考场仿真卷02-2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（江苏专用）（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学模拟考场仿真演练卷(江苏专用)

第二模拟

本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知全集U为实数集，A={x|f-3xW0},8={4x>l},则AD(CuB)=()

A.{x|0WxVl}B.{xIOWxWl}C.{x|lWx<3}D.{x|0WxW3}

【答案】B

【分析】可求出集合A,然后进行补集和交集的运算即可.

【解答】解：；A={x|0WxW3},B={x|x>l},

.•.CuB={x|xWl},AO(CuB)={x|OWxWl}.

故选：B.

【知识点】交、并、补集的混合运算

2.已知复数z=(a-2i)(2+i)(。为实数，，•为虚数单位)为纯虚数，则|z|=()

A.V3B.3C.5D.V5

【答案】C

【分析】利用复数的运算及纯虚数、复数的模的概念求得结果.

【解答】解：由题设知：z—(a-2i)(2+j)—(2a+2)+(a-4)i,

♦；z为纯虚数，...2a+2=0,解得：a=-\,

.,.z=-5/,|z|=5,

故选：C.

【知识点】复数的模

3.为了更好地引领广大团员青年继承和发扬五四精神，为实现中华民族伟大复兴的中国梦而努力奋斗，某学

校团委在五四运动101周年纪念日即将来临之际，举行了“传承五四精神，书写战疫青春”云主题演讲

活动.本次演讲有6名同学和2名青年教师参加，在演讲出场顺序中要求两位教师中间恰好间隔3名同

学，则8人不同的出场的顺序种数为()

A.480B.960C.2880D.5760

【答案】D

【分析】根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在2名教师中间，②将这个整体与其他

3人全排列，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①在6人中任选3人，安排在2名教师中间，有C63A3342种情况，

②将这个整体与其他3人全排列，有44种排法，

则有C63A33A22A44=5760种安排方法，

故选：D.

【知识点】排列、组合及简单计数问题

4.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M,N是锐角NAQ8的一边QA上的两点，试在边。8上找一

点P,使得/MPN最大”.如图，其结论是：点尸为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据

以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xO），中，给定两点M（-l,2）,N（1,4）,点尸在x轴上

移动，当/MPN取最大值时，点尸的横坐标是（）

A.1B.-7C.1或-7D.2或-7

【答案】A

【分析】根据米勒问题的结论，P点应该为过例，N的圆与x轴的切点，结合几何关系求解即可.

【解答】解：依题意，设尸点坐标为（a,b）,

则圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=〃,

31-i-y-ra.,在（-1-a）2+（2-b）2=b2

M,N两点在圆上，所以＜,

.（l~a）（4-b）2=b2

解得［a=l或者（舍），

lb=2lb=10

故P点的横坐标为1.

【知识点】两直线的夹角与到角问题

5.某学校要在6名男生和3名女生中选出5名学生进行关于爱国主义教育相关知识的初赛，要求每人回答一

个问题，答对得2分，答错得0分.已知6名男生中有2人不会答所有的题目，只能得0分，其余4人

可得2分，3名女生每人得2分的概率均为2.现选择2名男生和3名女生，每人答一题，则所选队员

3

得分之和为6分的概率为()

A.AB.也AC.3D.毁

3105581

【答案】D

【分析】根据题意，记“所选5位队员得分之和为6分”为事件E,据此分3种情况讨论：①男生得0分,

女生得6分，②男生得2分，女生得4分，设其为事件B,③男生得4分，女生得2分，设其为

事件C,求出三个事件的概率，将其相加即可得答案.

【解答】解：根据题意，记“所选5位队员得分之和为6分”为事件E,

分3种情况讨论：

,2

①男生得。分，女生得6分，设其为事件4,则尸(A)(2)3X(1)。=旦，

v633405

cici

②男生得2分，女生得4分，设其为事件8,贝IJP(B)=^-±XC32(2)2X(1)・卫,

C233135

,2

③男生得4分，女生得2分，设其为事件C,则P(C)=WxC3](2)'X(1)2=A,

3345

b

故尸(£)=P(A)+P(B)+P(C)-_A_+_32_+_L=

4051354581

故选：D.

【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、n次独立重复试验中恰好发生k次的概率、古典

概型及其概率计算公式

'|x+l|,-74x<0

6.己知函数f(x)=<(x)=/-2%,设。为实数，若存在实数加，使/(加)-2g

lnx,e

(〃)=o,则实数。的取值范围为()

A.[-1,+8)B.(-8,-1]U[3,+8)

C.[-1,3]D.(-8,3]

【答案】C

【分析】根据函数/(x)的图象，得出值域为[-2,6],利用存在实数m,使/(“)-2g(a)=0,得出

2g(a)的值域满足-2W2/-4〃W6,即可.

【解答】解：・・工(x)=1-2x,设a为实数，

.•.2g(〃)=2a2-4a,尤R,

Vy=2a2-4a,〃ER,

•二当u—\时，y最小值=一2,

|x+lI,-7<x40

•.•函数/(x)=.

lnx,eMx《e

/(-7)=6,/(e2)--2,

值域为[-2,6]

•.•存在实数m,使/(m)-2g(a)=0,

-2W2a2-4aW6,

即-lWaW3,

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用

7.点M,N分别是棱长为2的正方体ABCD-A\B\C\D\中棱BD,CG的中点，动点P在正方形BCGBi（包

括边界）内运动.若以i〃面AMM则%।的长度范围是（)

[莘•，3]D.[2,3]

A.⑵泥]B.，V5]C

【答案】B

【分析】取BiG的中点E,的中点F,连结4E,A\F,EF,取EF中点0,连结40,推导出平面AMN

//平面MEF,从而点P的轨迹是线段EF,由此能求出为।的长度范围.

【解答】解：取BiG的中点E,的中点F,连结4E，4尸，EF,取EF中点0,连结4。,

•.•点M,N分别是棱长为2的正方体中棱8C,CG的中点,

：.AM//A\E,MN//EF,

\'AMnMN=M,A\EC\EF=E,

二平面AMN〃平面4E凡

•.•动点P在正方形BCG8(包括边界)内运动，且B4i〃面AMM

二点P的轨迹是线段EF,

+12=而,EF=qF+]2=后,

：.A\OA-EF,

.•.当p与。重合时，以।的长度取最小值40=J(泥户-当V二岁,

当P与E(或F)重合时，力।的长度取最大值为4E=A|F=旄.

的长度范围为[盟I,V51-

2

故选：B.

【知识点】点、线、面间的距离计算

8.已知定义在R上的函数)，=/(x+l)-3是奇函数，当(1,+8)时，/(x)--3,则不等式优

x-1

(x)-3]ln(x+1)>0的解集为()

A.(1,+8)B.(-1,0)U(e,+8)

C.(0,1)U(e,+8)D.(-1,0)U(1,+8)

【答案】D

【分析】根据已知可得对(0,+8),均有/(x+1)20,从而可得)，=/(x+1)-3在(0,+8)上单

调递增，由函数的奇偶性可知函数y=/(x+l)-3在R上单调递增，作出函数y=/(x+l)-3的

大致图象，利用图象的平移可得f(x)-3的图象，数形结合即可求得不等式的解集.

【解答】解：因为(1,+8)时，f(x)2x+—---3,

X-1

则可令X=X1+1,此时xi>0,

所以当(0,+8)时，/(X)+l)与xi+-l--2,

X1

即对(0,+8),均有/(x+1)20,

因为y=/(x+l)-3,所以y'=f(x+1),

所以y=/(x+l)-3在(0,+°°)上单调递增,

由函数y=/(x+l)-3是奇函数，

所以函数y=/(x+l)-3在R上单调递增，

故可大致画出函数y=/(x+1)-3的图象，

对于/(%)-3只需要将y=f(x+D-3向右平移1个单位即可得到,

当x>0时，In(x+1)>0,此时只需要/(x)>3即可，

由图象可知，此时(1,+8),

当-l<x<0时，In(x+1)<0,此时只需要/(x)<3即可，

由图象可知，此时(-1,0).

综上，不等式的解集为(-1,0)U(1,+8).

故选：D.

【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数奇偶性的性质与判断

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求

的，选对得分，错选或漏选不得分。

9.已知双曲线一/--£=1的离心率为2,则A的值可以为()

k2-54k

A.-3B.6_741C.3D.6+741

【答案】BC

【分析】判断双曲线的焦点坐标所在轴，然后利用离心率列出方程求解即可.

卜2-5〉0

k>0

【解答】解:当双曲线的焦点坐标在轴时，，解得&

x2=3.

k-5+4k.

-2----=4

k-5

\2-5<0

k<C0,力/口,—

双曲线的焦点坐标在y轴时，可得，,解得k=6-A/41»

-4k-(k-5)

-----------=4A

-4k

故选：BC.

【知识点】双曲线的性质

10.已知函数/（x）=sin3x+cos3x的最小正周期是n,则下列判断正确的有（）

A.函数f（x）的图象可由函数、=&$苗丸的图象向左平移三个单位得到

4

B.函数/（尤）在区间［三，且口上是减函数

88

C.函数了（尤）的图象关于点（工，0）对称

8

D.函数f（x）取得最大值时x的取值集合为改k=卜兀6，k€Z}

【答案】BCD

【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断.

【解答】解：*.*/(x)=sin3x+cos3x=J^sin(3尤+2-)的周期T=-£-L=TT,

40)

；.3=2,f(x)=asin(2x"^~>

对A,函数/（x）的图象可由函数.y=J5sinZr的图象向左平移:个单位得到，4不正确;

对8,由匹W2x+?L可得，2L<X<12L,故f（x）在区间［三，旦口上单调递减,

24飞28飞飞888

B正确；

对C,因为/（-3）=0,得到函数图象的一个对称中心为（工，0）,C正确.

88

对。，因为sin（2x+：）=l=2x+：=；+2k兀=x=kn+—（kEZ），。上确.

故选：BCD.

【知识点】函数y=Asin（<ox+（p）的图象变换、三角函数的周期性、两角和与差的三角函数

11.下列命题中正确命题是（）

A.函数f（x）=J2+x2有最小值2

V2+x2

B.“x2-4x-5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”

C.命题p：SAGR,tanx=1；命题q：VxGR,x2-x+1>0.则命题"p!\（一'q）"是假命题

D.函数/（x）=d-3x2+l在点（2,7（2））处的切线方程为y=-3

【答案】CD

【分析】A令五戛=t>M，g(/)=/+1,利用导数研究其单调性极值与最值，即可判断出正误；B"x

=5"="l-4x-5=0"，反之不成立，即可判断出正误；C命题p：3.r=2L,taar=l,因此是

4

真命题；命题仍V.rGR,^-X+1=(X^1-)24J.>0)是真命题.即可判断出正误；。函数/(x)

-3^+1,f(x)=3JT-6x,f(2)=0,/(2)=-3,即可得出函数/(x)在点(2,/(2))

处的切线方程，即可判断出正误.

2

【解答】解：令个S(力=£+2•，g'(，)=1-±=工J〉。,因此函数g(，)单调递

tt2t2

增，，g⑺2g

函数f(x)=6+x2+-j」F有最小值3返，大于2,因此4不正确；

72772

“f-4x-5=0”的一个充分不必要条件是“x=5”，因此8不正确；

命题p：taiw=l,因此是真命题；命题q：V.rGR,x2-x+1=G」)？十乏>0,是真

4'X21TJ

命题.则命题“pALq)”是假命题，C正确；

函数f(x)=/-3/+1,/(x)=3/-6x,/(2)=0,/(2)=-3,函数/(x)在点(2,

/(2))处的切线方程为y=-3,。正确.

故选：CD.

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、复合命题及其真假、充分条件、必要条件、充要条件、基

本不等式及其应用

12.若随机变量X服从两点分布，其中p(x=0)=2，E(X)、D(X)分别为随机变量X均值与方差，则下列

3

结论正确的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4D.D(x)="1

【答案】AB

【分析】推丑陋同P(x=i)=2从而E(x)=ox—+1X—D(X)=(o-2)2XA+(1-2)2

3u3133333

x2=2,由此能过河卒子同结果.

39

【解答】解：随机变量X服从两点分布，其中p(x=O)=2，

3

:.p(x=i)=2,

3

E(X)=ox5+ix|■义

333

D(X)=(o-2)2XA+(I-2)2x2=2,

33339

在A中，P(X=l)=E(X),故A正确；

在8中，E(3X+2)=3E(X)+2=3X_|_+2=4,故8正确；

在C中，D(3X+2)=9。(X)=9x2=2,故C错误；

9

在。中，D(X)=2,故。错误.

9

故选:AB.

【知识点】离散型随机变量的期望与方差

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知直线/：y=fcc+l(ZCR),若直线上/总存在点M与两点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率之积为

-3/n(机＞0),则实数m的取值范围是.

【分析】由题意利用斜率公式可得1y2=-3m(x2-l)能成立，即“+3用『+2日+1-3旭=0能成立.由

y=kx+l

判别式△》(),可得-12+36m20,由此可得，”的范围.

【解答】解：设M(x,y)在直线/：y=kx+\(Jt6R)上，

则KMA・K“B=—^―•—^―=-3m,故丁=-3m(x2-1).

x+1X-l

由＜y=_3m(x-1)能成立，可得(3+3/)f+2Ax+l-3m=0能成立.

y=kx+l

.•.△=43-4(3+3机)(I-3m)=12〃而-l2/n4-36/n2^0,

Vw＞0,；.12/-12+36m》0,故-12+36m》0,

3

故答案为：，“2工.

3

【知识点】直线的斜率

14.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想吊=22'1("=0,1,2,••­)

是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出「5=641*6700417,不是质数.现设小=log2[log2

(-1)J(n=l,2,•••),b„—...-...—,则表示数列｛儿｝的前〃项和S==___.

a/ajl)

【分析】利用对数运算性质可得斯=log2[bg2(F„-1)]=〃，代入与=—二一通过裂项求和方法即

a/an+D

可得出｛6｝的前“项和S”.

n=W,

【解答】解：aw=log2[log2(Frt-1)]=10g2[10g2(22“)=log22

贝Ub,,=——----=1-^-A--

an^an+^n(n+l)nn+1

，数列｛儿｝的前n项和S„=1-_1+_1-A+.....+A-_L_=1-

223nn+1n+1n+1

故答案为：_J2_.

n+1

【知识点】数列递推式、数列的求和

15.A,B,C,。为球面上四点，M,N分别是A8,CD的中点，以MN为直径的球称为A8,C£)的“伴随

球”，若三棱锥A-BC。的四个顶点在表面积为64TT的球面上，它的两条边A8,C。的长度分别为和

4、左，则A8,8的伴随球的体积的取值范围是.

【分析】由已知求出三棱锥A-BCO的外接球的半径，求出。M,ON的长度，进一步求出MN的范围，则

答案可求.

【解答】解：由题意可知，球的半径为R=4,分别取球。的两条弦AB,C/)的中点M,N,

则0M=｛42_7=3,ON=^2_12=2,即弦A8,C4分别是以。为球心，

半径为3和2的球的切线，且弦AB在以。为球心，半径为2的球的外部，

MN的最大距离为2+3=5,最小距离为3-2=1.

当。，N三点共线时，分别取最大值5与最小值1.

故半径分别为反，工，

22

：.AB,CD的伴随球的体积的取值范围是［匹，2252L］.

66

故答案为：［乃，丝三］.

66

【知识点】球的体积和表面积

16.如图，某景区有景点A,B,C,D.经测量得，BC=6ktn,乙48c=120°,sin/8AC=U^LZACD=

14

60°,CD=AC,则AO=km,现计划从景点8处起始建造一条栈道8M,并在M处修建观景台.为

获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、。的视角NAMQ=120。.为了节约修建成本，栈道长度

的最小值为km.

【分析】在△ABC中，直接由正弦定理求解A力的长度；以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴建立平面

直角坐标系，求出M点的轨迹，可知例点在圆x2+(y_io.)2=%的一段圆弧上，再由圆心到

B点的距离减去半径求得栈道B例长度的最小值.

【解答】解：在△ABC中，BC=6,NABC=120°,sinNBAC=Yil,

14

由正弦定理可得：一区一=一二----即.士岑,

sinZBACsinZABC迄V3_

_142

解得：AC=Eh/7.

在△ACO中，由NACO=60°,CD=AC,得△AC。为等边三角形，可得4O=AC=6开心打；

以8为坐标原点，以BC所在直线为4轴建立平面直角坐标系，

V

A

也

由sin/BAC率，得c"BAC=誓'

/.sinZACB=sin(1200+ZBAC)=sinl20°cosZBAC+cos1200sinZBAC

=返旭二区叵

2142147

cosZACS71-sin2ZACB-7，

在△ABC中，由正弦定理可得：一巡一=_MI_,解得AB=12.

_sinZACBsinl200

二4点的坐标为(-6,6A/3).

sin/OCx=sin(600+ZACB)=sin6(TcosZi4CJ?+cos60asinZACB

=a「V?J亚=沂

l-x〒节义〒IF'

2=：

则cosNDCx=hsinZDCxy1,

二。点坐标为(9,9退〉.

设y),则以“=丫则^,k=-

K

MAX+6KMDx-9

120x+6X-9_F-

.•.由到角公式可得：lan120—ll_v3,

।y-6V3y-9V3、

+~x+6-x-9

整理得：x2+(y-10j§)2=8小

点在圆x2+(y_io%)2=84的一段圆弧上.

圆心为(0,10«),半径为2折.

则长度的最小值为小“107v_2历=1哂-2收・

故答案为：出々；10V3-2V21.

【知识点】解三角形

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。

17.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,从条件①<?+〃-c?=2运力sinC,条件②

3

6sinC+J^ccosB,条件③(/+序-c2)«acosB+%cosA)=a儿这三个条件中任选一个，解答下列问题.

(I)求角C的大小；

(II)若c=2,当a,。分别取何值时，AABC面积取得最大值，并求出其最大值.

【分析】(/)利用正弦定理，余弦定理可求C的大小，

(//)由余弦定理及基本不等式可求她的范围，再由三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：(/)若选①由余弦定理及/+〃_c2=2Z^zgsinC得2a0cosC=2/^>absinC，

33

所以tanC=^3，

因为Ce(0,IT),

所以C-2L,

3__

若选②由正弦定理及J&=〃sinC+«ccosB得，V3sinA=sinBcosC+sinCcosL

所以V^sin(8+C)=sinBcosC+sinCcos8,

所以西sinBcosC=sinBsinC，

因为Be(0,n),

所以sinBWO,

所以tanC=J§,

所以C=三，

3

若选③，由余弦定理及(。4廿-/”(acosB+bcosA)=abc,得，2abcosC(acosB+bcosA)—abe,

由正弦定理得2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC»

所以2coscsin(4+8)=sinC,

因为sinCWO,

所以cosC=—,

2

所以c=2L,

3

(〃)由c=2及c1=a1+b1-2abcosC=a2+b2-ab^ab,

得HW4,当且仅当。=0=2时取等号.

所以S.48c=/absinC《灰，当且仅当。=匕=2时取等号，此时△A8C面积取得最大值

【知识点】余弦定理

a+1

18.已知数列｛斯｝满足〃]=1,w〃+i=25+1)an+n+29设曰=—2-

n

(I)判断数列｛d｝是否为等比数列，并说明理由；

(II)若斯〈人儿2,对v〃CN*都成立,求人的取值范围.

【分析】(I)直接利用数列的关系式的变换和等比数列的定义求出结果；

(II)利用(])的结论，利用数列的单调性和恒成立问题的应用求出结果.

【解答】解：(I)数列｛“”｝满足=1,natl+\—2(n+1)an+n+2,

整理得”a“+i=2(rt+1)a„+2(n+1)-n,

a.I+1at

即〃(〃〃+i+l)=2(H+1)(an+1),两边同除以〃(1)得：-----=0*——

n+1n

=

即bn+\2bnr

故数列｛/%｝是以b[=，L=2为首项，2为公比的等比数列.

(II)由(I)得：

n-1n

bn=2X2=2-

所以=pn

^nn2-l,

若a〃<kb?,则〃・2"-1<X*22H,

即x〉n・2-1,

则_=(n+l)・2nHn,2n-l_(l-n)・2n+l+3

cn+l-cn~~.2(n+1)~~~~

当n=\时，ci-ci>0,

当心2时，C/i+l-cn<0,

所以数列｛Cn｝从第二项起单调递减，

所以(C)=Cc―•

要使得〃〃V昉“2,对均成立，

则只需使得入〉n・2：-l恒成立,

【知识点】数列递推式、等比数列的性质

19.“在线学习”是中小学生疫情防控期间的主要学习手段之一.某校高三年级对n名学生线上学习与线下

学习的效果进行问卷调查，统计结果如表：已知从〃名学生中任选一名，取到线上学习的女同学的概率

为专

线上学习线下学习

男同学3015

女同学20m

(1)根据如表说明，能有多大把握认为线上学习与线下学习的效果与性别有关？

(II)从线上学习的同学中，采用按性别分层抽样的方法选取10人，再从选取的10人中随机抽取3人作

为代表参加学校组织的视频会，设抽取的3人中女同学人数为X,写出X的分布列并求出数学期望E(X).

2

参考公式：K=-----------------------其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：

P(K22k)0.0100.0050.001

k6.647.8810.83

【分析】(I)根据题意求〃，m,补全2X2列联表，计算K2,与临界值比较即可判断；

(II)计算出分层抽样抽取的男同学和女同学人数，写出X的所有可能取值，分别计算概率可

得分布列，进而求出数学期望.

【解答】解：(I)因为从〃名学生中任选一名，取到线上学习的女同学的概率为上，

5

所以型=工，

n5

所以H=100,

因为30+15+20+6=100,

所以加=35,

所以2义2列联表为：

线上学习线下学习合计

男同学301545

女同学203555

合计5550100

根据列联表数据得d=10°X(30X35-15X20)2__100^9.901>7.88,

50X50X45X5511

所以有99.5%的把握认为线上学习与线下学习的效果与性别有关.

(II)根据分层抽样方法得到抽取男同学有理10=6人，女生有4人,

50

由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,

p31

则p（x=o）=^-=A,p（x=i）=—^■=■1,

C36c32

^10^10

P1P2

则F（X=2）=-4r-^-=-.p（x=3）=-^-=-L

c310c330

J。Jo

所以X的分布列为：

X0123

p_1231

a~2Io30

：.E(X)=0XA+1XJL+2XA.+3XJL_=A

6210105

【知识点】离散型随机变量的期望与方差、独立性检验

20.如图，四边形M4BC中，△ABC是等腰直角三角形，ACLBC,△M4C是边长为2的正三角形，以AC

为折痕，将△MAC向上折叠到△D4C的位置，使点。在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下

折叠到△E4C的位置，使平面E4CL平面A8C,形成几何体D48CE.

(1)点厂在BC上，若。尸〃平面E4C,求点尸的位置;

(2)求直线AB与平面E8C所成角的余弦值.

【分析】(1)点尸为8c的中点，设点。在平面A8C内的射影为。，连接。£>,OC,取AC的中点”，连

接EH,由题意知EHVAC,平面ABC,由题意知平面ABC,得。。〃平面EAC,取

8c的中点F,连接。凡则。F〃AC,从而。尸〃平面E4C,平面QOF〃平面£AC,由此能证明

OF〃平面EAC.

(2)连接OH,由。凡OH,0。两两垂直，以。为坐标原点，OF,OH,。。所在直线分别

为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线48与平面E8C所成角的余弦值.

【解答】解：(1)点F为BC的中点，

理由如下：设点。在平面ABC内的射影为O,连接。£>,OC,

•:AD=CD,：.OA=OC,

...在RtZ\4BC中，O为A8的中点,

取AC的中点4,连接EH,由题意知AC,

又平面E4C_L平面ABC,平面EACC平面ABC=AC,

.♦.EH，平面ABC,由题意知DO_L平面ABC,

：.DO//EH,二。。〃平面E4C,

取BC的中点F,连接OF,则OF//AC,

又OFC平面EAC,ACu平面EAC,；.OF〃平面E4C,

'.'DOnOF^O,二平面DOF〃平面EAC,

■:OFu平面DOF,；.DF//平面EAC.

(2)连接OH,由(1)可知OF,OH,OO两两垂直，

以。为坐标原点，OF,OH,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则8(1,-1,0),A(-1,1,0),E(0,1,-«),C(1,1,0),

/.AB=⑵-2,0),BC=(0，2,0),BE=(-I,2,-5/3),

设平面EBC的法向量n=(小b,c),

则w上？=2b=。，取，则嬴(历0.-1),

BE