焦作某中学高三12月考理数

焦作十一中12月月考

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第∏卷（非选择题）两部分，其中第H卷第（22）-（24）

题为选做题，其它题为必做题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效,

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上

的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上；

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标

号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清晰;

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效;

4.保持卷面清洁，不折叠，不破损；

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的

题号涂黑，

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的

1.已知集合〃={—2,—l,0,l,2},P={xlg<3'<9,xeR},则〃CP=

A.{0,l）B.{-1,0}C.{-l,0,l}D.{-2,-1,0,1,2）

2.复数——产（（为虚数单位）等于

l-√3z

A.1B.-1C.iD.-Z

3.某几何体的三视图如下,则该几何体的体积是

A.124B.144斗三

C.192D.25668

正（主网图例（左）》图

TT忸

4.utanx=-w是"X==2^+-(⅛∈Z),,成立的

3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件俯视图

（第3题图）

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

TTTT

5.已知函数y=sin（6x+—）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移一个单

48

位，所得函数的一个对称中心是

A.（―,0）B.（―,0）C.（―,0）D.（］,0）

6.已知{α,,}是首项为1的等比数列，S“是{4,J的前n项和，且9S3=Se,则数列{」-}的前

5项和为

A.一或5C31TUC.ɜɪ15

B.—或5D.—

816168

%≥1,

二匕ɪ的取值范围是

7.实数X,y满足不等式组Vy>0,则W=

X

χ-y>O,

A.[―1,1)B.L1,2)C.(-1,2)D.[―1,1|

8.已知函数/(X)==X3+ax1-2ax+3a2,且在f(x)图象上点(1,/(1))处的切线在y轴上

的截距小于0,则4的取值范围是

222

A.(-1,1)B.(-,1)C.(--,1)D.(-1,-)

9.已知{〃〃}的前n项和S“二〃2一6九则当时>3,1%1+121+…+∣%I的值是

n"—6〃+182，/-6〃+18

A.n2-6n-18B.----------------C.n^—6〃+18D.----------------

22

10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为4,再由乙猜甲刚才所想的数

字，把乙猜的数字记为b,其口α,b€{0,l,2,3},若I4->l≤1,则称甲乙''心有灵犀现

任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

3511

A.-B.-C.-D.一

8829

rr

11.偶函数/(X)满足用珀耐=∕(x+2),x∈[0,2]J(X)=2C0S—X,则关于X的

4

方程/(X)=(3)*,在X∈[—2,6]上解的个数是

A.ɪB.2C.3D.4

TT

12.设函数f(X)=2x—cosX,{a}是公差为一的等差数列，/(q)+/(ɑɔ+…+f(a)=5π

n85

贝1」"(生)]2—%%=()

1213

A.OB.—π1C.-π^D.—π

16816

第口卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷中的签横线上)

13.已知向量不=(1,2),3=(2,3),若向量荷+6与向量m=(4,7)共线,则/1=.

14.已知CoS(Jl→ɑ)=*且.α∈,贝IJtanO—α)三

ax-l(x>O),ɔ

15.已知函数/(x)=1OgI(X+l)(7<x≤0)且/"(—∕]=3,在各项为正的数列{%,}

.2

中，%=2,4+]=/(.“+；),{%,}的前n项和为S“，若S”=126,则〃=.

16.已知函数/(X)=Mlnx-〃,(α>0),其中"=?(2sin；cos；)df.若函数/(x)在定

义域内有零点，则。的取值范围是O

三、解答题(本大题有8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

数列｛q｝的前n项和为S“，若%=21.5,,=S„_,+2n(n≥2,n∈N*).

(1)求S“；

(2)是否存在等比数列也,｝满足4=%,%=%，4=4?若存在，则求出数列出｝的

通项公式；若不存在，则说明理由。

18.(本小题满分12分)

在ΔA8C中，〃、》<•分别为角48、C的对边，且满足。2+。2—/=be.

(I)求角A的值;

(Il)若α=√J,设角8的大小为X,ΔABC的周长为y,求y=∕(x)的最大值.

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正

方形，PDJ_平面ABCD,且PD=AB=2,E是

PB的中点，F是AD的中点.

(I)求证：EFl5FiSPBC;

(∏)求二面角F-PC-B的平面角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC-G中，底面ΔABC为等腰直角

三角形，ZB=90°,。为棱8片上一点，且平面D4∣CJ.平

面AA1C1C.

(I)求证：。点为棱的中点；

AA

(II)若二面角A-AD-C的平面角为60',求器的值.

21.(本小题满分12分)

Y4-1

己知函数/(X)=」.

ex

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)=0∙(x)+(T(X)+e-jt(f∈R),是否存在实数a、b、c∈[0,1],

使得g(a)+gS)<g(c)?若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作

答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-1:凡何证明选讲

如图，G)C)内切于AABC的边于D,E,F,AB=AC,连接

AD交。O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.

(I)求证：圆心O在直线AD上；

(IJ)求证：点C是线段GD的中点；

23.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程选讲

1

X=-t

2

已知直线/的参数方程为V(，为参数)，若以直角坐标系xθy的O点为极点,

6

y=—+

2

Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为

Tl

p-2cos(^--).

(I)求直线/的倾斜角；

(II)若直线/与曲线C交于A,B两点，求IABI.

24.(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲

已知不等式2Iχ-3I+Iχ-4I<24.

(I)若α=l,求不等式的解集；

(II)若已知不等式的解集不是空集，求实数4的取值范围.

20.1)过点。作于E点，取AC的中点尸，连BF,EF.∙.∙面D4∣C，面

A4CC且相交于A0,而D4∣C内的直线。Ed.4。，∙'∙OE∙L面ΛAGC0……3分

又∙.∙面A4C，面AAGC且相交于AC,且ΔA8C为等腰三角形，易知6尸_LAe,

BF，面44℃。由此知：DEHBF,从而有O,E,R8共面,又易知8月〃面A4∣C∣C,

故有DB//EF,从而有EF//AA1又点尸是AC的中点，所以。5=Eb=gAA∣=；8g,

所以。点为棱84的中点....................................................6分

(2)(法一)・・・面AAIB]>J_面ABC,面48Cn面AaBIB=A8,6C_LA8,,8。_1_面

AaQ8,岷4。交AB的延长线于点M,过8作8"，AQ交AQ于点H,端CH,

则CWL4。，・•,NCHB

为二面角A-AO-。的平面角，且/CHB=60",9分

设AiA=2b,AB=BC=a,由①易知BD—b,BM—a,

AA1=2b,AB=BC=a,则

£)(0,0,⅛),ʌ(Λ,0,2⅛),C(θ,α,θ)，所以DA1=(a,0,⅛),DC=(0,α,-⅛),.................8分

QX+Oy+bZ=O

设面D41C的法向量为〃=(x,y,z)，则＜

Ox+ay-bz=O

可取n=^-b-a)又可取平面AA1DB的法向量m=BC=^a,θ)

,---、nmbO-/?a-aOb

cos(n,m)=,.,∣=]-T==一一/10分

∖n∖m∖]lh2+6f2y[a^y∣2b2-Fa2

b_I

据题意有

:41b2+a2=2

..hV∑S[AA2brτ

解lz得h：——----所以-----=—=<212分

a2ABa

,2221

18.(I)在ΔA8C中，由"+M-Y=A及余弦定理得COSA="-+c-Q=L…2分

Ihc2

TT

而0<4<乃，则A=—；................4分

3

(II)由a=J],A=2及正弦定理得一ɪ一=」一=，一=g=2............6分

3sinBsinCsinA√3

T

同理C="∙sinC=sin(--x)................8分

sinA3

nf

y2sinx+2^(~~-ɪ)+ʌ/ɜ=2√3sin(x+^∙)+ʌ/ɜ....................10分

♦∙A兀/、2〃*.7T.τc5ττ、

•A——,・=0<x<—∙∙xH—∈(—,—),

33666

.∙.χ+工=2即X=C时，％χ=3√L.......................12分

623max

19解：(I)取Pc的中点G,连结EG,

GO则GE〃BC,且GE=LBC,

2

又•：DF//BC,且=LBC,

2

.∙.GEHDF良GE=DF,

：.四边形GEFD为平行四边形，

.,.GD//EF.................................3分

由于POL平面ABCD,ΛPDlBC,

又BCLCZ),.∙.BCL平面PCZ),

又Gz)U平面PCZ),.∙.BCLGD,

在等腰直角三角形PCo中，由G为尸C中点，.∙.G£)J_PC,

BC∏PC=C,.∙.GOJ_平面PC'O,.............................................................5

；GO//EP,二EPJ_平面PCZ)..................................................................6分

(II)连结/G,；8CLPC,GE//BC,

.∙.EGIPC,

"：EPJ_平面PCD,.∙.EFIPC,GEnGR=G,

：.PC1平面GEF,

：.FG1PC,

/.ZFGE是二面角F-PC-B的平面角.9分

在放AFEG中，EG=^8C=1,EF=GD=6,GF=dEF?+EG?=G,

2

./…EG1√3

..cos/FGE--—尸——,

FG63

所以二面角尸-PC-B的平面角的余弦值为走

3

21.(1)/(X)=三，当x≥()时，∕,(χ)≤0,F(X)在区间(O,+oo)上为减函数.

当x<0时，∕,(x)>O,/(x)在区间(—8,0)上为增函数.

・・•/(均的单调增区间为(一8,0),/(X)的单调减区间为(0,+8)3

分

(2)假设存在a、bc∈［O,1J,使得g(α)+g(b)<g(c),

则2(g(x))mιn<(g(x))maχ∙……ʒ

分

Qg(X)=『也？)四,.∙.g,(χ)=Ti(I)……6

ee

分

①当，21时，g'(x)≤O,g(ʌ:)在上单调递减，

.∙.2g(l)<g(0),即得t>3—……7

e2

分

②当∕≤0时，g'(x)≥O,g(x)在［0,1］上单调递增，

.∙.2g(0)<g⑴，即2<±ΞL得t<3-2e<0.……8

e

分

③当0<∕<l时在x∈［0j)上，g'(x)<O,g(x)在［0/)上单调递减，在X∈(兀1］上,

g∖x)>O,g(x)在«/］上单调递增，.∙.2g(t)<max{g(0),g⑴}……9

分

即2χ二^<max{l,—(*)由(1)知/■«)=牛在一。1］上单调递减,

e

，+1、4.3—，3

故2χ----->—,而——<-,不等式(*)无解.11

eteee

分

综上所述，存在「€(-8,3-26)1](3-5，+8)，使得命题成立.

所以/(x)的递增区间为(0,l),(c.+8)t递减区间为(Lc)......................5分

(H)①若c<O,则/(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，

/(X)=O恰有两解.则/(l)<0,ap→⅛<O,所以-J<c<O∣.....................7分

②若0<c<1,则/<£x)=/(C)=ClnC+$2+be,∕8H,(X)=/(I)=→h,

因为b=-l-c,则几入(X)=ClnC+^∙+c(T-c)=elne-e-/vθ,

九小(X)=-g-c,从而/(x)=0只有一解，...........9分

2

cC?I

③若,则ʌH<x)=clnc+5+c(-l-c)=clnc-c-∙yvθ,启大(X)=-]-c,

则/(x)=0只有一解.

综上，使/(x)=0恰有两解的C的范围为-；vc<0......................12分

22.(1)证明：・・・/5=4C,/斤=/£,

.∙.CD=BE.

又•；CF=CD,BD=BE,X

∙∙CD=BD.....................3分

又A48C是等腰三角形，/LX

AD是KAB的角平分线，Jr∖∖

圆心。在直线力。上............5分°ʌ

(II)连接。尸，由(I)知，OH是。。的直径，//

GCDB

・•.ZDHF=90*.

NFDH+NFHD=90".

又•・,ZG+NFHD=90',

."FDH=4G......................7分

∙∙∙0O与XC相切于点尸，

..AAFH=ZGFC=ZFDH.

.∙.ZGFC=ZG.

..CG=CF=CD.

.点C是线段G。的中点............10分

X=∕cos60°

23.解：(I)直线参数方程可以化,√2

y=——+/si

Γ2

根据直线参数方程的意义，这条经过点(0,等)，倾斜角为60°的直线............4分

高二理科数学答案第7页(共12页)

(ɪɪ)/的直角坐标方程为y=寂+等，...........6分

0=2cos(6-?)的直角坐标方程为(X-*)'+(>-¥)2=1......................8分

所以圆心(等到直线/的距离d=∙^,」•必冏=1ɪ......................10分

24.解析⑴由/(x)43得∣x-α∣≤3,解得α-3≤x≤x+3,.....................2分

又已知不等式/(x)43的解集为｛xI-1VX45｝,

fα3一I

所以「一「二'解得α=2.