2023年普通高等学校招生全国统一考试数学名师押题信息卷（4）（答案版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年普通高等学校招生全国统一考试名师押题信息卷（4）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=，B=，则（

）A．AB= B．AB C．AB D．AB=R【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合B，应用集合的交、并运算，即可确定、，进而判断选项的正误.【详解】由题意，，而，∴，.故选：A2．设i为虚数单位，且，则的虚部为（

）A． B．2 C．2i D．【答案】B【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出，即可求出的虚部.【详解】由可得：，则，所以的虚部为2.故选：B.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可观察两个式子整体特征，一个为单倍角，一个为二倍角，则考虑先对整体求二倍角，再根据诱导公式进行合理转化即可【详解】，即，，而，则，故故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及诱导公式的使用，熟悉单倍角与二倍角公式转化，熟练运用诱导公式是解题的关键，属于中档题4．在中，，，D是AC边的中点，点E满足，则（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，用向量分别表示，再利用向量数量积的运算律求解作答.【详解】在中，，，，如图，则，又，则，所以.故选：A5．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.记为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分析可得，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数与不互质，则为3的倍数，共有个，故，∵，即数列是以首项，公比的等比数列，故.故选：D.6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线l的垂线，垂足为Q，若，则（

）．A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由题知，进而结合得，再在中，由正弦定理求解即可.【详解】解：因为，所以．因为，所以．因为，所以，所以，在中，由正弦定理，即故选：C7．阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（

）A．是有理数 B．是无理数C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数【答案】C【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.故选：C8．设，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据进行构造函数，利用导数判断单调性，推出a与1的大小关系，同理判断b与1的关系，判断的大小范围时采用分析的方法，结合的特点，构造函数，利用导数判断单调性，即可判断其范围.【详解】设函数,求导得：,∴在上单调递减，所以，A错误；设函数，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，仅当时取等号，即，则时，，即，所以，D错误；由，下面证明，，即证,令，即证：，即，构造函数，即证，由，所以在上单调递减，则，即证，令，，即在上单调递减，故，即成立，故成立，所以，故选：B【点睛】难点点睛：本题比较大小，要明确数的结构特点，确定其中的变量，进而构造相应的函数，利用单调性进行大小比较，难点是本题解答时要选择恰当的变量，连续构造相应的函数，进行解答.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的扇形图．则下面结论中正确的是（

）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】BCD【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前农村的经济收入为，则新农村建设后农村的经济收入为，对A，新农村建设前的种植收入为，新农村建设后的种植收入为，种植收入增加，故A错误；对B，新农村建设前的其他收入为，新农村建设后的其他收入为，增加了一倍以上，故B正确；对C，新农村建设前的养殖收入为，新农村建设后的养殖收入为，增加了一倍，故C正确；对D，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为，超过了经济收入的一半，故D正确.故选：BCD.10．已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（

）A．周长的最小值为14B．四边形可能是矩形C．直线，的斜率之积为定值D．的面积最大值为【答案】ACD【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴时，周长最小.即可判断；对于B：判断出，从而四边形不可能是矩形.即可判断；对于C：设，直接计算出.即可判断；对于D.由的面积为.即可判断.【详解】由，可知P，Q关于原点对称.对于A.根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确；对于B.因为，所以，则，故椭圆上不存在点，使得，又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确.对于C.由题意得，设，则，所以.故C正确；对于D.设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确.故选：ACD.11．已知函数，则（

）A．的图象关于点对称 B．为的一个周期C．的值域为 D．在上单调递减【答案】ACD【分析】化简可得.求出的表达式，即可得出A项；求出的表达式，即可得出B项；由几何意义，根据图象，即可得出C项；求出导函数，根据的解集，即可得出D项.【详解】由已知可得.对于A项，因为，所以点是的对称中心，故A项正确；对于B项，，故不是的周期，故B项错误；对于C项，设，则的大小等于点与点连线的斜率.又点在圆上，如图，为圆的两条切线，且，.由图象可知，当与重合时，斜率最大，此时；当与重合时，斜率最小，此时，所以的取值范围为，即的值域为，故C项正确；对于D项，由已知可得，令，得，根据余弦函数的图象可知，，故在上单调递减，故D项正确.故选：ACD.12．已知当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A；赋值求和判断CD；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理判断D作答.【详解】因为，令，，则，令，，则，A正确；因为，则，，…，，以上各式相加有，B错误；由得，，即，于是，，，…，，以上各式相加有，即，C正确；由得，，因此，设，，则，所以，D正确．故选：ACD【点睛】关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中剔除常数项后的各项系数和为_________．【答案】【分析】令可得展开式各项系数和，再由求出展开式中常数项，即可得解.【详解】解：因为，其中展开式的通项为，所以展开式中常数项为，令，可得展开式中各项系数和为，所以展开式中剔除常数项后的各项系数和为.故答案为：14．写出过点且与圆相切的一条直线的方程___________.【答案】或【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径解得答案.【详解】圆，圆心，半径，当直线斜率不存在时，验证知满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离为，解得，故直线方程为，即.综上所述：直线方程为或.故答案为：或15．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，，满足，，则该“鞠”的表面积为____________.【答案】【分析】由题意画出图形，可得，均为等边三角形，设球心为O，的中心为，取中点，连接AF，CF，OB，，AO，构造直角三角形，利用勾股定理求解棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式求解.【详解】由已知得，均为等边三角形，如图所示，设球心为O，的中心为，取中点，连接AF，CF，OB，，AO，则，，而，平面，∴平面，可求得而，，则，在平面中，过点作的垂线，与的延长线交于点，由平面，平面，得，又，，平面，故平面，过点O作于点G，则四边形是矩形，而，设球的半径为R，，则由，，得，

，解得，，故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：【点睛】方法点睛：对于三棱锥外接球的三种模型第一种模型为常见墙角模型，此时将三棱锥看作长方体中的一个部分，将长方体进行补全之后就可以找到外接球半径与长方体三边之间的关系.第二种模型为对边相等的三棱锥外接球，方法同样将其补形为长方体，我们可以通过画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对边，然后通过每一组在直角三角形中的满足勾股定理的形式而列出方程，然后再将三组方程相加之后就可以得到长方体三边的平方的关系，继而可以求出外接球的半径.第三种模型为确定球心来构造直角三角形，这种模型最关键的就是利用底面三角形的外心来确定球心，然后来构造直角三角形将立体图形转化为平面图形，在直角三角形当中来求出球的半径.16．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______．【答案】【分析】利用同构思想构造，得到其单调性，得到，再构造，，求导得到其单调性及其最小值，设设，利用基本不等式得到，求出答案.【详解】，令，，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极小值，也是最小值，故，故，当且仅当时，等号成立，令，，则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故当时，，当时，，故时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，最小值为，设，由基本不等式得，，当且仅当，，时，等号成立，故，则．故答案为：【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列的前项和满足，且.(1)求，，；(2)若不超过240，求的最大值.【答案】(1)，，(2)15【分析】（1）直接由求出，，；（2）先作差得到，分类讨论：当为偶数时和为奇数时，分别求出，即可求解.【详解】（1）当时，，当时，，当时，，（2）∵，①∴当时，，又，则，当时，②，①-②可得：，当为偶数时，∴.当为奇数时，∴由，得，的最大取值为15.18．的内角的对边分别为，，且______．(1)求的面积；(2)若，求．在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①则根据余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；若选②根据向量数量积定义得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；（2）由正弦定理得即可求得的值.【详解】（1）若选①，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；若选②，则，又，则，又，得，则；（2）由正弦定理得：，则，则，．19．如图一，是等边三角形，为边上的高线，分别是边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平面得到，根据勾股定理得到，得到线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面和平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）因为为等边三角形，，，为边上的高线，故，又，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，，所以，故，而平面，平面，故平面（2）分别以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，则.设平面的法向量，平面的法向量，则，且，取，，得到平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角大小为，则，所以.20．某医药企业使用新技术对某款血夜试剂进行试生产.(1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血夜试剂在生产中，前三道工序的次品率分别为.①求批次I的血液试剂经过前三道工序后的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；(2)已知某批次血液试剂的次品率为，设100个血液试剂中恰有1个为不合格品的概率为，求的最大值点.【答案】(1)①②(2)【分析】（1）①根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解；②根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解；（2）求出100个血液试剂中恰有1个为不合格品的概率为，然后利用导数求解的最大值点，即可求出.【详解】（1）①批次Ⅰ的血夜试剂经过前三道工序后的次品率为②设批次Ⅰ的血夜试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，由已知得则工人在流水线进行人工抽检时，.（2）100个血液试剂中恰有1个不合格的概率因此，令，得，当时，；当时.所以的最大值为.21．已知椭圆的离心率为，短轴长为.(1)求的方程；(2)过的右焦点的直线交于，两点，若点满足，过点作的垂线与轴和轴分别交于，两点.记，△（为坐标原点）的面积分别为､，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由短轴长可求出，由离心率的值可求出，即可求出椭圆方程；（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，将直线和椭圆方程联立，进而求出点的坐标，由直线的方程可求出点,的坐标，求出，△的面积的表达式，再由三角形相似，可得对应边的比，进而求出面积比，最后由函数的单调性求出范围.【详解】（1）由题意可得，解得，，解得，，所以椭圆的方程为：；（2）由（1）得右焦点，，由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，设，，，，因为点满足，所以为的中点，联立，整理可得：，因为在椭圆内部，显然，，，所以的中点的纵坐标为，代入直线的方程为，即，，即直线的方程为，令，解得，即，令，解得，即，，，，由题意可得△△，所以，设，则，而，所以，设，令，，函数