机器人学蔡自兴课后习题答案2

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其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3.坐标系｛B｝的位置变化如下：初始时，坐标系｛A｝与｛B｝重合，让坐标系｛B｝绕

Zs轴旋转。角；然后再绕XB旋转。角。给出把对矢量,P的描述变为对V描述

的旋转矩阵。

解：•.•坐标系｛B｝相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变

换顺序为依次右乘。

，对V描述有AP=^TBP；

其中k=Rot(z,e)Rot(x,(/))»

9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放

在图2-10b所示位置。

(1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移

或绕该轴旋转。

(2)作图说明每个从右至左的变换序列。

(3)作图说明每个从左至右的变换序列。

解：(1)方法1:如图建立两个坐标系｛。内yzj、｛o2x2y2z2｝,与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立(方法1)

对楔块1进行的变换矩阵为：7；=R”(y,90)R"(z,90)；

对楔块2进行的变换矩阵为：

4=7kms(-3,0,4)Rof(z,—90°)；77?〃(x,90°)R"(z,180°)；

'1000'

0105

其中n叮=；

20010

0001

0010-'00-12

10001000

所以：(=；T=

010020-104

0001_0001

对楔块2的变换步骤：

①绕自身坐标系X轴旋转90。；

②绕新形成的坐标系的Z轴旋转180P；

③绕定系的Z轴旋转-90。；

④沿定系的各轴平移(-3,0,4)。

方法2：如图建立两个坐标系｛qxjZ]｝、与参考坐标系重合，两坐标系

与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立(方法2)

对楔块1进行的变换矩阵为：7；=R”(y,90)R”(z,90)；

对楔块2进行的变换矩阵为：

4=7?即s(—2,0,9)7^〃s(4,0,0)Rof(y,90")Rof(x,180")Ro"z,-90°)；

'0010'■00-12

10001000

所以：4=O

01000-109

_0001_0001_

备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。

(2)、(3)略。

2.图3-11给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方程

式。

解：方法1建模：

如图3建立各连杆的坐标系。

图3：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。

表1：机械手的连杆参数

该3自由度机械手的变换矩阵：=RA2A3；

cOx0Lxc0xc02-sO20L2C02

0-cO,L,s0.s0c00LS3

4=；4=2222

01000010

00010001

cOy-sO300

s0cO00

4=3y・

0010

0001

方法二进行建模：

坐标系的建立如图4所示。

图4：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。

表2：机械手的连杆参数

c0x—sOx00cO2-s020L]

s3.।c3,I0000-10

A1=；4=

0010s02c0200

00010001

74-s40L2

s4c3.00

A.=

j0010

0001

3.图3-12所示3自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3

平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机

械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵°工，工和2”。

解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端

执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。

方法1建模：

按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。

图5：机械手的坐标系建立

连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的D-H参数值见表3o

表3：机械手的连杆参数

注：关节变量4="=。3=仇=0。

将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为:

1000100

04=00-100100

；'T=

010+%20010

00010001

-'1000'

100L4'

01000100

2

73=;3/T末-—

00100010

00010001

方法2建模：

按照方法2进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6。

图6：机械手的坐标系建立

3自由度机械手的D-H参数值见表40

表4：机械手的连杆参数

注：关节变量6]=%==。4=0。

将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为:

'1000'1000'

010000-10

；72-—

001L｝+L20100

00010001

-100人-100LJ

01000100

;3/T末一—

00100010

00010001

0104

0013

1.已知坐标系｛C｝对基座标系的变换为：c=;对于基座标系的微分

1000

0001

平移分量分别为沿X轴移动0.5,沿Y轴移动0,沿Z轴移动1；微分旋转分量分别为

0.1,0.2和0。

（1）求相应的微分变换；

（2）求对应于坐标系｛C｝的等效微分平移与旋转。

解：（1）对基座标系的微分平移：t/=[0.5,0,l]7；

对基座标系的微分旋转：^=[0.1,0.2,0]7；

一000.20.5

00-0.10

-0.20.101

0000

0.2000.5-

-0.1000

相应的微分变换：de=M=

0-0.20.10.5

0000

（2）由相对变换。可知〃、。、aP,

4=〃.(3xp)+d)=0.5；a=0.(@xp)+d)=0.5；&=a・((Sxp)+d)=0

C

3=〃.方=0；0V=。5=0.1；8=a-8=Q.2

对应于坐标系｛C｝的等效微分平移：Z=[0.5;0.5;0]；微分旋转：0=[0;0.1;0.2[。

2.试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末端

上，其姿态与第三关节的姿态一样。

解:设第3个连杆长度为

1）使用方法1建模，末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合，使用微分变

换法。

图7：机械手的坐标系建立

表5：D-H参数表

一,响-

c（%+%）_$（%+%）0L2ce2'响0o

0LSOs6cOy00

6（%+。3）22y

73=；z=；%=E

00100010

00010001

由上式求得雅可比矩阵:

L2s。300

L1c%00

000

000

000

011

2）使用方法2建模，使用微分变换法。

图8：机械手的坐标系建立

表6：D-H参数表

c包+仇）_S（2+4）0.+LC3迅-s030L

。222

00-10s0C®300

；Z=3

S（%+a），（%+%）0L2S020010