机器人学蔡自兴课后习题答案

其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3.坐标系｛B｝的位置变化如下：初始时，坐标系｛A｝与｛B｝重合，让坐标系｛B｝绕

ZB轴旋转。角；然后再绕Xg旋转。角。给出把对矢量"P的描述变为对V描述

的旋转矩阵。

解：•.•坐标系｛B｝相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变

换顺序为依次右乘。

，对“尸描述有AP=^TBP；

其中切=Rot(z,e)Rot(x,%。

9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放

在图2-10b所示位置。

(1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移

或绕该轴旋转。

(2)作图说明每个从右至左的变换序列。

(3)作图说明每个从左至右的变换序列。

解:(1)方法1:如图建立两个坐标系｛。内卜向｝、｛o2x2y2z2｝,与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立(方法1)

对楔块1进行的变换矩阵为：7；90)Rc“(z,90)；

对楔块2进行的变换矩阵为:

岂=万。〃式一3,0,4)Rof(z,—90°)：77?o，(x,90°)Rof(z,180°)；

1000

05

其中步

010

0001

'0010'-00-12'

10001000

所以汇=；T=

010020-104

00010001

对楔块2的变换步骤：

①绕自身坐标系X轴旋转90。；

②绕新形成的坐标系的Z轴旋转180。；

③绕定系的Z轴旋转-90。；

④沿定系的各轴平移(-3,0,4)。

方法2：如图建立两个坐标系｛。内MZJ、｛生无2当?2｝与参考坐标系重合，两坐标系

对楔块1进行的变换矩阵为：7；=&”(x90)Rc”(z,90)；

对楔块2进行的变换矩阵为：

T2=Trans(-2,0,9)Trans^,Q,0)Rot(y,9Q'')Rot(x,\80'')Rot(z-9Q0)；

-0010''00-12

10001000

所以：4=；T=0

010020-109

0001_0001

备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。

(2)、(3)略。

2.图3-11给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方程

式。

解：方法1建模：

如图3建立各连杆的坐标系。

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。

表1：机械手的连杆参数

连杆«,­44

190"04

20^20

3000%

该3自由度机械手的变换矩阵：;

cO0s*L\C®\0C

xcO2一他L202

s010—c优LxsOxsd2c020L2SO2

A1=；A2=♦

01000010

00010001

—s网0o-

S0300

4=

0010

0001

C3}C02CO3-C01S02S03-cOlc02s03-cOxsO2c03sB\Lxc6x+L2C0}C32

S0c0c0-s0s0s0-S0c0s0-S0s0c0-cOLsO+180^0

=l23l23x23x23[l22

sO2cO3+c02sO3-S32SO3+响响0L2S02

000L

方法二进行建模：

坐标系的建立如图4所示。

图4：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。

表2：机械手的连杆参数

连杆4仇

10004

20

90"02

30L?0a

0o-0L~

cOx—sO}c02-sO2

s*c0]0000-10

A=；4—

♦

0010s02c0200

0001_0001_

C63一s®30L2'

s03cO300

4=

0010

0001

C01C02C03-C0]S32SO3-C0]C02sO3-C0]S02C33sO}L}c3]+L2CO]C02

S0ic02c03-s0lsO2s03-s0[c02sO3-sOys02cOy一ML、satL2SO{CO2

S02C03+迅”3-sd2sO3+cd2cO30L

0001

3.图3-12所示3自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3

平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机

械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵,7，2和2方。

解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端

执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。

方法1建模：

按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。

LsL4

图5：机械手的坐标系建立

连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的D-H参数值见表3。

表3：机械手的连杆参数

连杆ai44

190"0L]+乙2仇

20£30/

30L40%

末端执行器000%

注：关节变量a=%=a=a=o。

将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为:

1000100

(700-100100

:，2-—

010L,+120010

00010001

-1004■1000-

01000100

2T3

=；3臬=

00100010

00010001

方法2建模：

按照方法2进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6。

图6：机械手的坐标系建立

3自由度机械手的D-H参数值见表40

表4：机械手的连杆参数

连杆a—%4*

100Lj+乙2

290"00%

30L30a

末端执行器0240a

注：关节变量6]=2=%==。。

将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为:

10001000

010000-10

°工=

001L1+0100

00010001

'1004一'100L4

01000100

；3T=

7=0010不0010

00010001

-0104

0013

1.已知坐标系｛C｝对基座标系的变换为：c=;对于基座标系的微分

1000

0001

平移分量分别为沿X轴移动0.5,沿Y轴移动0,沿Z轴移动1；微分旋转分量分别为

0.1,0.2和0。

（1）求相应的微分变换;

（2）求对应于坐标系｛C｝的等效微分平移与旋转。

解：（1）对基座标系的微分平移：t/=［0.5,0,17；

对基座标系的微分旋转：b=[0.1,0.2,0]J

000.20.5

00-0.10

A—

-0.20.101

0000

0.2000.5'

-0.1000

相应的微分变换：dc=\c=

0-0.20.10.5

-0000

（2）由相对变换。可知〃、0、aP，

c(

0dx=〃.((5xp)+d)=0.5；dx=o•((bxp)+d)=().5；d2=a,((5xp)+d)=0

砥=〃3=()；软=o-b=0.1；=7=0.2

对应于坐标系｛C｝的等效微分平移：［0.5;0.5;0］；微分旋转：出=［0;0.1;0.2］。

2.试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末端

上，其姿态与第三关节的姿态一样。

解:设第3个连杆长度为4。

1)使用方法1建模，末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合，使用微分变

换法。

图7：机械手的坐标系建立

表5：D-H参数表

连杆a4仇

1900L0q

20L0%

3000%

7(%+4)-S(。2+。3)0L2CO2cOy一响0o-

s(%+4)。⑹+2)oLS0s03C3300

工=22；”；3T=E；

001000103

00C10001

由上5弋求得雅可比矩阵：

L2sOy0O-

L2c0y00

000

TJ

000

000

011

2）使用方法2建模，使用微分变换法。

%

图8：机械手的坐标系建立

表6：D-H参数表

连杆