矩形的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题（人教版）（解析版）

专题16矩形的判定与性质

★知识归纳

«矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点梳理：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后

增加一个角是直角这个特殊条件.

•矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点梳理：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等

的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线

的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三

个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形

的对角线互相平分且相等.

•矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

L定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

1

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点梳理：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

★实操夯实

一.选择题（共11小题）

1.如图，矩形A8CQ的两条对角线相交于点O,NAOB=60°,A0=4,则AB的长是（）

A.4B.5C.6D.8

【解答】解：：四边形4BCD是矩形，

：.AO=（）C,B0=0D,AC=BD,

：.0A=0B,

'：ZAOB=60°,

.♦.△A08是等边三角形，

.\AB=AO=4f

故选：A.

2.四边形ABC。的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A.AB=CDB.AC=BDC.AB=BCD.AD=BC

【解答】解：可添加AC=8£>,

2

四边形ABCD的对角线互相平分，

四边形ABCD是平行四边形，

'：AC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，

，四边形A8C。是矩形.

故选：B.

3.下列说法正确的是（）

A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形

B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

C.对角线互相平分的四边形是矩形

D.对角互补的平行四边形是矩形

【解答】解：•••有・组对角是直角的四边形不一定是矩形，

...选项4不正确；•.•有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形，

，选项8不正确：

•••对角线互相平分的四边形是平行四边形，

，选项C不正确；

♦.•对角互补的平行四边形一定是矩形，

二选项D正确；

故选：D.

4.如图，在矩形COE。中，点。的坐标是（1,3）,则CE的长是（）

3

A.3B.2A/2C.V10D・4

【解答】解：•・•四边形COEO是矩形，

：.CE=ODf

丁点。的坐标是(1,3),

*'•OD=1]2+32=»

***CE=yJ1Q»

故选：C.

5.如图，矩形A8CZ)中，AB=M，BC=3,AELBDTE,则EC=()

A.近B.在C.叵D但

2222

【解答】解：作EFJ_BC于F,

•..四边形A8C。是矩形，

：.AD=BC=3,AB=CD=6,N8A£)=90°.

.•.tanNAO8=^=返，

AD3

ZADB=30°,

AZABE=60°,

4

二在RtZ\ABE中cos/ABE=^^.=茎=2，

ABV32

2

...在RtZ\8EF中，cosZFB£=.^=4^-=—

BEV32

4

•・•£F=VBE2-BF2=^Y，

：.CF=3--=—,

44

在RtZ\CPE中，CE={EF2K：2=^p-

故选：D.

6.如图，矩形ABC。的对角线AC,8力相交于点。，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE_LAC于点E,

PFLBD于点F.若AB=6,BC=8,则PE+PF的值为()

A.10B.9.6C.4.8D.2.4

【解答】解：连接。巴

•矩形ABCD的两边AB=6,8C=8,

，S矩形ABC'Z)=A8・8C=48,OA.—OC,OB=OD,AC=BD,AC=JAB2+BC?=］。，

5

*,•S/^AOD=—S始形A8CD=12，OA=OD=5f

4

SMOD=S^AOI^S^DOP=—OA•PE^OD*PF=^-OA(PE+PF)=Ax5X(PE+PF)=12,

2222

24

・•・PE+PF=—=4.S.

5

故选：C.

7.如图，ABC。是矩形，AC.BO相交于O,AE垂直平分3。，若AE=2A/§,则。£)=()

A.2B.3C.4D.6

【解答】解：•・,四边形ABC。是矩形,

：・OB=OD,OA=OC,AC=BD,

：.OA=OB,

・・・AE垂直平分OB,

：.AB=AO,

：,OA=AB=OB=2OE,

•・・AE=2«,

AOA2-OE2=(2V3)2>即4*°产=12,

.・・OE=2,

6

：.OD=OB=2OE=4；

故选：C.

8.如图，在矩形ABC。中，。为AC中点，E/过。点且七/，AC分别交DC于R交A8于区点G是AE中点且

NAOG=30°,则下列结论正确的个数为()

(1)DC=30G；(2)OG=—BC；(3)是等边三角形；(4)SMOE=—S^ABCD.

26

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：；E凡LAC,点G是4E中点,

OG=AG=GE=LE,

2

VZAOG=30°,

.../OAG=/AOG=30°,

ZGO£=90°-NAOG=90°-30°=60°,

.♦.△OGE是等边三角形，故(3)正确;

设AE=2a,则OE=OG=a,

由勾股定理得，AO-<^^g2_Qg2=^(2a)-a~,

为AC中点，

AC—2AO=2^3^/,

.・・BC=AAC=AX2小=，

7

在RtZXABC中，由勾股定理得，AB=J（2V3a）2-（V3a）2=3a,

•••四边形ABC。是矩形，

.\CD=AB=3at

：.DC=30G,故（1）正确；

VOG=a,LBC=®CI,

22

OG^^BC,故(2)错误:

2

*.*S^AOE=—Cl*

22

SABCD=3a,

SMOE——SABCD,故(4)正确；

6

综上所述，结论正确是(1)(3)(4)共3个.

故选：C.

9.如图，矩形ABC。中，AC.BD交于点、O,M、N分别为BC、0C的中点.若/ACB=30°,AB=8,则MN的

长为（）

C.8D.16

【解答】解：如图，二•四边形A8C。是矩形，AC,BD交于点、O,NAC8=30°,AB=8,

8

...BQ=AC=2A8=2X8=16,

；.BD=2B0,即280=16.

：.BO=8.

又YM、N分别为8C、0C的中点,

/.MN是△C80的中位线，

:.MN=LBO=4.

2

故选：B.

10.如图，在直角三角形48c中，ZACB=90°,AC=3,8C=4,点M是边48上一点（不与点A,8重合），作

于点E,MF,3c于点R若点P是政的中点，则CP的最小值是（）

FC

A.1.2B.1.5C.2.4D.2.5

【解答】解：连接CM,如图所示：

VZACB=90°,4c=3,8C=4,

/M/J=VAC2+BC2=V32+42=5,

'：MELAC,MFIBC,ZACB=90",

.,.四边形CEM尸是矩形,

9

:.EF=CM,

•点P是EF的中点，

：.CP^^EF,

2

当CM_LAB时，CM最短，

此时EF也最小，则CP最小，

,?/XABC的面积=上48义CM=1ACXBC,

22

...CM=ACXBC=3=2.4,

AB5

二CP=2EF=」CM=1.2,

22

故选：A.

11.如图，矩形A8CD的对角线AC,8。交于点O,AB=6,BC=8,过点。作0ELAC,交AD于点E,过点E

作垂足为F,则OE+EF的值为（）

24

~5D-T

【解答】解：•••A8=6,8c=8,

二矩形ABC力的面积为48,AC=JAB2+BC2=10,

10

.'.AO=DO=—AC=5,

2

♦.•对角线AC,BD交于点O,

.♦.△AOD的面积为12,

,：EOYAO,EFYDO,

:.SAAOD=SAAOE+S2OE,即12=AAOXEO+^DOXEF,

22

；.]2=工X5XEO+工X5XEF,

22

；.5（EO+EF）=24,

.*.EO+M=建，

5

故选：C.

二.填空题（共3小题）

12.为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6雨，宽为4”的矩形花池ABCC,如图，他将画线工具固定

在一根4皿木棍EF的中点P处.画线时，使点E,尸都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周.若将点P所

画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是（24-4TT）机2.

【解答】解：连接8P,如图，由题意可知BP为RtZ^BEF的斜边中线,

II

VEF=4w,

:・BP=2，n,

VAB=DC=4/n,BC=AD=6mf

・・・点P的运动轨迹为四个圆心分别在点4B,C,D,半径为2m的四分之一圆，以及3c和AO上的一段线段.

长为6m，宽为4根的矩形花池A8C。的面积为6X4=24（小）.

・・.种植年花的区域的面积是：24-TTX22=（24-4IT）Cm2）.

故答案为：（24-411）.

13.如图，四边形A8CO是长方形，尸是DA延长线上一点，。尸交A8于点E,G是C/上一点，且NACG=NAGC,

ZGAF=ZF.若NEC8=20°，则NACQ的度数是30°.

【解答】解：・・•四边形A8C。是矩形，

J.AD//BC,NDCB=90°,

：.ZF=ZECB=20°,

/.ZGAF=ZF=20°,

AZACG=ZAGC=ZGAF+ZF=2ZF=40°,

AZACB=ZACG+ZECB=60°,

-0=90°-60°=30°,

故答案为：30。.

14.如图，点区F,G,”分别是3。，BC,AC,AO的中点：下列结论：®EH=EF；②当A8=CO,EG平分N

HGF；③当ABLCQ时，四边形EFG”是矩形；其中正确的结论序号是一②⑶.

12

AH

D

BFC

【解答】解：・・,点E,F,G,"分别是3D,BC,AC,A。的中点，

J.EF//CD,HG//CD,EF=LcD,HG=LcD,HE=^AB.AB//HE,

222

:.EF=HG,EF//HG,

・・・四边形EFG”是平行四边形，

•二AB不一定等于CD,

・・・E”不一定等于ER故①错误，

9：AB=CD,

:・EH=EF,

・・・平行四边形"EFG是菱形，

・・・EG平分N//GR故②正确，

@'：AB±CD,

・・・NA5C+NBCO=90°,

•・,四边形"EFG是平行四边形，

J.GF//HE//AB,

:"GFC=N48C,

■:EF//CD,

:・NBFE=NBCD,

：・/GFC+NEFB=90°,

：.ZEFG=90Q,

13

•••平行四边形HEFG是矩形，故③正确,

故答案为：②③.

三.解答题（共12小题）

15.如图，在矩形ABCC中，BF=CE,求证：AE=DF.

【解答】证明：•.•四边形ABCD是矩形，

：.AB=DC,

NB=/C=90°,

'：BF=CE,

：.BE=CF,

在△ABE和△OCF中，

'AB=DC

<ZB=ZC-

BE=CF

...AABE经ADCF,

：.AE=DF.

16.在四边形ABC。中，OA=OC,08=00,点尸为四边形外一点，且NAPC=NBP£）=90°.

求证：四边形ABC。为矩形.

14

【解答】证明：・・・OA=OC,OB=OD,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

连接0P,

VZAPC=ZBPD=90Q,

:・BD=20P,AC=20P,

：.AC=BD,

・・・四边形A8C拉为矩形.

17.如图，矩形A8CO中，EF垂直平分对角线3。，垂足为。，点E和尸分别在边A。，3C上，连接DF.

(1)求证：四边形3PDE是菱形；

(2)若AE=OF,求。的度数.

【解答】(1)证明：:石尸垂直平分对角线8D,

:・NDOE=/BOF=90°,OB=OD,

・・•四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZDEO=ZBFO,

15

在△OE。和△8尸。中,

，ZD0E=ZB0F

<NDE0=NBF0，

OD=OB

:./XDEO沿ABFO(A4S),

：.DE=BF,

垂直平分对角线BD,

：.DE=BE,BF=DF,

:.DE=BE=BF=DF,

...四边形8")£是菱形；

(2)解：•.•四边形A8c。是矩形,

：.AB^CD,NA=NC=90°,

VZBOF=90°,

/.ZA=ZBOF=W0,

在Rt/^BAE和Rt/XBOF中，

fBE=BF

IAE=OF'

•,.RtABA£^RtABOF(HL),

：.AB=OB,

"：AB=CD,OB=OD,

：.CD=—BD,

2

VZC=90°,

工NCBD=30°,

16

.,.ZBDC=180°-ZC-ZCBD=60°.

18.如图所示，在矩形A8CC中，E,尸分别是边AB,CD上的点，AE^CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于

点O,且BE=BF,NBEF=2/BAC.

(1)求证：OE=OF；

(2)若AC=6«，求AB的长.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCO是矩形,

：.AB//CD,

：.ZCAE=ZACF,NCFO=ZAEO,

rZCAE=ZACF

在aAOE和△COF中，，ZCFO=ZAEO，

AE=CF

:.△AOEeMCOF(4AS),

：.OE=OF,

(2)解：连接08,如图所示：

'：BF=BE,OE=OF,

：.BOA.EF,

由(1)知，

:.ox=oc,

♦.•四边形ABC。是矩形，

...NA8C=90°,

17

：.BO=^AC=OA,

2

：.ZBAC=ZOBA,

又NBEF=2/BAC,

：.NBEF=2N()BE,

而Rt^OBE中，NBEO+NOBE=90°,

.♦.N8AC=30°,

.•.8C=^AC=3相，

/MS=VAC2-BC2=9,

19.如图，ZvlBC中，AC=BC,CZ)J_4B于点O,四边形O8CE是平行四边形.求证：四边形AOCE是矩形.

【解答】证明：；AC=8C,CDLAB,

：.ZADC=90°,AD^BD.

♦.•在。£>8CE中，EC//BD,EC=BD,

J.EC//AD,EC=AD.

...四边形AOCE是平行四边形.

又；/A£)C=90°,

18

四边形AOCE是矩形.

20.如图，口A8CZ)中，。是A8的中点，CO=DO.求证："ABCD是矩形.

【解答】证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

...NA+/B=180°,

「O是48的中点，

：.AO=BO,

'AD=BC

在△OAO和△C8。中，JA0=B0>

D0=C0

：./\DAO^/\CBO(SSS),

，NA=NB,

VZA+ZB=180°,

/.ZA=90°,

四边形ABCD是平行四边形，

...四边形A3CO是矩形.

21.如图所示，在。ABC。中，于点E,CF_LB£>于点F,延长AE至点G,使EG=4E,连接CG.

(1)求证：4ABE出4CDF；

(2)求证：四边形EGC尸是矩形.

19

A,D

G

【解答】证明：（1）•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AB^CD,AB//CD,

，ZABE=ACDF,

'：AEA.BD于点E,CFLBD于点F,

：.AE//CF,ZGEF=ZAEB=ZCFD=90°,

rZABE=ZCDF

在AABE和△（7£＞尸中，，ZAEB=ZCFD-

AB=CD

ACAAS）；

（2）由（1）得：AABE^ACDF,AE//CF,

：.AE=CF,

'：EG=AE,

:.EG=CF,

...四边形EGCF是平行四边形，

又,；NGEF=90°,

二四边形EGC尸是矩形.

22.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以线段AB为边向外作等边△ABD,点E是线段A8的中

点，连接CE并延长交线段AO于点F.

（1）求证：四边形8CF。为平行四边形；

（2）连接BF,求证：四边形BCAF是矩形.

20

D

cA

【解答】(1)证明：VZACB=90°,/CA8=30°,

：.BC^^AB,ZABC=60°,

2

丫△ABC是等边三角形，

.../A8O=/B4C=60°,AB^AD,

：.NABC=NBAD,

：.BC//DA,

•.•点E是线段48的中点，

：.CE=^AB=BE=AE,

2

VZABC=60°,

.'.△BCE是等边三角形，

?.ZBEC=60°^ZABD,

：.BD//CF,

四边形BCFD为平行四边形；

(2)证明：如图所示：

VBD//CF,BE=AE,

：.AF=DF=-^AD,

2

：.BC=AF,

51.'：BC//DA,

21

...四边形BCAF是平行四边形,

VZACB=90°,

...四边形8c4尸是矩形.

23.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,NABC=NAOC=90°,对角线AC,80交于点O,OE■平分NADC交

BC千点、E,连接。E.

(1)求证：四边形4BC。是矩形；

(2)若AB=2,求△0EC的面积.

【解答】（1）证明：:AOaBC,

.•.NA8C+NBAO=18（T,

；乙48c=90°,

：.ZBAD^90°,

/.NBAD=NABC=ZADC=90°,

，四边形ABC。是矩形.

(2)作。凡L8C于F.

•四边形A8C£＞是矩形,

22

：.CD=AB=2,NBC£>=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,

：.AO=BO=CO^DO,

：.BF=FC,

：.O/=」CO=1,

2

平分/AOC,ZADC=90°,

AZ£DC=45°,

在RtZ\EOC中，EC=CD=2,

△OEC的面积=」•£'(>OF=1.

2

24.如图，已知平行四边形A8C7).

(1)若M,N是8。上两点，且BM=DN,AC=2OM,求证：四边形AMCN是矩形;

(2)若/BAO=120°,CD=4,AB1AC,求平行四边形A8CZ)的面积.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形,

：.OA=OC,OB=OD,

•对角线8。上的两点历、N满足BM=DN,

：.OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

：.四边形AMCN是平行四边形,

23

\"AC=20M,

：.MN^AC,

...四边形AMCN是矩形；

(2)解：:•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,A8=CD=4,

：.ZBAD+ZABC=\SO°,

VZBAD=120°,

...NA8C=60°,

'：ABLAC,

.•./BAC=90°,

.,.4。=扬8=4遍，

，平行四边形ABCD的面积=AC»8=4愿X4=16«.

25.如图，在矩形A8CD中，AB=3cm,