沪科版九年级上册数学全册教学案

第21章二次函数与反比例函数

21.1二次函数

【学习目标】

1.引导学生理解二次函数的概念，掌握二次函数一般形式.

2.通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取

值范围.

【学习重点】

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取

值范围.

【学习难点】

熟练地列出二次函数关系式.

一、情景寻入生成问题

旧知回顾：一次函数的一般形式是y=kx+b(krO)

一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(aW0),为什么aWO?当a=0

时，方程不是一元二次方程.

导入新课：某正方形边长为x,面积为S,则其面积S与边长x之间的函数

关系式是什么？它是一次函数吗？为什么？

函数关系是S=X2,不是一次函数，因为右边不是X的一次式.

二、自学互研生成能力

知识模块一二次函数的概念

阅读教材本课时的内容，回答以下问题：

L问题①中40/〃是长方形的周长吗？是，矩形面积S与其一边长x之间的

函数关系式为S=x(20—x)(0<x<20),它是一次函数吗？丕是，原因：右边不是

x的一次式.

2.问题②中，设增加x人，此时，共有15+x个装配工,每人每天可少装

配10x个玩具,因此每人每天只装配190-lOx个玩具,所以，增加人数后，每

天装配玩具总数y可表示为y=(190-10x)(15+x).

这个函数是一次函数吗？丕是，原因：右边不是x的一次式.

3.归纳：上面两个函数解析式具有哪些共同特征？

等式右边都是关于自变量的多项式，自变量的最高次数都是2,二次项系数

不为0.

归纳：一般地，表达式形如v=ax?+bx+c(a、b、c是常数，且aWO)的函数

叫做x的二次函数，其中x是自变量.a为二次项系数,b为一次项系数,c为常

数项.

范例1：在函数①y=-X?；②y=±+2；③y=x2—(x+l)2；④y=x(x—2)+

X

2x—l中，是二次函数的有①④.

范例2：分别指出下面三个函数解析式中各项的系数.____________________

二次项系数一次项系数常数项

y=3x2(x>0)300

1313

d=Yi2一刘n23)0

3~2

y=2x2+4x+102410

知识模块二在实际问题中列二次函数的解析式

范例：列出下列函数的关系式.

(1)一个圆柱的高等于底面半径的2倍，则它的表面积S与底面半径r之间

的关系式为S=6m-2.

(2)某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年

都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的

值而确定，V与x之间的关系应怎样表示？Y=20(1+X)2.

(3)n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛的场次数m与球

队数n之间的关系式为.n5；1)

仿例：一直角三角形两直角位之和为20,其中一条直角边长为x,写出它的

面积S与直角边长x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

解：根据题意，得

S=^x(20-x)

自变量X的取值范围是0<x<20

三、交流展示生成新知

展|廉|丁|展

L将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述

疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板

上，通过交流“生成新知”.

raw

知识模块一二次函数的概念

知识模块二在实际问题中列二次函数的解析式

四、检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补暴

1收获

2困惑

21.2二次函数的图象和性质

第1课时二次函数y=ax2的图象和性质

【学习目标】

1.能够利用描点法作出y=ax2的图象，并能根据图象认识和理解y=ax2的

图象和性质.

2.经历画二次函数y=ax2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函

数性质的经验.

【学习重点】

会画y=ax2的图象，理解其性质.

【学习难点】

结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质.

一、情景导入生成问题

旧知回顾：(1)一次函数y=kx+b(kWO)其图象是一条经过(0,b)的直线.

特别地，正比例函数Y=kx(kW0)其图象是过原点的直线.

(2)描点法画出一次函数的步骤，分为列表,描点,连线三个步骤.

(3)我们把形如y=ax?+bx+c(aW0)的函数叫做二次函数.

二、4学互研生成能力

知识模块一探究二次函数y=ax2的图象和性质

阅读教材尸5〜6页的内容，回答以下问题：

1.在画二次函数y=x2的图象时，自变量取了多少个值？经历了多少步？

自变量取了7个值，经历了3步，分别是列表、描点、连线.

2.二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的对称轴是匕轴，顶点(最低点)

是(0,O,在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降,在对称轴的右侧，抛物线从

左到右上升,也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小;当x>0时，y随x

的增大而增大.

3.观察y=*2,y=2x2的图象，回答它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.

4.根据函数y=*,y=2x?图象特点，总结y=ax2(a>0)的性质：最高或最

低点，图象何时上升、下降.

二次函数y=ax2(a>0)的图象及性质为：(表格均让学生口述完成)

二次函数y=ax2(a>0)

图象的形状图象的特点图象的性质

y=ax2(a>0)1.向X轴左右方向无限延伸自变量X的取值范围是全体实数

2.是轴对称图形，对称轴是丫轴对于X和一X可得到相同的函数y

1当x<0时,函数y随x的增大而

在y轴左侧是下降的，在y轴

3.减小：当x>0时，国数y随x的

右侧是上升的

增大而增大

顶点就是原点(0,0),顶点是当x=0时.国数取得最小值，Y

4.图象的最低点、开口向上，图品八值=0,且y没有最大值、即

x

O]象向上无限延伸y20

5.观察y=-gx?、y=-2x2的图象，指出它们与y=^2、y=2x?图象的不同

之处.

它们的开口向下，顶点是原点.图象向下无限延伸，当x=0,函数取得最大

值，y最大值=0且y没有最小值即yWO,在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下

降的.当x<0,y随x增大而增大，当x>0时，函数y随x的增大而减小.

6.(l)a>0与aVO时，函数y=ax?图象有什么不同？(2)|a|大小对开口大小

有什么影响？

答：一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛

物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶

点是抛物线的最高点.比较各函数图象可知间越大，开口越小，间越小，开口越

大.

知识模块二二次函数丫=2*2的图象和性质的运用

范例1:在同一平面直角坐标系中，抛物线y=*2,y=-3x2,y=x2的共同

特点是(D)

关于y轴对称，抛物线开口向上

B.关于y轴对称，y随x的增大而增大

C.关于y轴对称，y随x的增大而减小

D.关于y轴对称，抛物线顶点在原点

范例2：已知函数y=(m+2)xm2+m—4是关于x的二次函数，求：

(1)满足条件的m值；

(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为

何值时，y随x的增大而增大？

解：⑴m=2或m=-3;

(2)当m=2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0,0),且当x>0

时，y随x的增大而增大.

三、交流展示生成新知

‘袤I阂阙展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述

疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将''问题和结论”展示在黑板

上，通过交流“生成新知”.

晨傣I楣升

知识模块一探究二次函数y=ax2的图象和性质

知识模块二二次函数丫=2*2的图象和性质的运用

四、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2困惑

第2课时二次函数y=ax2+k的图象和性质

【学习目标】

1.会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象.

2.能通过函数y=ax?+k的图象和解析式，正确说出其开口方向，对称轴

以及顶点坐标等图象性质.

3.知道二次函数y=ax?+k与函数y=ax2的关系，体会数形结合的思想方

法.

【学习重点】

1.二次函数y=ax?+k的图象和性质；

2.函数y=ax?+k与y=ax2的相互关系.

【学习难点】

正确理解二次函数y=ax2+k的性质，抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系.

一、情景寻入生成问题

旧知回顾：

1.画函数图象利用描点法，其步骤为列表、描点、连线.

2.二次函数y=ax2(aW0)的图象是一条抛物线，a>0时，它的开口向上，

对称轴是建，顶点坐标是原点(0,0)；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小;

在对称轴的右侧，丫随x的增大而增大;当x=0时，y取最小值.aVO时有什

么变化呢？

二、力学互研生成能力

知识模块一二次函数丫=2*2+1<的图象

阅读教材Pll~12,完成下面内容：

画出y=2x2+l,y=2x2—l图象，根据图象回答下列问题：

(1)抛物线y=2x2+l,y=2x2—l开口方向向上，对称轴是y轴,顶点坐标

(0,1),(0,-1).

(2)抛物线y=2x?+l,y=2x2-l与y=2x2之间有什么关系？

答：可以发现y=2x2+l是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的，而丫=

2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的.

归纳：(1)抛物线y=ax?+k的图象，当a>0时，开口方向向上，对称轴是

y轴,顶点坐标是(0,k).

(2)抛物线y=ax2沿着y轴上下平移可以得到y=ax2+k,当k>0时，y=ax?

向上平移h个单位就可以得到抛物线y=ax2+k；当k<0时，抛物线y=ax2向

至平移K个单位就可以得到抛物线y=ax2+k.

范丽抛物线y=-x2—2的图象大至是(B)

仿例1：抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换

得到(B)

A.向上平移5个单位艮向下平移5个单位

C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位

仿例2：抛物线y=-1x2-6可由抛物线y=-1x2+2向下平移区个单位得

到.

知识模块二二次函数丫=2*2+1<的性质

继续观察知识模块一中y=2x2+l,y=2x2—l图象，说说它们的增减性.

答：两个图象都是当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的

增大而增大

归纳：

函数解析式开口方向增减性

y=ax2(aW0)当a>0时，抛物a>0时，在对称轴左侧，y随x增大而减

线开口向上；当a小，y轴右侧，y随x增大而增大;a<0

y=ax2+k(a#0)V0时，抛物线开时，在对称轴左侧，y随x增大而增大,

口向工y轴右侧，y随x增夫而减小.

范例：二次函数y=-4x2+3的图象开口向工，顶点坐标为(0,3),对称轴

为y当x>0时，y随x的增大而减小;当x<0时，y随x的增大而增大.因

为a=-4V0,所以y有最大值，当x=Q_时，y的最大值是3.

仿例1：已知y=ax2+k的图象上有三点A(—5,yi),B(l,y2),C(3,y3),

且y2Vy3<yi,则a的取值范围是(A)

A.a>0B.a<0C.a20D.aWO

仿例2：写出一个顶点坐标为(0,-4),开口方向与抛物线y=2x2的方向相

反，形状相同的抛物线解析式y=-2x2-4.

三、交流展示生成新知

斓酬.

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述

疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板

上，通过交流“生成新知”.

raw

知识模块一二次函数丫=2*2+1<的图象

知识模块二二次函数y=ax2+k的性质

四、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1.收获

2.困惑

第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质

【学习目标】

使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.

让学生经历二次函数y=a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y=a(x+h)2的

性质，理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.

【学习重点】

掌握二次函数y=a(x-h)2的图象和性质

【学习难点】

二次函数y=a(x-h)2的图象和性质的运用.

一、情景导入生成问题

旧知回顾：

1.y=ax2+k是由y=ax2平移皿个单位得到.

2.二次函数y=x2+5的图象是一条抛物线,它的开口向上,对称轴是匕轴，

顶点坐标是(0,5)；在对称轴的左侧，丫随x的增大而减小,在对称轴的右侧，y

随x的增大而增大;当x=Q_时，y取最小值.

二、自学互研生成能力

知识模块二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

阅读教材P14〜15,思考并填写课本中的问题，然后完成下列问题：

答：抛物线y=(x-的开口方向向上,对称轴是x=1,顶点坐标(1,0);

抛物线y=(x+l>的开口方向向上，对称轴是x=-l,顶点坐标是(-1,0),两

图象开口大小相同.

抛物线y=(x—l)2和y=(x+l)2与y=x2之间有什么关系？

答：y=(X-1)2由y=x2向右平移1个单位得到，y=(x+1)2由y=x2向左平

移1个单位得到.

归纳：

1.二次函数y=a(x—h)2(aW0)的图象性质：开口方向：a>0时，开口向上，

a<0时，开口向工，顶点(h,0),对称轴x=h.最值：a>0时，有最小值y=

0.当a<0时，有最大值y=0.增减性：a>0且x>h时，y随x的增大而增大;

x<h时，y随x的增大而减小；a<0且x>h时，y随x的增大而减小,xVh时，

y随x的增大而增大.

2.y=ax2和y=a(x—h)2的图象有如下关系：

向右平移2个单位，

y=ax2•何左平移"।个单位y=a(x—h)2.

3.由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a(x-h)2的图象，左右平移的规

律是(四字口诀)左加右减.

4.对于二次函数的图象，只要同相等，则它们的形状相同,只是开口方向不

回，且|a|越大，开口越小.

范例1：抛物线y=；(x—2)2的开口向上，对称轴是直线x=2,顶点坐标是

(2,0),当x<2时,y随x的增大而减小；当x=2时,函数y取得最小值，值

为。.

范例2：如果将抛物线y=3x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达

式是(C)

A.y=3x2-lB.y=3x2+lC.y=3(x-l)2D.y=3(x+l)2

仿例：抛物线y=-3(X+3)2,当x<—3时,y随x的增大而增大；当x二

一3时,y随x的增大而减小.

仿例变式：抛物线y=a(x+h>的顶点为(-2,0),它的形状与y=3x?相同，

但开口方向与之相反.

(1)求抛物线解析式.

(2)求抛物线与y轴交点坐标.

解：⑴由题意得y=-3(X+2)2

⑵当x=0时；y=-12,与y轴交点(0,-12)

三、交流展示生成新知

‘袤I阂阙展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述

疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将''问题和结论”展示在黑板

上，通过交流“生成新知”.

晨傣I楣升

知识模块二次函数y=a(x—h)2的图象与性质

四、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2|对惑

第4课时二次函数y=a(x+hp+k的图象和性质

【学习目标】

1.使学生理解函数y=a(x+h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关

系.会确定函数y=a(x+h)?+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

2.让学生经历函数y=a(x+hA+k性质的探索过程，理解函数y=a(x+h)2

+k的性质.

【学习重点】

二次函数y=a(x—h>+k的图象与性质.

【学习难点】

运用二次函数y=a(x—h>+k的图象与性质解决简单的实际问题.

一、情景导入生成问题

旧知回顾:

1.填空：

函数开口方向对称轴顶点坐标最值

y=3x2向上y轴或x=0(0,0)最小值0

y=-2X2+3向下y轴或x=0(0,3)最大值3

2

y=^x—4向上y轴或x=0(0,-4)最小值一4

y=0.6(x-5)2向上x=5(5,0)最小值0

y=-3(x+l)2向下X=—1(一1，0)最大值0

2.函数y=1x2+l的图象由y=1x2向上平移1个单位得到;函数y=；(x—

2)2的图象由y=1x2向右平移两个单位得到.

二、自学互研生成能力

知识模块一二次函数y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2之间的关系

阅读教材P16〜17页，完成下面内容：

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数丫=我、y=g(x—2尸、y=g(x—2)2

+1的图象.

2.观察它们的图象，回答：它们的开口方向都向上，对称轴分别为y轴、

直线x=2、直线x=2,顶点坐标分别为(0.0)、(2.0)、(2,1).请同学们完成

填空，并观察三个图象之间的关系.

函数y=T(x—2)2由y=%2向右平移两个单位得到；函数y=；(x-2>+l由

函数y=会2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到.

范例：说出抛物线y=2(x+l)2—3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出

它是由抛物线y=2x2通过怎样的平移得到的.

解：抛物线y=2(x+1)2-3的开口向上，对称轴是直线x=-1,顶点坐标

是(-1,-3),它是由抛物线y=2x2向左平移1个单位，向下平移3个单位得

到.

归纳：一般地，抛物线Y=a(x—h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同,把抛

物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x—h)2+k.平移的方向、

距离要根据h、k的值决定.

知识模块二二次函数y=a(x—h)2+k的图象与性质

1.(l)a>0,开口向上；a<0,开口向工；

(2)对称轴是x=h；

(3)顶点坐标是(h,k).

2.从二次函数y=a(x—h)2+k的图象可以看出：如果a>0,当x<h时，y

随x的增大而减小,当x>h时，y随x的增大而增大;如果aVO,当xVh时,

y随x的增大而增大,当x>h时，y随x的增大而减小.

仿例：写出下列抛物线的开口方向、对称车由、顶点坐标和最值：

函数开口方向对称轴顶点坐标最值

y=2(x+5)2+l向上x=-5(一5，1)最小值1

y=-3(x—7)2—6向下x=7(7,-6)最大值一6

y=3(x-4)2+10向上x=4(4,10)最小值10

y=-8(x+4)2-3向下x=—4(—4,—3)最大值一3

仿例1：下列关于抛物线y=-3(x—2)2+1的说法错误的是(D)

A.抛物线开口向下B.抛物线的顶点坐标是(2,3)

C.抛物线的对称轴是x=2D.当x>2时，y随x的增大而增大

仿例2：二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图

象经过(B)

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象限

仿例3：在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2—3先向右平移1个单位，

再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为y=2(x-IP-1.

三、交流展示生成新知

.I演J.I展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述

疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板

上，通过交流“生成新知”.

晨傣I楣升

知识模块一二次函数y=a(x-h)2+k的图象与y=ax?之间的关系

知识模块二二次函数y=a(x—h>+k的图象与性质

*检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思杳漏补缺

1收获：

2.困惑：

第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

【学习目标】

1.指导学生用配方法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标，开口方向和

对称轴.

2.指导学生画出二次函数丫=2*2+6*+。的图象，知道其性质.

【学习重点】

通过配方确定抛物线的对称轴，顶点坐标.

【学习难点】

理解二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的性质.

一、情景导入生成问题

旧知回顾：

1.你能说出函数y=-3(x+2>+4图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及

其性质吗？

解：开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,4).在对称轴右侧

y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大.当x=-2时，有最

大值4.

2.函数y=-3(x+2)2+4图象与函数y=-3x?的图象有什么关系？

解：函数y=-3(x+2p+4的图象是由国数y=-3x?的图象向上平移4个

单位，向左平移2个单位得到的.

二、自学互研生成能力

知识模块一掌握二次函数y=ax?+bx+c的图象与性质

阅读教材P18〜19,完成下面的内容：

填空：y=-2x2-8x-7

=-2(x2+4x)-7

=-2(X2+4X+4)-7+8

=-2(x+2)2+1

归纳：一般式化为顶点式的思路：

(1)二次项系数化为［；(2)加、减一次项系数一半的平方;(3)写成平方的形

式.

范例：用配方法把函数y=-3x2+6x+l化成y=a(x—h)2+k的形式，并写

出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解：y=-3x2+6x+1=-3(x2-2x)+1

=-3(x-l)2+4

开口方向向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,4).

仿例：用配方法将二次函数y=*+2x—l化成y=a(x—h)2+k的形式，并

写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解：y--1-x2+2x—1=^(x2+6x)—1=^(x2+6x+9—9)—1

=；(x+3)2-3-1=；(x+3)2-4

所以开口方向向上，对称轴为x=-3,顶点坐标(-3,-4)

仿例：将二次函数y=ax2+bx+c(a#0)配方化成顶点式，并求出对称轴及顶

点坐标.

解：y=ax2+bx+c=a（x2+p＜）+c=a[x2+c

+W+（景-&2]

b、4ac一b2

=a（x+丁产+----

'2a74a

4d<b

对称轴为直线X=-/;顶点坐标4a）

归纳：二次函数y=ax?+bx+c的图象与性质.

⑴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是正二与顶点坐标是(二孔与身.

NdNd

(2)若a>0：当xV—枭寸，y随x的增大而减小;当x>一枭寸，y随x的

增大而增大;当x=—/时，y城小产4d\b；若aVO：当xV—/时，y随x的

增大而增大;当x>一之时,y随x的增大而减小,当x=4时,y城大值=包『.

知识模块二二次函数图象与性质的应用

变例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正

确的是(C)

A.ab>0,c>0B.ab>0,c<0C.ab<0,c>0D.ab<0,c

<0

变例2：已知二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图象与x轴交于(一1,0),则

下列结论错误的是(D)-

A.当x=2时，有最大值

B.当xV2时，y随x的增大而增大

」=2

C2a'

D.抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)

三、交流展示生成新知

圉.俄I展

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述

疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板

上，通过交流“生成新知”.

展示提升

知识模块一掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

知识模块二二次函数图象与性质的应用

8、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获

困惑

第6课时二次函数表达式的确定

【学习目标】

1.会用待定系数法求二次函数的表达式.

2.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，

培养数学应用意识.

【学习重点】

用待定系数法求二次函数的解析式.

【学习难点】

由条件灵请选择解析式类型.

一、情景导入生成问题

旧知回顾：

1.正比例函数图象经过点(1,-2),该函数解析式是y=-2x.

2.在直角坐标系中，直线1过(1,2)和(3,—1)两点，求直线1的函数关系

式.

解：设直线1的解析式为y=kx+b(kWO),把(1,2)、(3,-1)代入上式得

f.=_3

k+b=2,2*37

,u，解方程组得＜7，直线1的函数关系式为y=Vx+4

[3k+b=-1.l.b=2/-乙乙

思考：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独

立条件才能求出函数关系式.例如：我们确定正比例函数y=kx(kWO)只需要一

个独立条件；确定一次函数y=kx+b(kWO)需要两个独立条件.如果要确定二次

函数y=ax?+bx+c的关系式，需要几个条件呢？

二、自学互研生成能力

知识模块一利用三点求二次函数y=ax2+bx+c的解析式

阅读教材尸21〜22,完成下面的内容：

通过学习，你会发现求y=ax2+bx+c的解析式需要三个独立条件.

范例：已知二次函数经过(一1,10),(1,4),(2,7),求这个二次函数解析

式.

解：设二次函数解析式为y=ax?+bx+c,•.•二次函数y=ax2+bx+c过点

fa—b+c=10fa=2

(-1,10),(1,4),(2,7)三点..da+b+c=4解得彳b=-3,.•.所求二次函

[4a+2b+c=71c=5

数的解析式为y=2x2-3x+5.

归纳：求二次函数的解析式y=ax2+bx+c,需要求出a,b,c的值.由已

知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,求出a,

b.c的值,就可以写出二次函数的解析式.

仿例：有一个二次函数，当x=0时，y=­1,当x=-2时，y=0；当x=

；时y=0,求这个二次函数解析式.

c=-1

::b+c=O解方

解：设所求二次函数表达式为y=ax2+bx+c,由题意得1

Wa+/b+c=O

"a=1

程组得jb=]3,答所求二次函数表达式为y=x2+或3-1.

<c=-1

知识模块二利用顶点式求二次函数的解析式

范例：已知抛物线的顶点为(-2,5),且点(1,一4)在抛物线上，求抛物线的

解析式.

解：•••抛物线的顶点坐标为(-2,5),.•.可设抛物线的解析式为y=a(x+2)2

+5」.•抛物线过点(1,一4),.•.(1+2)22+5=-4,解得a=-L.•.所求抛物线的

解析式为y=-(X+2)2+5.

仿例：如图，抛物线的对称轴为y轴，求图中抛物线的解析式.

解：•••抛物线上一点坐标为(0,3),•••可设抛物线解析式为y=ax2+3.VB

物线上一点坐标为(1,1),，l=a+3.解得a=-2..♦.抛物线解析式为y=-2x2+

3.

三、交流梭示生成新知

‘袤I阂阙展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述

疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板

上，通过交流“生成新知”.

晨傣I楣升

知识模块一利用三点求二次函数y=ax2+bx+c的解析式

知识模块二利用顶点式求二次函数的解析式

四、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2困惑

21.3二次函数与一元二次方程

【学习目标】

理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关

系，经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学

思想和数形结合的数学思想.

【学习重点】

二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.

【学习难点】

准确理解二次函数与一元二次方程的关系.

一、情景导入生成问题

旧知回顾：

1.一次函数丫=1«+1)的图象经过(0,3)、(4,0),则方程kx+b=0的解是

2.如图，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=l的解是x

——2»

思考：对于二次函数y=ax2+bx+c(aW0),当y取一个确定值时，它就变成

了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系.那么，

二次函数y=ax2+bx+c(aW0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)之间到底有

怎样的关系呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题.

二、自学互研生成能力

知识模块一一元二次方程与二次函数的关系

1.观察二次函数y=x?+3x+2的图象，并回答下列问题.

y=x2+3x+2

(1)函数图象与X轴有几个交点？

(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2+bx

+c=0的根有什么关系？

解：⑴函数图象与x轴有两个交点.(2)从以上观察可以得出，求函数y=ax2

+bx+c的图象与x轴交点坐标即是求当y=0时，自变量x的值，也就是求方

程ax?+bx+c=0的木艮.

归纳：二次函数与一元二次方程的关系:

二次函数y=ax2+bx+c—元二次方程ax2+bx+c=0

b2-4ac>0与X轴有两个交点有两个不等的实数根

b2—4ac=0与X轴有二个交点有两个相等的实数根

b2—4ac<0与X轴没有交点无实数根

范例：若方程ax2+bx+c=0(aW0)的两个根分别为xi=l,X2=2,则抛物线

y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标分别为(1,0)点.0).

仿例：二次函数y=x2—6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次

方程X2—6x+n=0的一个解为xi=l,则另一个解X2=5.

知识模块二利用二次函数图象解一元二次方程

阅读教材P3I〜32页，完成以下问题

范例：作出二次函数y=x2—X—6的图象，根据图象回答下列问题：

(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么；

(2)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程x2—x—6=0有什么关系.

解：图略.

(1)图象与x轴的交点坐标为(-2,0),(3,0);与y轴的交点坐标为(0,-

6).

(2)当*=一2或x=3时,y=0.这里x的取值与方程x2-x-6=0的解相同.

由上述过程我们知道可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作

图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般都是近似的.阅读教材尸32的内

容，完成下面的仿例：

我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.

仿例：用图象法求一元二次方程x2+2x-l=0的近似解.

解：设y=x2+2x-l.画出抛物线y=x2+2x-l的图象如图所示.

由图象知,当x-0.4或XQ-2.4时，y=0.即方程x2+2x-l=0的近似解为

xi^O.4,x,2^—2.4.

三、支流展示生成新知

袤阅预展

L将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述

疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板

上，通过交流“生成新知”.

展傣I0升

知识模块一一元二次方程与二次函数的关系

知识模块二利用二次函数图象解一元二次方程

8、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获

2困惑

21.4二次函数的应用

第1课时二次函数的应用⑴

【学习目标】

经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问

题的经验.

经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验.

【学习重点】

会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题.

【学习难点】

从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.

一、情景导入生成问题

1.利用配方法求函数y=-4x2+80x的最大值.

y=-4(X2-20X+102-102)

=-4(X-10)2+400

当x=10时，y=400

2.实例引入：如图，用长20〃？的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方

形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？

解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，由题意得

S=x(20-2x)=-2X2+20X=-2(X-5)2+50(0<X<10).V-2<0,.•.当x

=5(在0<x<10的范围内)时，园子面积S的最大值为50平方米.

二、自学互研生成能力

知识模块一用二次函数解决图形面积最优值

阅读教材尸36页内容，解决下面的问题：

1.“例1”中，场地面积S与边长X之间是什么关系？

解：二次函数关系.

2.当x取何值时，S最大？

解：当x=-号时，S最大.

3.当场地面积S最大时，该场地是什么图形？

解：正方形.

变例：如图，有长为30机的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10机),

围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的