湖南省岳阳市2021年中考数学真题卷（含答案）

岳阳市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号

条形码贴在答题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选

择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。

答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选

出符合要求的一项）

1.在实数F，-1,0,2中，为负数的是（）

3.下列运算结果正确的是（）

A.3a-a=2B.（^•a4—a8

C.（a+2）（«-2）=/-4D.（-a）2--a2

4.已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（）

I2x〉-4

B

C.-3-2-1012

5.将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线。〃4则N1的大小为（)

A.45°B.60°C.75°D.105°

6.下列命题是真命题的是（）

A.五边形的内角和是720°

B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.内错角相等

D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

7.在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一

个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0,9.2,9.0,8.8,9.0（单位：

分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（）

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

8.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，

在正方形0A8C中，点A（0,2）,点C（2,0）,则互异二次函数＞=（x-/n）2-机与

正方形O4BC有交点时m的最大值和最小值分别是（）

A.4,-1B.-1c.4,0D.54V_j

22

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9.（4分）因式分解：x1+2x+\=.

10.（4分）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中

国印迹.据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000

用科学记数法表示为.

11.（4分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色

外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率

为.

12.（4分）已知关于x的一元二次方程W+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值

为.

13.（4分）要使分式上有意义，则x的取值范围为.

X-1

14.（4分）已知彳+上=五，则代数式工+工-料=.

xx

15.（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八

寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸,

门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，

设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为.

16.（4分）如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AB的垂直平分线分别交A3、AC于点。、

E,BE=8,。0为4BCE的外接圆，过点E作。O的切线EF交A8于点F,则下列结

论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

®AE=BC；

®ZAED=ZCBD；

③若NOBE=40°,则施的长为图2L；

9

④PE=.EF；

'EFBF

⑤若EF=6,则CE=2.24.

三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

2021

17.（6分）计算:（-1）+|-2|+4sin30°-（3/^-TT）0.

18.（6分）如图，在四边形A8C£＞中，AELBD,CF±BD,垂足分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AEC尸为平行四边形，你添加

的条件是;

（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形.

19.（8分）如图，己知反比例函数）一上a¥0）与正比例函数y=2x的图象交于A（1,m）,

x

B两点.

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）若点C在x轴上，且ABOC的面积为3,求点C的坐标.

20.（8分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督

导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团

成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间r

（单位：〃）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：

组别睡眠时间分频数频率

组

A<640.08

B6Wt<780.16

C7WrV810a

D84V9210.42

Ef29h0.14

请根据图表信息回答下列问题:

(1)频数分布表中，67=,h=；

(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是°；

(3)请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上

调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议.

21.(8分)星期天，小明与妈妈到离家165?的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走,

1/7后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈开车的

平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度.

22.(8分)某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观

光桥.如图，该河旁有一座小山，山高BC=80m,坡面AB的坡度i=l：0.7(注：坡度

，・是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，点C、A与河岸E、尸在同一水平线上，从山顶

3处测得河岸E和对岸P的俯角分别为NZ)8E=45°,NDBF=31；

(1)求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽E尸的长度.（结果精确到0.1%）

（参考数据：sin31°*0.52,cos31°=0.86,tan31°^0.60）

23.（10分）如图，在RtZiABC中，ZACfi=90°,NA=60°,点。为AB的中点，连接

CD,将线段CD绕点D顺时针旋转a（60°<a<120°）得到线段ED,且ED交线段

8c于点G,NCDE的平分线0M交BC于点H.

（1）如图1,若a=90°,则线段ED与的数量关系是,®_=；

CD

（2）如图2,在（1）的条件下，过点C作C/〃。E交QM于点F,连接EFBE.

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②求证：些=返；

FH3

（3）如图3,若AC=2,tan（a-60"）=,力，过点C作C尸〃。E交。M于点R连接

EF,BE,请直接写出些的值（用含〃，的式子表示）.

FH

24.（10分）如图，抛物线y=a?+bx+2经过A（-1,0）,B（4,0）两点，与y轴交于点

C,连接BC.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2,直线/：y=fcr+3经过点A,点P为直线/上的一个动点，且位于x轴的上

方，点。为抛物线上的一个动点，当PQ〃y轴时，作QMLPQ,交抛物线于点M（点M

在点。的右侧），以PQ,QM为邻边构造矩形PQMM求该矩形周长的最小值；

(3)如图3,设抛物线的顶点为D,在(2)的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值

时.，抛物线上是否存在点凡使得NCBF=NDQM?若存在，请求出点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选

出符合要求的一项）

1.在实数-1,0,2中，为负数的是（）

A-VsB.-1

【分析】根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数.

【解答】解：在-1,0,2这四个数中，负数是-1,

故选：B.

2.下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（

%

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析.

【解答】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；

B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

3.下列运算结果正确的是（）

A.3a-a=2B.a2,a4=as

C.（a+2）（67-2）=/-4D.（-a）2=-J

【分析】根据合并同类项原则、同底数事的乘法运算法则、平方差公式以及暴的乘方运

算法则正确计算即可求出正确答案.

【解答】解：3〃和a属于同类项，所以3a-a=2a,故A项不符合题意，

根据同底数幕的乘法运算法则可得“2加4=小，故B项不符合题意，

根据平方差公式（“+2）（a-2）=J-4,故C项符合题意，

（-a）2="2,故。项不符合题意，

故选：C.

4.已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（）

12x）-4

，）一二》二一j

A.-3-2-1012B,-3-2-1012

c.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式X-1V0,得：x<l,

解不等式2x2-4,得：x\-2,

则不等式组的解集为-2Wx<I,

故选：D.

5.将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线。〃4则N1的大小为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【分析】根据平行线的性质可得/l+N42C=180。，进而可求出/I.

【解答】解：由题意知，乙4BC=45°+60°=105°,

'：a//b,

...Nl+NABC=180°,

；.Nl=180°-NA8C=180°-105°=75°,

6.下列命题是真命题的是（）

A.五边形的内角和是720°

B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.内错角相等

D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

【分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心

的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、五边形的内角和为540°,故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B,三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

£＞、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不

符合题意，

故选：B.

7.在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一

个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0,9.2,9.0,8.8,9.0(单位：

分)，这五个有效评分的平均数和众数分别是()

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

【分析】根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的

数，便可选出正确答案.

［解答］解：彳=9・0+9・2+9・0+&8+9.0=90,

5

该组数众数为：9.0,

这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0,9.0,

故选：C.

8.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，

在正方形OABC中，点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数＞=(x-m)2-机与

正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是()

B

x

A.4,-1B.-1C.4,0D.-1

22

【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点

时，先经过点A，再逐渐经过点。，点B,点C,最后再经过点B,且在运动的过程中，

两次经过点4两次经过点。，点8和点C,只需算出当函数经过点A及点8时，"的值,

即可求出切的最大值及最小值.

【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y=(x-，”)2的顶点(/M,-m)在

在正方形OABC中，点A(0,2),点C(2,0),

：.B(2,2),

从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A,再

逐渐经过点。，点8,点C,最后再经过点B,且在运动的过程中，两次经过点A,两次

经过点。，点8和点C,

.♦.只需算出当函数经过点A及点8时m的值，即可求出m的最大值及最小值.

当互异二次函数》=(%-机)2-m经过点A(0,2)时，胴=0,或机=-1；

当互异二次函数丁=(x-m)2-)n经过点、B(2,2)时，加=三义五或机=三』

22

・・・互异二次函数y=(x-W2-〃?与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是

-1.

2

故选：D.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，满分32分)

9.(4分)因式分解：，+2x+l=式+1)2.

【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可.

【解答】解：x2+Zr+l=（x+1）2,

故答案为：（x+1）2.

10.（4分）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中

国印迹.据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000

用科学记数法表示为5.5XE.

【分析】根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可.

【解答】解：55000000=5.5XI07,

故答案为：5.5X107.

11.（4分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色

外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为3.

一5一

【分析】用白球的个数除以球的总个数即可.

【解答】解：•.•从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的

结果数为3,

二摸出的小球是红球的概率为3,

5

故答案为：1.

5

12.（4分）已知关于x的一元二次方程/+6x+&=0有两个相等的实数根，则实数Z的值为

9.

【分析】利用判别式的意义得到△=62-44=0,然后解关于A的方程即可.

【解答】解：根据题意，△=62-4k=0,

解得k=9,

故答案为9.

13.（4分）要使分式上有意义，则x的取值范围为.

X-1

【分析】先根据分式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.

【解答】解：•.•分式上有意义，

X-1

/.X-1^0,解得xWL

故答案为：

14.（4分）已知％+工=五，则代数式x+,-后=0.

xx

【分析】把x+工的值代入计算即可.

X

【解答】解：..％+上=加,

X

/.%+--加=圾-亚=0，

x

故答案为：0.

15.(4分)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八

寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸,

门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)如图，

设门高A8为x尺，根据题意，可列方程为(x-6.8)2+/=d.

AD

V

BC

【分析】设门高4B为x尺，则门的宽为(x-6.8)尺，利用勾股定理，即可得出关于x

的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：设门高AB为x尺，则门的宽为(x-6.8)尺，AC=1丈=10尺，

依题意得：AB2+BC2^AC2,

即(%-6.8)2+x2=102.

故答案为：(JC-6.8)2+?=102.

16.(4分)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点。、

E,8E=8,。。为△BCE的外接圆，过点E作00的切线EF交AB于点F,则下列结

论正确的是②④⑤.(写出所有正确结论的序号)

①AE=8C；

®ZAED=ZCBD；

③若/£>8E=40°,则施的长为空；

9

(4)DF=EF.

EFBF

⑤若EF=6,则CE=2.24.

【分析】①垂直平分A8,AE=BE,BE>BC,贝ij4E>8C,故①错误；

②由题可知，四边形。BCE是。。的内接四边形，则NAED=NCBQ,故②正确；

③连接0D,若/D8E=40°,贝lJ/DOE=80°,则踊的长为.兀一屿7L,故

1809

③错误；

④易得AEDFSABEF,则故④正确；

EFBF

⑤在RtZiBEF中，EF=6,BE=8,BF=1O,又△BEFS^ACB,则BE：AC^EF：BC

=6：8,设BE=6",则4c=8〃?，则CE=8/«-8,由勾股定理可得，£C2+BC2=B£2,

即(8m-8)2+(6/n)2=82,解得加=1.28,则CE=8m-8=2.24.故⑤正确.

【解答】解：①•••OE垂直平分48,

：.AE=BE,

又在Rt^ABC中，ZC=90°,

：.BE>BC,

：.AE>BC,

故①错误；

②由题可知，四边形O8CE是。。的内接四边形，

NAED=NCBD,

故②正确；

.•流的长为啮粤=喈’故③错误;

④尸是。0的切线,

AZBEF=90",

又DELAB,

:./EDF=NBEF=9Q°,

二AEDFsABEF,

.•.更=空，故④正确；

EFBF

⑤在RtZ\8E/中，EF=6,BE=8,

：.BF=10,

由①AE=8E=8,

ZA=ZABE,

又NC=NBEF=90°,

：.4BEFs丛ACB,

:.BE：AC=EF-.BC=6：8,

设BE=6m,则AC=Sin,则CE=8〃？-8,

在RtAJSCE中，由勾股定理可得，£C2+BC2=BE2,即(8m-8)2+(6w)2=82,

解得机=1.28,

：.CE=Sm-8=2.24.故⑤正确.

故答案为：②④⑤.

三、解答题(本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

2021

17.(6分)计算：(-1)+|-2|+4sin30°-(3^-TT)0.

【分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案.

【解答】解：原式=-1+2+4X」-1=-1+2+2-1=2.

2

18.(6分)如图，在四边形A8C£＞中，AE_LB。，CFLBD,垂足分别为点E,F.

(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AEC尸为平行四边形，你添加

的条件是AE=CF；

(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形.

【分析】(1)由题意添加条件即可；

(2)证AE〃CF,再由AE=CR即可得出结论.

【解答】解：(1)添加条件为：AE=CF,

故答案为：AE=CF；

(2)证明："JAELBD,CFLBD,

.'.AE//CF,

'：AE=CF,

四边形AECF为平行四边形.

19.(8分)如图，已知反比例函数了=工(20)与正比例函数y=2x的图象交于A(1,m),

x

8两点.

(1)求该反比例函数的表达式；

(2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为3,求点C的坐标.

【分析】(1)先把A(1,m)代入y=2r中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代

入反比例函数解析式中即可得出答案；

(2)过点8作8。垂直与x轴，垂足为Q,设点C的坐标为(a,0),根据反比例函数

与正比例函数的性质可得点B的坐标，由题意可得BD=\-2\^2,OC=\a\,再根据三角形

面积计算方法即可算出a的值，即可得出答案.

【解答】解：(1)把A(1,m-)代入y=2x中，

得m—2,

・••点A的坐标为（1,2）,

把点A（l,2）代入y=K中，

X

得k=2,

...反比例函数得解析式为y=2；

X

（2）过点3作3。垂直与x轴，垂足为Q,

设点C的坐标为（m0）,

•・,点A与点8关于原点对称，

・,•点3的坐标为（-1,-2）,

：.BD=\-2\=2,OC=\a\,

SABOc=-^BD-0C=yX2X|a|=3'

解得：a=3或a=-3,

.,.点C的坐标为（3,0）或（-3,0）.

20.（8分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督

导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团

成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间f

（单位：〃）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：

组别睡眠时间分频数频率

组

At<640.08

B6Wf<780.16

C7WY810a

D84V9210.42

Ef29h0.14

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中，a—0.2,b=7；

（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是72°；

（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上

调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议.

【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分

布表中的数据，即可计算出〃、人的值；

（2）根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小；

（3）根据每天睡眠时长低于7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低

于7小时的人数.

（4）根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可.

【解答】解：（1）本次调查的同学共有：84-0.16=50（人），

•=10+50=0.2,

b=50--8-10-21=7,

故答案为：0.2,7；

（2）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°X」旦=72°,

50

故答案为：72；

（3）600x3至=144（人），

50

答：该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有144人；

（4）按时入睡，保证睡眠时间.

21.（8分）星期天，小明与妈妈到离家1652的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走,

1〃后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈开车的

平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度.

【分析】设小明骑自行车的平均速度为xkm/h,则妈妈开车的平均速度为4xkm/h,根据

时间=路程+速度，结合小明比妈妈多用1/7,即可得出关于x的分式方程，解之经检验

后即可得出结论.

【解答】解：设小明骑自行车的平均速度为Mm/力，则妈妈开车的平均速度为4M血儿

依题意得：西旦=1,

x4x

解得：x=n,

经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，

.\4X=48.

答：妈妈开车的平均速度为48kmih.

22.(8分)某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观

光桥.如图，该河旁有一座小山，山高8c=80〃?，坡面A8的坡度i=l：0.7(注：坡度

i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶

8处测得河岸E和对岸尸的俯角分别为NO8E=45°,ZDBF=31°.

(I)求山脚力到河岸E的距离；

(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度.(结果精确到0.1利)

(参考数据:sin310g0.52,cos31°-0.86,tan31°-0.60)

C

【分析】(1)在R滔8C中，根据AB的坡度求出AC,在R/BCE中，根据等腰直角三角

形的性质可得CE=BC,由线段的和差即可求得AE；

(2)在R山CF中，由三角函数的定义求出，根据线段的和差即可求出.

【解答】解：(1)在R/ABC中，8c=80,

的坡度i=l：0.7,

.BC=1

♦•而o77，

.80-1

AC0.7

AAC=56,

在RfBCE中,BC=80,ZBEC=ZDBE=45°,

AZCB£=90°-/BEC=90°-45°=45°,

，ZBEC=NCBE,

；.CE=BC=80,

：.AE=CE-AC=80-56=24(m),

答：山脚A到河岸E的距离为24m；

(2)在R山CF中，8c=80,NBFC=NDBF=31°,tan/BFC=弛，

CF

.-0.6,

CF

，C产团33.33,

：.EF=CF-CE=\33.33-80=53.33比53.3(机)，

答：河宽EF的长度约53.3m.

23.(10分)如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,/A=60°，点。为48的中点，连接

CD,将线段CD绕点D顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段ED,且ED交线段

BC于点G,NCQE的平分线。M交BC于点从

⑴如图1,若a=90°,则线段瓦)与3£>的数量关系是ED=BD，毁=昱；

CD—3—

(2)如图2,在(1)的条件下，过点C作CF〃£>E交ZM/于点尸，连接EF,BE.

①试判断四边形C0EF的形状，并说明理由；

②求证：些=返；

FH3

(3)如图3,若AC=2,tan(a-60°)=m,过点C作C尸〃OE交DM于点尸，连接

EF,BE,请直接写出些的值（用含，”的式子表示）.

【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到AC=CO=8D,根据旋

转的性质可以得到CD=OE,贝lJOE=8D；又在RtZ\CGO中，含30°的直角三角形边之

间的关系可得结论；

(2)①由NCFO=/E£>M=/C£»M,得CF=CD=ED,又CF〃DE,则四边形CDEF

是菱形，又NCDE=90。，可得结论：菱形CDE尸是正方形.

②由题意可得，ZEGB=ZFCH,NEBG=NCFD,则又DG=BG,

CD=CF,所以理=幽=或=1.

FHFCCD3

(3)过点。作。N_LBC于点N,由tan/N£)G=tan(a-60°)=退=根，得NG=/n,

DN

所以。6=近肃2送1=百隶，又ABEGS^FHC,DG=BG,CD=CF,所以理=

FH

2

BG^GD=Vm+l

FCCD-2~.

【解答】解：(1)在RtAABC中，NAC8=90°,点。为A3的中点，

:.AD=CD=BD,

VZA=60°,

・・・NB=30°,△A8O是等边三角形，

AZDCB=30Q,

VZCDE=a=90°,

tanZCGD=tan60°=,

_DG

.•.毁=返

*'CD~

•线段C£>绕点。顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段EQ,

:,ED=CD=BD,

故答案为：ED=BD；

3

(2)①四边形CDEF是正方形，理由如下，

•・・£)M平分NCDE,NCDE=90°,

AZCDM=ZEDM=45°,

*：CF//DE,

：.ZCFD=ZEDM=45°,

・・・ZCFD=/EDM=NCDM,

：.CF=CD=ED,

.,•四边形CD防是菱形，

VZCDE=90°,

・••菱形COM是正方形.

②由(1)可知，ZADC=60°,ZCGD=60°,BD=DE,

・・・NBDE=30°,NEGB=60°,

AZDBE=ZDEB=15°,

：.ZEBG=45°,

VZGDB=90°-ZADE=30°,ZABC=30°,

JNGDB=ZABC,

:・DG=BG,

由①知NCFQ=NC。尸=45°,ZDCF=90°,

AZFCH=60°,

:・/EGB=/FCH,NEBG=/CFD,

:ABEGS/\FHC,

•.•BE-BG,

FHFC

,:DG=BG,CD=CF,

.些=弛=皎=返

',FHFCCDV

(3)如图3,过点。作£W，BC于点N,

图3

：.AC//DN,

:./ACD=/CDN,

・・・△ACO是等边三角形，AC=2f

：.CD=AC=2,/CDN=NACD=60°,

AZNDG=a-60°,DN=\,

/.tanZA^£)G=tan(a-60°)=1^_=机，

DN

NG—m,

；•^^VD^+NG^Vl+m2,

VZADC=60°,ZADG=a,

：.ZBDE=\20°-a,

:.NBEG=NEBG=30°+—,

2

，NEBG=A,

2

：.ZBGE=150°-a,

,.•CM平分/CQE,ZCDE=a,

：.NCDM=NEDM=±

2

'：CF//DE,

：.ZCFD=ZEDM=—,ZDCF+ZCDE=\S0",

2

AZDCF=180°-a,

AZFCG=150°-a,

：.NEGB=NFCG,NEBG=NCFD,

：.4BEGs/\FHC,

•BE=BG

"FH而，

■:DG=BG,CD=CF,

.BE_BG_GD-Vm2+l

"FHFCCD-2~.

24.(10分)如图，抛物线y=a?+bx+2经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点

C,连接BC.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图2,直线/：y=fcc+3经过点A,点P为直线/上的一个动点，且位于x轴的上

方，点。为抛物线上的一个动点，当PQ〃y轴时，作QMLP。，交抛物线于点M(点M

在点。的右侧)，以P。，QM为邻边构造矩形PQMN,求该矩形周长的最小值；

(3)如图3,设抛物线的顶点为。，在(2)的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值

时，抛物线上是否存在点F,使得NC8F=NOQM?若存在，请求出点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

图1图2图3

【分析】(1)用待定系数法即可求解;

(2)设点。的坐标为(x,-2/+当+2),则点尸的坐标为(x,3x+3),设矩形周长为

22

2

C,则C=2CPQ+QM)=2[3-2x+3x+3-(-Xr+2x+2)]=?-x+8,即可求解；

22

(3)过点力作。KJ_QA/于点K,则。K=">-)乜=至-21=」，同理可得，QK=1,

882

则在△BOC中，tan/CBO=J^_N_=上，即可求解.

-QK20B42

【解答】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x-xi)(x-x2),

BPy=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4)=cu？-3ax-4a,

即-4a=2,解得“=-2•，

2

故抛物线的表达式为y=-•|■x2+_1叶2；

(2)将点A的坐标代入直线/的表达式得：0=-%+3,解得％=3,

故直线/的表达式为y=3x+3,

设点。的坐标为(x,-耳+&+2),则点P的坐标为(x,3x+3),

22

由题意得，点Q、M关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x=3,

2

故点"的横坐标为3-x,则QM=3-x-x=3-2x,

设矩形周长为C,则C=2(PQ+QM)=2[3-2x+3x+3-(-Xr+^c+2)]=/-x+8,

22

V1<0,故C有最小值，

当》=工时，矩形周长最小值为丝；

24

(3)当苫=工时，y=-耳+当+2=祖，即点。的坐标为(L21),

222828

由抛物线的表达式知，点。的坐标为(旦，空)，

28

则DK—yo-yQ—~~———

-882

同理可得，QK=1,

则tan//)QM=@L」，

-QK2

■:/CBF=NDQM,

故tanZCBF=tanZDQM=^,

2

在△30C中，tan/CBO=①上=」,

0B42

故B尸和8。重合，

故点F和点A重合，

即点尸的坐标为（-1,0）.

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选

出符合要求的一项）

1.在实数、石，-1.0,2中，为负数的是（）

A.遂B.-1C.0D.2

【分析】根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数.

【解答】解：在-1,0,2这四个数中，负数是-1,

故选：B.

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析.

【解答】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；

B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

3.下列运算结果正确的是（）

A.3a-a=2B.a2*a4=c^

C.（〃+2）（〃-2）=/-4D.（-〃）2=-

【分析】根据合并同类项原则、同底数塞的乘法运算法则、平方差公式以及幕的乘方运

算法则正确计算即可求出正确答案.

【解答】解：3a和。属于同类项，所以3a-a=2a,故A项不符合题意,

根据同底数幕的乘法运算法则可得故B项不符合题意，

根据平方差公式Q+2)Q-2)=/-4,故C项符合题意,

(-a)2=J,故。项不符合题意，

故选：C.

4.已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是()

l2x>-4

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式X-1<0,得：x<\,

解不等式2x2-4,得：x\-2,

则不等式组的解集为-2WxVl,

故选：D.

5.将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a〃b,则N1的大小为()

A.45°B.60°C.75°D.105°

【分析】根据平行线的性质可得/l+/A8C=180。，进而可求出N1.

【解答】解：由题意知，ZABC=450+60°=105°,

'：a//b,

：.Z}+ZABC=]S0°,

/.Zl=180o-180°-105°=75°,

故选：c.

6.下列命题是真命题的是（）

A.五边形的内角和是720°

B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.内错角相等

D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

【分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心

的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、五边形的内角和为540°,故原命题错误，是假命题，不符合题意；

8、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；