江苏省南京师范大学附属扬子2023学年高考数学押题试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

Z.

1.复数4=2+i,若复数Z1,z?在复平面内对应的点关于虚轴对称，则」•等于（）

3+4,3+4Z0-3+4，

A.-----B.----C.-3+4zD.-----

555

2.在菱形ABCO中，AC=4,BD=2,E,尸分别为AB,的中点，则诙.丽=（）

13515

A.---B.-C.5D.—

444

3.已知命题p:x<2/M+l,q:x2-5x+6<0,且“是<?的必要不充分条件，则实数加的取值范围为（）

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>1

22

4.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出

去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

5.已知实数a=3m3,6=3+31n3,c=（ln3）3,则仇c的大小关系是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<h

6.已知直线人x=my（WHO）与抛物线C：>2=4x交于。（坐标原点），4两点，直线八X=利+加与抛

物线。交于3,。两点.若则实数机的值为（）

1111

A.-B.-C・-D.—

4538

7.已知四棱锥产一ABCD中，24,平面ABCO,底面ABCD是边长为2的正方形，PA=6E为PC的中点,

则异面直线BE与PO所成角的余弦值为（）

D.半

8.设直线/过点A（0,-1）,且与圆C：丁+），2一2）；=0相切于点3,那么黑洸=（）

A.±3B.3C.百D

9.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡

诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有

A.72种B.36种C.24种D.18种

2'-x\x<01

10.已知函数/(%)=<9则/(/(一))=()

Inx,x>0e

3

A.B.1C.-1D.0

2

11.如图网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为

()

A.2B.272C.273D.1

22

12.双曲线=-4=1(“>0/>0)的右焦点为尸，过点尸且与x轴垂直的直线交两渐近线于M,N两点，与双曲线的

a~b

“，..........

其中一个交点为P,若OP=20M+"ON(九〃eR),且不，则该双曲线的离心率为()

A3夜n572„573n576

4121212

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(x+2y)(x-y)s展开式中Vy，的系数为.

14.设AABC的内角的对边分别为叫b,c.若。=2,c=26，cosA=—,则。=

2

15.已知函数/(x)TsinH+|cosx|,则下列结论中正确的是.①/(x)是周期函数；②/(x)的对称轴方程

为x=*keZ；③/(x)在区间上为增函数；④方程〃x)=q在区间一技,0有6个根.

2x-y>0

16.已知不等式组,x-2y40所表示的平面区域为Q,则区域Q的外接圆的面积为.

x<2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城

镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有10()人，农村居民有30人.

(1)填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030

不经常阅读

合计200

(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随

机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.

附：犬=一幽如一,其中“=a+Hc+小

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

1

X=—COSCZ

2

18.(12分)已知曲线”的参数方程为(a为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

1.

y=—sina

坐标系，曲线N的极坐标方程为P~—-

2-sin26

(1)写出曲线用的极坐标方程；

(2)点A是曲线N上的一点，试判断点A与曲线M的位置关系.

19.(12分)如图，四边形A8CO为菱形，G为AC与30的交点，BE1平面ABCD.

(1)证明：平面AECL平面BE。；

（2）若N"Q=60。，AE±EC,三棱锥E—AC。的体积为建，求菱形ABC。的边长.

3

,1121

20.（12分）已知数列｛4｝满足■■—=―且q=彳

an+\an2

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求数列J+2nl的前n项和S“.

21.（12分）已知三棱柱ABC—A4G中，AB=BB]=2,。是8C的中点，Z5,5A=60°,B}D1AB.

（1）求证：AB±AC；

（2）若侧面ACG4为正方形，求直线与。与平面GA。所成角的正弦值.

22.（10分）如图，在直三棱柱中ABC-AAG，D、E、F、G分别是BC,B£,CQ中点，且从台=AC=2近，

（1）求证：BCJ_平面ADE；

（2）求点D到平面EFG的距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

Z.

先通过复数4*2在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到Z2=-2+i,再利用复数的除法求解手.

Z2

【详解】

因为复数4:2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数4=2+i,

所以Z2=-2+7

z.2+z2+«(-2-z)34.

所以—L=F~=/r

Z]—2+1(—2+c)(—2—55

故选：A

【点睛】

本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.

2.B

【解析】

据题意以菱形对角线交点。为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出方瓦而，再根据坐标形式下向量的数量

积运算计算出结果.

【详解】

设AC与BD交于点。，以。为原点，丽的方向为x轴，刀的方向为＞轴，建立直角坐标系,

则FM,-ij,D(I,O),诙=1|/>加=卜|,一1),

----------95

所以DEDF=—―1=—・

44

故选：B.

【点睛】

本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直

接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.

3.D

【解析】

求出命题4不等式的解为2<x<3,2是4的必要不充分条件，得4是。的子集，建立不等式求解.

【详解】

解：Vp:x<2m+\,q:x2-5x+6<0,即：2cx<3,

P是4的必要不充分条件，

(2,3)c(-co,2m+1,),

2m+l>3,解得，〃之1.实数m的取值范围为加之

故选：D.

【点睛】

本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：

⑴解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参

数的不等式(组)求解.

⑵求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.

4.D

【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

4x+7y<50,

设购买甲、乙两种商品的件数应分别x,>利润为z元，由题意z=x+1.8y,

x,ywN,

画出可行域如图所示

显然当旷=一，％+，2经过4(2,6)时，z最大.

9y

故选：D.

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断"，)'是否是整数，是否是非负数，并准确的画出

可行域，本题是一道基础题.

5.B

【解析】

4

根据l<ln3<§,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.

【详解】

4

解：V1<ln3<一,

3

,4(4丫64

."=3+31n3>6,3<"3§<6，"(gj=药(，

"­c<a<b.

故选：B.

【点睛】

本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

6.D

【解析】

设8（F，X）,联立直线与抛物线方程，消去X、列出韦达定理，再由直线％=〃少与抛物线的交点求出A

点坐标，最后根据得到方程，即可求出参数的值；

【详解】

/、/、[x=my+m.

解：设8（X[，M）,由〈2；，得V—4m>一4/〃=0,

[y=4x

VA=16m2+16w>0»解得机<一1或/%>0,，%+>2=4加，乂必=一4/".

又由,^/-4my=0,：.y=Q^y^4m,/.A（4m2,4m）,

y=4xx'

•：\BD\=3\OA\,

二（1+/〃2）（乂-y2y=9（16/M4+16m2）,

又,••（必-%）2=（*+%）2-4%％=16加2+16/〃，

.,•代入解得加=：.

8

故选：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.

7.B

【解析】

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos（瓶，尸方）=网M即可得解.

【详解】

••・PA_L平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，

，如图建立空间直角坐标系，由题意：

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0词,£>（0,2,0）,

•••E为PC的中点，,E1,1,

/.BE=-1,1,^,PD=（O,2,-75）,

cos^BE,PD^=BEPD~2V13

网画「逅^3r

2

，异面直线BE与PO所成角的余弦值为|cos(BE,PD^即为巫.

故选：B.

【点睛】

本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.

【解析】

过点A(0,T)的直线/与圆C：/+/2一2)=0相切于点3,可得送1.诧=0.因此

丽•恁=丽•(而+1)=而,+而=彳豆2=/2一,，即可得出.

【详解】

由圆C：尤2+y2-2y=()配方为Y+(y-l)2=l,

C(O,l),半径r=1.

•.•过点4(0,-1)的直线/与圆C：尤2+丫2-2》=0相切于点8,

•••ABBC=Qi

2222

：.ABAC=AB-^AB+BC)=AB+ABBC=AB=AC-r=3；

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.

9.B

【解析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科

医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可.

【详解】

2名内科医生，每个村一名，有2种方法，

3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1

名护士，

若甲村有1外科,2名护士，则有=3X3=9,其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名护士，则有=3x3=9,其余的分到乙村，

则总共的分配方案为2x(9+9)=2xl8=36种，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.

10.A

【解析】

由函数/(x)=2-V，X~0,求得/(3=ln'=-1,进而求得/(/(3)的值，得到答案.

inx,x>0eee

【详解】

，,、[2A-X3,X<0

由题意函数./(x)={,

Inx,x>0

iii3

则/(一)=ln—=—1,所以/(/(—))=/(—1)=2-i—(—1)3=5,故选A.

eee2

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理

与运算能力，属于基础题.

11.C

【解析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为A0,算出长度.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为=26

D

故选：C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.

12.D

【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用而=2丽+〃丽，求出点+

z»6

因为点P在双曲线上，及6=一，代入整理及得4/加=1,又已知切二一，即可求出离心率.

a25

【详解】

由题意可知M[C，­)，N[C,-,代入OP=4OM+〃ON得：+——),

代入双曲线方程I—4=1整理得：4«2切=1,又因为即可得到6=亚，

a2b22512

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于。，b,c的方程或不等式,

由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1()

【解析】

把(x-y)5按照二项式定理展开，可得(x+2y)(x-y)5的展开式中的系数.

【详解】

解：(x+2y)(x-y)5=(x+2y)•(仁•/-C/y+G2-C1V+或•%'/-C；,

故它的展开式中的系数为-C；+2C；=10,

故答案为：1().

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14.2或4

【解析】

试题分析：由COSA=3,则可运用同角三角函数的平方关系：sinA=.O:=l,

2V42

已知两边及其对角，求角C.用正弦定理；acsinC=csiin4=__l=^lc=60°或120°'

sinAsinC9a22

则；A=30°,C=60°或120°,B=90°或30°,可得/?=2或4.

考点：运用正弦定理解三角形.(注意多解的情况判断)

15.(D@④

【解析】

由函数/(x)=|sin+|cosx|=^(|sinx|+|cosx|)"=+|sin2x|，对选项逐个验证即得答案.

【详解】

函数/(x)=|sinx|+|cos=J(|sinx|+|cos-=+|sin2x\，

・•・/(x)是周期函数，最小正周期为故①正确；

<rrt'TT'rr

当sin2x=±l或sin2x=0时，/(x)有最大值或最小值，此时2x=，万+,或2X=Z；T,，£Z,即元=彳+^或

Ui攵万,“

x=—,fwZ,即x=—,keZ•

24

・・・/(x)的对称轴方程为工=与，keZ,故②正确；

当时，2]£(天5此时y=卜皿2乂在(n)上单调递减，在(会手)上单调递增，.•./(力在

(ji34、

区间1二4,不4上；不是增函数，故③错误;

作出函数/(x)的部分图象，如图所示

方程=2在区间-彳,0有6个根，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.

25

16.—71

4

【解析】

先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.

【详解】

由题意作出区域Q,如图中阴影部分所示，

3

又MN=3,设AOMN的外接圆的半径为R,则由正弦定理

2

MN5<5V25

得•八…=2乩即R=故所求外接圆的面积为万x2=—n

sin/MON2y2)4

【点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何

意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，

最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)—

21

【解析】

(1)根据题中数据得到列联表，然后计算出K'与临界值表中的数据对照后可得结论；(2)由题意得概率为古典概

型，根据古典概型概率公式计算可得所求.

【详解】

(1)由题意可得:

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030130

不经常阅读403070

合计14060200

贝U2=200x(100x30-40x30)2

K»8.477>6.635,

八140x60x130x70

所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.

(2)在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.

采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为A、B、C、D、E;

不经常阅读的有2人，记为X、Y.

从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB,AC,AD,AE,AX,AY，BC,BD,BE,BX，

BY，CD,CE,CX,CY,DE,DX,DY,EX,EY,XY，共21种，

被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，

所求概率为P=W

21

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.

对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可,

属于中档题.

18.(1)Q=g(2)点A在曲线M外.

【解析】

(1)先消参化曲线M的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；

(2)由点A是曲线N上的一点，利用sin2。的范围判断夕的范围，即可判断位置关系.

【详解】

1

X=—COS<2

22

(1)由曲线”的参数方程为《:可得曲线M的普通方程为Y+丁W,则曲线”的极坐标方程为"

4

y=—sina

I2

即0

(2)由题，点A是曲线N上的一点,

2.叩1

因为sin201一1,1],所以0e1,2，即/?>/,

2

所以点A在曲线"外.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程的转化，考查直角坐标方程与极坐标方程的转化，考查点与圆的位置关系.

19.(1)证明见解析；(2)1

【解析】

(1)由菱形的性质和线面垂直的性质，可得AC,平面8DE，再由面面垂直的判定定理，即可得证；(2)设=

分别求得AC,0G和的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值.

【详解】

(1)•••四边形ABC。为菱形，

AC1BD,

平面ABCD,

ACLBE,

又BDcBE=B,

平面BOE,

又ACu平面AEC,

•••平面AECJ_平面BED；

(2)设=在菱形ABC。中，由的0=60。，

可得AG=GC=#x,GB=GD=MAC=瓜,

'：AE±EC,

.♦.在RtAAEC中，可得EG=18X，

2

由BE1面ABC。，知8EL8G，A3EG为直角三角形，可得BE=JEG，-BG?=正

Xf

2

任876

三棱锥E-ACD的体积VFACGDBE=---x=-----,

匕-32243

【点睛】

本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在

考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20.(1)a„；(2)S„=2"+'+n2+n-2

【解析】

(1)根据已知可得数列｛叫为等比数列，即可求解;

(2)由(1)可得L为等比数列，根据等比数列和等差数列的前〃项和公式，即可求解.

l«J

【详解】

12a.1p1

(1)因为一一=一，所以口=2,又『

4+1

所以数列｛4｝为等比数列，且首项为g,公比为g.故a“=1

27

(2)由(1)知’=2",所以一+2〃=2"+2〃

anan

2(1—2")(2+2〃)”2c

所以S,------+------—=2"+n~+n-2

1-22

【点睛】

本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前〃项和，属于基础题.

21.(1)证明见解析(2)2

5

【解析】

(1)取AB的中点。，连接8,。耳，证明AB,平面。。用得出A3,8,再得出