的时候，其轨迹如图所示，是一个完整的圆，随着粒子的出射南度向y

轴正方向逐渐转动过程中，这个圆逐渐沿顺时针方向转动；当粒子沿y轴正方向的时候，其轨迹为一个半

圆.根据分析在这个轨迹圆转动的过程中，图中完整的圆与半圆相交的部分不会有粒子经过，故D项正确.

4.［多选］如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成9角的不同速率，向磁场中射

入两个相同的粒子1和