河南省2021年中考数学真题试卷(答案+解析)

河南省2021年中考数学试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.实数-2的绝对值是（）

A.-2B.2C1

2.河南人民济困最"给力！"，据报道，2020年河南人民在济困方面捐款达到2.94亿元数据"2.94亿"用

科学记数法表示为（）

A.2.94X107B.2.94x108C.0.294x106D.0.294x109

3.如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

4.下列运算正确的是（）

A.(—a)2——a2B.2a2—a2=2C.a2-a=a3D.(a—I)2=a2—1

A.90°B.100°C.110°D.120°

6.关于菱形的性质，以下说法木定稿的是（）

A.四条边相等B.对角线相等C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

7.若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.V3

8.现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取

两张，则这两张卡片正面图案恰好是"天问"和"九章"的概率是（）

9.如图，8ABC的顶点。(0,0)，4(1,2)，点C在x轴的正半轴上，延长B4交y轴于点D.将

△。。4绕点。顺时针旋转得到，当点0的对应点D'落在。4上时，DA'的延长

线恰好经过点C,则点C的坐标为()

A.(2A/3,0)B.(2A/5,0)C.(2A/3+1,0)D.(275+1,0)

10.如图1,矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两

点间的距离为x，PA—PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为()

D.7

11.若代数式」7有意义，则实数x的取值范围是______.

X—1

12.请写出一个图象经过原点的函数的解析式.

13.某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，

品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每

盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是.(填"甲"或"乙")

205

204

203

202

201

200

199

198

197

196

0123456789101112131415序号

14.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点4,B,D均在小正方形的顶点上，且点

B,C在7TO上，ZBAC=22.5°，贝U糜的长为.

15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°/B=

30°,AC=1.第一步，在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A落在A1处，如图2,

第二步，将纸片沿CA,折叠，点。落在D'处，如图3.当点D'恰好在原直角三角形纸片的边上

时，线段AD'的长为.

图1图2图3

三、解答题（共8题；共83分）

16.

（）计算：（-百）

13-1-1+30,

（2）化简：（1一》.

17.2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡

眠时间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行卷调查，

并将调查结果用统计图描述如下.

调查问卷

1近两周你平均每天睡眠时间大约是小时.

如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题

2影响你睡眠时间的主要原因是.（单选）

A.校内课业负担重B.校外学习任务重C.学习效率低D.其他

平均每天睡眠时间统计图

，人数影响学生睡眠时间的主要原因统计图

■一S180

crS

l

A

l4030

;

X120

0S08585

S

4020

20

5678910

睡眠时

间x（时）

平均每天睡眠时间x（时）分为5组：（1）5<%<6；（2）6<x<7；（3）7<x<8；@8<x<

9；（5）9<x<10.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填序号）组，达到9小时的学生人数占

被调查人数的百分比为；

（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.

18.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点。重合，边分别与坐标轴平行，反比例函

数y=（的图象与大正方形的一边交于点A（l,2）,且经过小正方形的顶点B.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积.

19.开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动

小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水

平线上,已知佛像头部BC为4m,在4处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为

37.5°,求佛像BD的高度（结果精确到0.1m.参考数据：sin37.5°«0.61,cos37.5°«0.79,

tan37.5°«0.77）

20.在古代，智慧的劳动人民已经会使用"石磨"，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的"连杆"，推

动"连杆"带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为"曲柄连杆机构".小明受此启发设

计了一个“双连杆机构"，设计图如图1,两个固定长度的"连杆"4P,BP的连接点P在。。上，当

点P在O。上转动时，带动点A,B分别在射线。“，ON上滑动，OMLON.当4P与。

0相切时，点B恰好落在。。上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.

(1)求证：ZPAO=2ZPB0；

(2)若。。的半径为5,4P=g,求BP的长.

214弥猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，狒猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A,B两款舜猴玩偶，决

定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：

类别

A款玩偶B款玩偶

价格

进货价(元/个)4030

销售价(元/个)5645

(1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；

(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划购进

两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分

析，对于小李来说哪一次更合算？

(注：禾I润率=^'x100%)

22.如图，抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于点A(2,0)和点B.

(1)求m和b的值；

(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集；

(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛

物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围.

23.下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1,(1)分别在射线04,0B上截取0C=0D,0E=0F(点C,E不重合)；

(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线I］，12,交点为P,垂足分别为点G,H；(3)作

射线0P,射线0P即为ZA0B的平分线.简述理由如下：

由作图，ZPG0=^PHO=90°,OG=0H,OP=OP,所以Rt△PG。三Rt△PH。，贝U

/POG=/POH,即射线OP是ZAOB的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是大麻烦了，可以改进如下，如图2.(1)分别在射线。4,

0B上截取OC=OD,0E=OF(点、C,E不重合)；(2)连接DE,CF,交点为P；(3)

作射线0P,射线0P即为ZAOB的平分线.

图1图2

任务：

图3

(1)小明得出Rt△PGOsRt^PHO的依据是.(填序号)

①SSS；②S4S；③AAS；(4)ASA；⑤HL.

(2)小军作图得到的射线0P是ZAOB的平分线吗？请判断并说明理由；

(3)如图3,已知408=60。，点E,F分别在射线。4,。8上，且0E=OF=旧+1.

点C，D分别为射线。4,0B上的动点，且。C=。。，连接DE,CF,交点为P,当

ZCPE=30°时，直接写出线段0C的长.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【考点】实数的绝对值

【解析】【解答】解：实数-2的绝对值2.

故答案为：B.

【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可得答案.

2.【答案】B

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：因为1亿=108,

所以2.94亿=2.94x108；

故答案为:B.

【分析】科学记数法的表示形式为axicr的形式，其中is|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正

数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.

3.【答案】A

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层靠左边两个小正方形，第三层在左边一个

小正方形，

故答案为：A.

【分析】根据主视图的概念可得：第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正

方形，据此判断.

4.【答案】C

【考点】同底数塞的乘法，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，塞的乘方

【解析】【解答】解：A、(-a)2=a2,原计算错误，不符合题意；

B、2a2-a2=a2,原计算错误，不符合题意；

C、a2-a=a3,正确，符合题意；

D、(a-I)2=a2-2a+1,原计算错误，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据基的乘方法则判断A的正误；根据合并同类项法则判断B的正误；根据同底数募的乘法法

则判断C的正误；根据完全平方公式判断D的正误.

5.【答案】D

【考点】平行线的性质，邻补角

【解析】【解答】解：如图，

1

2A3

--^2-1----b

'：allb,

Z1=Z3=60",

Z2=180°-Z3=120",

故答案为：D.

【分析】首先对图形进行角标注，由平行线的性质可得N3的度数，然后根据邻补角的性质就可求得N2

的度数.

6.【答案】B

【考点】菱形的性质

【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；

B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；

C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；

D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，据此判断.

7.【答案】D

【考点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：由题可知："△<0%

(—2)2—47n<0,

771>1,

故答案为：D.

【分析】根据根的判别式可得：(-2六4m<0,求解即可.

8.【答案】A

【考点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：把印有"北斗"、"天问"、"高铁"和"九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D,

画树状图如图：

开始

ABCD

/1\ZNz4\ZN

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，

所抽取的卡片正面上的图形恰好是"天问"和"九章"的概率为.

12o

故答案为：A.

【分析】把印有"北斗"、"天问"、"高铁"和"九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D,画出树状图，找出

总的情况数以及所抽中的恰好是B和D的情况数，然后根据概率公式进行计算.

9.【答案】B

【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质

【解析】【解答】如图，连接小C，因为轴，

△ODA绕点。顺时针旋转得到△0D'A'

所以40'。=90°，OD=0D

■■■ZDOA+/D'OC=/D'CO+/D'OC

ZDOA=ND'CO

ADO6、ODc

ADOD'

•・•AO=OC

4(1,2)

•-AD=1,OD=2

・•・AO=Vl24-22=V5，OD-OD=2

OC=2V5

故答案为B.

【分析】连接A，C,由旋转的性质可得NCDO=90。，ODZ=OD,然后证明△ADO-△接下来根据相似

三角形的性质以及勾股定理求解即可.

10.【答案】C

【考点】动点问题的函数图象

【解析】【解答】解：由图2可知，当P点位于B点时，PA—PE=1,即AB—BE=1,

当P点位于E点时，PA-PE=5,BPAE-0=5,贝I]AE=5,

AB2+BE2=AE2,

(BE+iy+BE2=AE2,

即BE2+BE-12=0,

BE>0

BE—3,

点、E为BC的中点，

BC—6,

故答案为：c.

【分析】由图2可知，当P点位于B点时，AB-BE=1,当P点位于E点时，AE=5,由勾股定理可得BE的

值，然后根据线段中点的概念进行求解.

二、填空题

11.【答案】x#l

【考点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：依题意得：x-l#O,

解得xxl,

故答案为：XHL

【分析】分式有意义时，分母不能为0,据此求得x的取值范围.

12.【答案】y=x（答案不唯一）

【考点】待定系数法求一次函数解析式

【解析】【解答】解：因为直线y=x经过原点（0,0）,

故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）.

【分析】设丫=1«+＞将（0,0）代入可得b=0,则丫=1«,任意的k就构成一个函数解析式.

13.【答案】甲

【考点】方差

【解析】【解答】解：由题可知，它们的价格相同，品质也相近，测得它们的平均质量均为200克，

而由图形可知，甲厂的红枣每盒质量相对乙厂更加稳定，

因此甲厂产品更符合规格要求.

故答案为：甲.

【分析】由题意可得：甲、乙两个厂家出口的红枣的平均质量均为200克，然后由折线统计图判断出哪

个厂家的比较集中即可.

14.【答案】7

4

【考点】弧长的计算

【解析】【解答】解：连接AD,作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为AD的圆心0,

r——T---r—r—r--7---r—

।।।■«।-J■।।।।

从图中可得：AB的半径为OB=5,

连接OC,

ZBAC=22.5°,

ZB0C=2X22.5°=45°,

45X7TX5_57r

BC的长为

180-4

故答案为：

4

【分析】连接AD,作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为加的圆心O,根据已知条件结合圆周角定理

可得NB0C的度数，然后根据弧长公式计算即可.

15.【答案】i或2-国

【考点】含30。角的直角三角形，翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：当。’落在4B边上时，如图（1）：

B

图<1>

设。D'交48于点E,

由折叠知：ZEA'D==60°，

AD=A'D=A'D'>DD'LAE-A'C=AC

•••ZACB=90°,=30°,AC=1

：.AB=2,BC=>/3

设4。=x,则在RtAA'EO中，A'E=lx

在RMECB中，EC=-BC=—

22

•-AfC=AC

1V3

A-X+—=1

22

即%=2—V3.

当落在8C边上时，如图（2）

B

因为折叠，ZACD=ZA'CD=ZA'CD'=30°,

//1/1Zf/

・・・AD=-AC=-AB,AC=AB=AC=1

22

t/i

/.AD=AD=-.

2

故答案为：:或2-b

【分析】当D，落在AB边上时，设DD咬AB于点E,由折叠的性质得NEA，D=NA=60。，AD=A,D=A,D/,

A，C=AC,然后在△ABC中可得AB、BC的值，设AD=x,在R3A，ED中可得A，E,在RSECB中，表示出EC,

然后根据A，C=AC就可求得x；当D，落在BC上时，由折叠的性质得NACD=NA，CD=NA，CD，=30。，然后求出

A'D\AT,据此可得AD.

三、解答题

（2）解：（1一》+等

x-1X2

---X------

x2(x-l)

X

2

【考点】实数的运算，分式的混合运算

【解析】【分析】（I）根据0次哥、负整数指数哥以及算术平方根的概念可得：原式W3+1，据此计算;

（2）根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则化简即可.

17.【答案】(1)③；17%

(2)解：该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》

中的初中生每天睡眠时间应达到9小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠

时间达不到8小时，约4%的学生睡眠时间不到6小时.

建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去；

②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等(本题答案不唯

一，回答合理即可).

【考点】扇形统计图，条形统计图

【解析】【解答】解：(1)由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第

250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组；

V达到9小时睡眠的人数为85人，

，其所占百分比为：盍=17餐；

故答案为：③；17%.

【分析】(1)根据中位数的概念以及条形统计图可得中位数落在第几组，利用达到9小时睡眠的人数除

以总人数可得所占的百分比；

(2)根据条形统计图可得：大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，

约4%的学生睡眠时间不到6小时，据此提出建议.

18.【答案】(1)解：由题意，点A(l,2)在反比例函数y=：的图象上，

/.fc=1x2=2,

反比例函数的解析式为y=|；

(2)解：点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等,

设B(a,a),则有k=axa=2,

a=V2>即B(y/21V2),

小正方形的边长为2V2,

小正方形的面积为(2V2)2=8,

大正方形经过点A(l,2),则大正方形的边长为4,

•••大正方形的面积为42=16,

图中阴影部分的面积为16-8=8.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式

【解析】【分析】(1)将点A的坐标代入反比例函数解析式中可得k的值，进而得到其解析式；

(2)设B(a,a),则有k=axa=2,据此可得点B的坐标，进而求出小正方形的边长与面积，根据点A

的坐标可得大正方形的边长，求出其面积，接下来根据面积间的和差关系进行求解.

19.【答案】解：设佛像BD的高度为xm,

•••ZBAD=45°,

ZBAD=ZABD=45°,

/.AD=BD=x,

;佛像头部BC为4m,

CD=x-4,

•・,ZDAC=37.50,

rnx—4

tanzDAC=—=—=0.77,

ADX

解得：x=17.4,

经检验，该方程有意义，且符合题意，

因此x=17.4是该方程的解，

•••求佛像BD的高度约为17.4m.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】设佛像BD的高度为xm,易得AD=BD=x,CD=x-4,然后根据NDAC的正切函数可得x

的值，最后进行检验即可.

20.【答案】（1）证明：连接OP,取y轴正半轴与QO交点于点Q，如下图：

•••OP=ON,：.ZOPN=ZPBO,

•••ZPOQ为4PON的外角，

NPOQ=ZOPN+NPBO=2NPBO,

•­•NPOQ+ZPOA=ZPOA+ZPAO=90

ZPAO=/POQ，

ZPAO=2NPBO.

（2）解：过点Q作PO的垂线，交P。与点C,如下图:

由题意：

在RtXAPO中,

tanAO=笔=冬=q,

3

由(1)知：NQOC=ZOAP,/APO=NOCQ,

Rt△APOsRt△OCQ,

•••tan/COQ=.=10Q=5，

ACO=4,CQ=3,

：.PC=PO-CO=5-4=1,

APQ=yJPC2+CQ2=V1T9=VTo,

由圆的性质，直径所对的角为直角；

在Rt△QPB中，由勾股定理得：

BP={BQ2_PQ2=V102-10=3V10，

即BP=3V10.

【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数

的定义

【解析】【分析】(1)连接OP,取y轴正半轴与。。交点于点Q,根据等腰三角形的性质以及三角形外

角的性质可推出NPOQ=2NPB。，根据同角的余角相等可得NPAO=NPOQ,据此证明；

(2)过点Q作PO的垂线，交PO与点C,根据三角函数的概念可得tanNPAO的值，易证

△APO-△OCQ,根据相似三角形对应角相等可求出CO、CQ的值，进而求出PC、PQ的值，接下来在

RSQPB中，利用勾股定理求解即可.

21.【答案】(1)解：设4,B两款玩偶分别为x,y个，根据题意得：

%+y=30

l

40x+30%=1100

解得：CM

答：两款玩偶，4款购进20个，8款购进10个.

(2)解：设购进A款玩偶a个，则购进B款(30-a)个，设利润为y元

则y=(56-40)a+(45-30)(30-a)

=16a+15(30-a)

_450_|_a(元)

・•・4款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半

•a•d4£(30—Q)

Aa<10,又QN0,

0<a<10,且Q为整数，

v-l<0

・•・当a=10时，y有最大值

•••ymax=460.(元)

・・・4款10个，B款20个，最大利润是460元.

(3)解：第一次利润20X(56-40)+10x(45-30)=470(元)

・••第一次利润率为：^xl00%=42.7%

第二次利润率为：io“：：；ox3o*为0%=46%

•••42.7%<46%

•••第二次的利润率大，即第二次更划算.

【考点】一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题

【解析】【分析】(1)设A,B两款玩偶分别为x、y个，根据题意得：，求解即可；

40%+30%_1100

(2)设购进A款玩偶a个，利润为y元，由题意可得：y=(56-40)a+(45-30)(30-a)=450+a,根据A款

玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半可求出a的范围，然后结合一次函数的性质解答；

(3)首先根据销售价以及进货价求出单个的利润，然后乘以个数求出总利润，接下来利用总利润除以

1100就可求出第一次的利润率，同理求出第二次利润率，然后进行比较.

22.【答案】(1)解：；点A(2,0)同时在y=/+机尤与y=一%+/,上，

0=22+2m,0=-2+b,

解得：m=-2,b=2；

(2)解：由(1)得抛物线的解析式为y=x2-2x,直线的解析式为y=-x+2,

2

解方程x-2x=-x+2,得：Xi=2,x2=-1-

•••点B的横坐标为-1,纵坐标为y=-X+2=3,

•・•点B的坐标为(-1,3),

观察图形知，当％<-1或x>2时，抛物线在直线的上方，

不等式x2+mx>-x+b的解集为%<-1或x>2；

(3)解：如图，设A、B向左移3个单位得到Ai、Bi,

•.,点A(2,0),点B(-l,3),

...点0),点Bi(43),

AAi=BBi=3,且AAiIIBBi,即MN为AAi、BBi相互平行的线段,

对于抛物线y=x2—2x=(x—I)2—1,

•••顶点为(1，-1)，

如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线y=/一2%只有一个公共点，

此时一1WX”<2,

当线段MN经过抛物线的顶点(1,-1)时，线段MN与抛物线y=产一2x也只有一个公共点，

此时点Mi的纵坐标为-1,则-1=-xM+2,解得xM=3,

综上，点M的横坐标xM的取值范围是：一1WX”<2或X”=3..

【考点】平移的性质，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】(1)分别将点A的坐标代入抛物线以及直线解析式中就可得到m、b的值；

(2)由(1