一元二次方程 单元复习（易错28题11个考点）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

第1单元一元二次方程（易错28题11个考点）一．一元二次方程的定义（共1小题）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2＝1 B． C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0【答案】C【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、当abc是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．二．一元二次方程的一般形式（共2小题）2．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（）A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x【答案】C【解答】解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4，去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4，移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0，其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．故选：C．3．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（）A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故选：C．三．一元二次方程的解（共3小题）4．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a﹣b+c＝0时，那么x的值一定是（）A．﹣1 B． C．1 D．均不对【答案】D【解答】解：A、把x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0得：a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是x＝﹣1，但不一定x的值一定是﹣1．故本选项错误；B、把x＝﹣代入ax2+bx+c＝0得：﹣+c＝0，∵a≠0，∴c2﹣bc+ac＝c（a﹣b+c）＝0，则c＝0或a﹣b+c＝0，故本选项错误；C、把x＝1代入ax2+bx+c＝0得：a+b+c＝0，故本选项错误；D、故本选项正确；故选：D．5．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为0．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝a代入方程可得，a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2＝（a+1）2﹣3a﹣2＝a2﹣a﹣1＝0．6．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，得x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，∴m2﹣4＝0，解得，m＝±2；又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，∴m＝﹣2；故答案为：﹣2．四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）7．一元二次方程2x2+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】D【解答】解：2x2+1＝0，2x2＝﹣1，∴此方程没有实数根，故选：D．五．解一元二次方程-配方法（共1小题）8．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A． B． C．2 D．【答案】B【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，∴3x2+6x＝1，x2+2x＝，则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，∴a＝1，b＝，∴a+b＝．故选：B．六．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）9．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，解得：k≤2，又因为k是二次项系数，所以k≠0，所以k的取值范围是k≤2且k≠0．（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以把x＝2代入方程，可得k＝，所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，解得：x1＝2，x2＝，所以BC的值是．10．解方程：（1）x2+6x+4＝0（配方法或公式法）；（2）2x2﹣x﹣3＝0（用因式分解法）．【答案】（1）x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（2）x1＝﹣1，x2＝．【解答】解：（1）x2+6x+4＝0，x2+6x＝﹣4，x2+6x+9＝﹣4+9，（x+3）2＝5，x+3＝±，x+3＝或x+3＝﹣，x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（2）2x2﹣x﹣3＝0，（x+1）（2x﹣3）＝0，x+1＝0或2x﹣3＝0，x1＝﹣1，x2＝．11．解方程：4（x+2）2＝9（2x﹣1）2．【答案】x1＝﹣，x2＝．【解答】解：4（x+2）2＝9（2x﹣1）2，4（x+2）2﹣9（2x﹣1）2＝0，[2（x+2）+3（2x﹣1）][2（x+2）﹣3（2x﹣1）]＝0，（8x+1）（7﹣4x）＝0，8x+1＝0或7﹣4x＝0，x1＝﹣，x2＝．七．根的判别式（共2小题）12．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A． B．且k≠1 C． D．且k≠1【答案】B【解答】解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，解得：k＞且k≠1．故选：B．13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜且k≠0．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案为：k＜且k≠0．八．根与系数的关系（共3小题）14．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（）A．2 B．﹣4 C．4 D．3【答案】D【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3．方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．故选：D．15．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，m2+4＞0，由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，∵，∴＝﹣3，＝﹣3，m＝﹣3，故答案为：﹣3．16．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝5，求实数m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）Δ＝[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1）＞0，4（m+1）2﹣4m2+4＞0，8m＞﹣8，m＞﹣1，则当m＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；（2）x1+x2＝﹣2（m+1）＝﹣2m﹣2，x1x2＝m2﹣1，x1+x2+x1x2＝5，﹣2m﹣2+m2﹣1＝5，m2﹣2m﹣8＝0，（m﹣4）（m+2）＝0，m1＝4，m2＝﹣2，∵方程两实数根分别为x1，x2，∴△≥0，∴m≥﹣1，∴m＝4．九．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）17．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【答案】B【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．18．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90 C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝90【答案】A【解答】解：设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，根据“共互送了90张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝90．故选：A．19．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝240 B．x（x﹣1）＝240 C．2x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240【答案】B【解答】解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发（x﹣1）条短信，共发了240条短信．∴x（x﹣1）＝240．故选：B．一十．一元二次方程的应用（共5小题）20．如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方形和两个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，若纸盒的底面积是28cm2，则该有盖纸盒的高为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是28cm2，依题意，得：×（10﹣2x）＝28，化简，得：x2﹣15x+36＝0，解得：x1＝3，x2＝12．当x＝3时，10﹣2x＝4＞0，符合题意；当x＝12时，10﹣2x＜0，不符合题意，舍去，答：若纸盒的底面积是28cm2，纸盒的高为3cm．故选：B．21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608化简得：4x2+12x﹣7＝0∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．22．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？【答案】见试题解答内容【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得x（x+1）+x+1＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），81+81×8＝81+648＝729（人）．故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感．23．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售．（1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为260千克、销售利润为312元；（2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是（100+200x）千克（用含x的代数式表示）；（3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）销售量：100+20×＝100+160＝260，利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）＝312，则每天的销售量为260千克、销售利润为312元；故答案为：260，312；（2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（千克）；故答案为：（100+200x）；（3）设这种水果每千克降价x元，根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）＝300，2x2﹣3x+1＝0，解得：x＝0.5或x＝1，当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜240；当x＝1时，销售量是100+200＝300＞240．∵每天至少售出240千克，∴x＝1．6﹣1＝5，答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元．24．某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：40×100（1+x）2＝5760∴（1+x）2＝1.44∴1+x＝±1.2∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．（2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降y元，由题意得：（40﹣y）（100+10y）＝5760∴y2﹣30y+176＝0∴（y﹣8）（y﹣22）＝0∴y1＝8，y2＝22当y＝22时，3月份该玩具的销售价格为：40﹣22＝18＜30，不合题意，舍去∴y＝8，3月份该玩具的销售价格为：40﹣8＝32元∴3月份该玩具的销售价格为32元．一十一．配方法的应用（共4小题）25．设M＝2a2﹣5a+1，N＝3a2﹣7，其中a为实数，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M≥N C．M≤N D．不能确定【答案】D【解答】解：M﹣N＝2a2﹣5a+1﹣（3a2﹣7）＝﹣a2﹣5a+8＝﹣（a+）2+．∵a的取值范围不确定，∴无法判定M﹣N的符号，即无法判定M与N的大小．故选：D．26．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：例1．分解因式：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6＝2（x﹣1）2﹣8又∵2（x﹣1）2≥0∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；（2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．【答案】（1）（m+1）（m﹣7）；（2）当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3；（3）△ABC周长的最大值为13．【解答】解：（1）m2﹣6m﹣7＝m2﹣6m+9﹣9﹣7＝（m﹣3）2﹣16＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）＝（m+1）（m﹣7）；（2）2x2+y2﹣8x+6y+20＝（2x2﹣8x）+y2+6y+9+11＝2（x2﹣4x+4﹣4）+y2+6y+9+11＝2（x﹣2）2﹣8+（y+3）2+11＝2（x﹣2）2+（y+3）2+3，∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，∴当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3；（3）∵a2+b2＝8a+6b﹣25，∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0，∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，∴a＝4，b＝3，∵4﹣3＜c＜4+3，∴1＜c＜7，∵c为正整数，∴c最大取6，∴△ABC周长的最大值＝3+4+6＝13，∴△ABC周长的最大值为13．27．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．根据上述材料，解答下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+49；（2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值；（3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值；【答案】（1）49；（2）2；（3）17．【解答】解：（1）依据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，∴a2+14a+49是完全平方式．故答案为：49．（2）x2﹣10x+27＝x2﹣10x+25+2＝（x﹣5）2+2．∵（x﹣5）2≥0，∴（x﹣5）2+2≥2．∴x2﹣10x+27的最小值是2．（3）∵N＝﹣a2+8a+1＝﹣（a2